基本不等式课例反思

基本不等式（第一课时）教学设计及反思
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》中的“基本不等式
2b
a a
b +
≤”。

下面把这节课的教学设计、教后反思记录下来，愿与同行研讨。

“基本不等式
2b
a a
b +
≤”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。

它是在学完“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究．在不等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。

求最值又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。

本节课是第一课时，设计如下
学习目标：
1．通过两个探究实例，在老师的引导下从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想；
2．进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，自己分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力；
3．结合课本的探究图形，进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想；
教学重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式
2b
a a
b +
≤的证明过程。

教学难点：用基本不等式求最值
教学过程：
第一环节：（5分钟）设计问题、创设情境
（多媒体展示）华罗庚先生的诗：
“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。

数无形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，隔离分家万事休。

切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。

”
开场白：华罗庚先生有数学家的睿智、诗人的浪漫。

同学们请说出华先生的这首诗表达的思想。

生：“数形结合百般好”。

师：今天我们一同来体会如何运用数形结合的方法研究问题。

设计意图：使学生了解数学家、数学史、数学思想，尽快进入数学情景；为本节课问题
的探究指明方法，做下铺垫。

给学生留下疑问，
“我们要运用数形结合研究什么问题呢？如何运用数形结合来研究问题呢？”激发学生学习兴趣，使学生对将要出现的探究问题充满期待。

（多媒体展示）第24界国际数学家大会的会标
师：第24界国际数学家大会于2002年在北京召开，这是大会的会标，其中的图案大家见过么？
生：见过。

这是赵爽弦图。

在初中曾用它证明过勾股定理。

师：我们还能在赵爽弦图中探究出什么信息呢？
（多媒体展示）
问1：同学们在原来的学习过程中见过这个图形吗？
问2：在此图中有哪些几何图形？
问3：若我们设图中直角三角形的直角边分别为x 、y ，你能用x 、y 表示四个直角三角形的面积和吗？你能用x 、y 表示大正方形的面积吗？
问4：根据图形，比较四个直角三角形的面积和与大正方形的面积的不等关系，写出不等式。

设计意图：寻求学生的最近发展区，以学生初中已经接触过的赵爽弦图作为导入素材，可使学生有熟悉的感觉，乐于探究新的知识。

以x 、y 表示直角三角形的两条直角边，为下面的学习扫清障碍。

若以教材的安排，以a 、b 分别代替a 、b ，学生不太容易理解。

四个问题的设置，便于学生层层深入的研究，使研究方向更明确。

第二环节：（10分钟）学生探究、尝试解决
师生互动：学生观察图形，思考问题，写出结果。

教师巡视，了解学生情况，适当时刻，建议学生小组内部相互交流。

学生在小组内部对比结果、互相交流、达成共识、展示成果。

设计意图：培养学生独立动手、动脑能力和应用数学知识、方法、思想解决问题的能力。

培养学生交流合作的能力。

通过交流培养学生发现问题（不全面）的能力，培养学生全面思考问题的意识，以及努力探究的精神。

师：请一位同学展示一下研究成果。

预设：有的学生可能会写出xy y x 222≥+，也可能写出xy y x 22
2>+。

师：四个直角三角形的面积和与大正方形的面积有没有可能相等？相等时，图形产生了怎样的变化？
x 、y 有什么关系？
生：有可能相等。

四个直角三角形的直角顶点会重合。

此时y x =。

师：如此一来，我们可以得到如下结论：（多媒体展示并板书）
对任意实数x ，y ，我们有xy y x 22
2≥+，当且仅当y x =时，等号成立。

以上结论，我们是在几何图形中的面积关系获得的。

同学们能否运用代数的方法对这个结论进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程。

教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当时刻，选择学生板演证明过程。

设计意图：培养学生独立思考，解决问题的能力。

使学生体会不等式证明的常用方法。

在学生感受到几何的直观性后，进一步感受代数证明的严谨。

预设：有的同学会以要证明的结论作为条件使用；有的同学只证明xy y x 222≥+，而忽视了“当且仅当y x =时，等号成立”的证明；有的同学会以xy y x 222≥+为条件，证明“当且仅当y x =时，等号成立”。

有的同学会使用作差法证明这个结论。

第三环节：（15分钟）师生交流、解释规律
师生互动：教师对学生板演的证明过程作出评价；注意方法的选择、步骤的规范；强调等号成立的条件。

师：同学们对结论中的“当且仅当”如何理解？
生：当y x =时，并且只有y x =时，等号成立。

师：同学们理解的很到位！
师：如果我们使用两个正数a 、b 分别代替2x 、2
y ，那么，以上结论我们可以写成什么形式？
师生共同总结，教师板书：若0>a ，0>b ，可得ab b a 2≥+，通常记为2
b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立。

师：对这个结论，我们能否进行证明？
师生互动：学生观察结论内容，积极思考，写出证明过程。

教师巡视，及时掌握学生情况，指出学生在证明过程中出现的问题，适当时刻，选择学生板演证明过程。

预设：有的同学面对b ab a +-不知如何使用完全平方公式；有的同学会预习教材，
运用分析法解决问题，需指明分析法的书写规则。

师生互动：教师对学生板演的证明过程作出评价；注意方法的选择、步骤的规范；进一步强调等号成立的条件。

师：结论（1）我们是在赵爽弦图中发现的，那么，我们能不能找到结论（2）的几何解释呢？同学们来看这个问题。

（多媒体展示）
AB 是圆O 的直径，点C 是AB 上任一点，AC=a,BC=b 。

过点C 作垂直于AB 的弦
DE ，连接AD 、BD 。

试以a 、b 表示CD 、
OD 的长度并比较两者大小。

A 师生互动：学生观察图形，阅读问题内容，积极思考，写出结果，反思结果的几何意义。

教师提问并板书：2,b a OD ab CD +==，由图可得：2
b a OD ab CD +=≤=。

设计意图：结论（1）由形到数，结论（2）由数到形，进一步使学生体会数形结合的思想。

师：什么时候等号成立？
生：b a =时，等号成立。

师：有什么几何解释呢？
生：圆内半弦不超过半径。

师：以上我们通过代数证明和几何解释两方面对结论（2）进行了验证，验证了它的正确性。

结论（2）中的不等式在现实生活与数学研究方面有广泛的运用，我们通常称之为“基本不等式”。

这就是我们本节课的课题。

（板书课题）
设计意图：明确本节课的学习内容。

为整个探究过程作出最终成果。

使学生感受成功的喜悦。

师：对于一个公式，我们首先要观察结构、进行记忆。

同学们观察基本不等式两侧，你想到了原来学过的哪些知识？
预设：有的同学会回答平均数；有的同学可能会回答等比中项、等差中项。

师：2
b a +是我们平时求平均数的方法，我们称之为算数平均数；ab 我们称为几何平均数。

基本不等式我们可以解释为几何平均数不大于算术平均数。

这是它的代数解释。

第四环节：（10分钟）运用规律、解决问题
师：基本不等式与我们学习过的其它公式有所不同。

我们比较熟悉的完全平方公式、平方差公式等都是等式的形式，而基本不等式是以不等式的形式出现的。

同学们在运用的时候可能有些顾虑。

其实，只要满足基本不等式使用的条件（0>a ，0>b ），只要符合它的结构特征，我们完全可以进行套用。

下面我们通过几个例题来考虑在运用基本不等式过程中还需要注意哪些问题，
（多媒体展示）
例1、下列各式错误的是 （ ）
A 、)0,0(6223>>≥+b a ab b a
B 、)0(21>≥+x x
x C 、)0(4sin sin 4π<<≥+x x x D 、)10(2
1)1(<<≤-x x x 例2、已知x 、y 都是正数，求证
2≥+x y y x 。

师生互动：学生自主解决，通过学生的交流，得出结论。

设计意图：通过例题的训练，提高学生解绝问题能力，加深对基本不等式的理解，明确公式的使用条件，套用方法及等号成立的条件
反思小结、观点提炼
（多媒体展示）
⑴本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？
⑵本节课你能感受到哪些数学思想？
师生互动：学生通过思考，逐一回答。

教师进行总结。

设计意图：对本节课所学习的内容、方法、思想进行总结，画龙点睛。

布置作业：
必做题：《优化训练》第1，2，9题
探究：
我们已经知道了ab、
2b
a+
的大小关系，那么它们与
22
2b
a+
的大小关系如何？先猜猜，再试着证证，想想能否也用几何图形对它加以解释！
教学反思：
基本不等式这一节有几个高考考点，但是对于学生而言，刚刚接触，理解的不是很透彻。

准备按照下面的方式来进行：一，第一节只讲基本不等式及其几何意义。

让学生通过练习，充分理解不等式中的“一正，二定，三相等”的具体含义和应用。

并辅以高考题型，是学生掌握高考动向。

二，第二节再讲拼凑和分离这两种与之前所学函数知识有关的题型。

体现出不等式与函数的关联，说明函数在高中数学的重要性，顺便回顾函数中的拼凑和分离这两种方法。

三，第三节课再讲“1”的代换和图像法。

这两种方法考察学生对知识的灵活变化以及对数形结合思想的应用，又比第二节的知识深一点。

这样的话，三节课知识层层加深，让学生体会到知识的关联，明确各个知识点在高考中的具体应用。

而初始方法中，一节课先把所有高考重点全讲给学生，使学生容易迷惑，不知道本节课的重点到底是什么，而且学生不易掌握，毕竟容量大的话，练习量就会相应减少。

而等到第二节，第三节再讲时，学生掌握的不熟练，还得再次复习，有点“烫剩饭”的感觉。

所以在新课讲解方面，我仔细研读教材，发现本节课主要是让学生明白如何用基本不等式求最值。

如何用好基本不等式，需要学生理解六字方针：一正二定三等。

这是比较抽象的内容。

尤其是“定”的相关变化比较灵活，不可能在一节课解决。

因为我把这部分内容放到第二节课。

本节课主要让学生掌握“正”“等”的意义。

巩固练习中设计了选择题，让学生理解六字方针的内涵。

还从“和定”、“积定”两方面设计了相关练习，让学生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。

教学中，我应用“情景—问题—研究”模式教学，展示了“数学教学是数学活动的教学”，教师是活动的组织者、指导者、协作者和调控者。

学生是数学建构活动的主人。

教学设计不是用传统的公式+例子+练习模式设计，而是把公式的建立当做一种情境，设计问题串为学习搭建脚手架，引发学生去操作、活动、讨论、反思。

本节课通过4个教学环节，强调过程教学，在教师的引导下，启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，从各个层面认识基本不等式，并理解其几何背景。

课堂教学以学生为主体，基本不等式为主线，在学生原有的
认知基本上，充分展示基本不等式这一知识的发生、发展及再创造的过程。

本节课比较满意的方面有：
⑴课堂气氛活跃、师生互动积极、教学相长、意犹未尽。

⑵教学思路比较清晰，各环节联系紧密，问题的设置能够指导学生进行主动地探究，使学生具有大量的思维活动。

⑶主要结论均由学生探究获得，学生体会到数学知识的形成过程，感受到探究的乐趣、成功的喜悦。

还需改进之处有：
由于时间关系，小结部分没有总结到位。

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