2016-2017学年上海交大附中高三(下)开学数学试卷(解析版)

2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．
2．（5分）计算＝．
3．（5分）＝．
4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．
6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．
8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．
9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．
10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．
11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．
12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．
13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．
二、选择题：
15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：
p1：数列{a n}是递增数列；
p2：数列{na n}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{a n+3nd}是递增数列；
其中真命题是（）
A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4
18．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．
A．B．
C．D．
三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；
（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．
20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．
（Ⅰ）求证：MN∥BC；
（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；
（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．
21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．
22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．
（1）求数列{a n}的表达式；
（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；
（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．
2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．
故答案为：．
2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，
故答案为：2．
3．【解答】解：
＝
＝（+）＝，
故答案为：
4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，
由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），
则M∩N＝[0，5]，
故答案为：[0，5]
5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：10
6．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，
故答案为：240
7．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，
∴cosα＝，
又π＜α＜2π，
∴sinα＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．
9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，
∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，
∴△BOS的面积为定值S＝＝，
∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，
此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．
故答案为：．
10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，
所以ON＝GH＝AB＝1，
因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，
所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝
MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得
＝，则MO＝＝．
则点M到平面EFGH的距离为：．
故答案为：．
11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；
当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；
当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；
当A1＝A时，分析种数为C33•23．
所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．
故答案为：27
12．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），
∴a＞1，3＝a+b．
∴＝（a﹣1+b）＝≥＝
，当且仅当a＝，b＝时取等号．
故答案为：
13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．
∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．
即函数f（x）是奇函数，
则不等式组，等价为，
即，
作出不等式组对应的平面区域如图，
则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，
则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，
此时d＝，
故u2+v2的最小值为d2＝，
故答案为：
14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，
可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，
当A（x）＝2时，1＜x≤2，
可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，
当A（x）＝3时，2＜x≤3，
可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，
由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2
∴正实数x的取值范围是（1，]
故答案为：（1，]
二、选择题：
15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．
16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．
∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．
故选：B．
17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．
对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，
故p2不正确，是假命题．
对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝
，不一定是正实数，
故p3不正确，是假命题．
对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．
故选：D．
18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，
化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．
故选：B．
三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：
（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，
解得a＝0.04．
（2）规定90分及以上为合格，
根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：
p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．
（3）三个人参加交通法规考试，
估计这三个人至少有两人合格的概率：
p2＝＝．
20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；
∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；
∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；
∴DE∥MN；
∴MN∥BC；
（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：
P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；
∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：
B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；
∴，；
设平面PBC的法向量为；
则由得：
，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；
∴；
设直线AC和平面PBC所成角为α，则：
sinα＝＝；
又；
∴；
即直线AC和平面PBC所成角为；
（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；
∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；
∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；
∴；
因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；
设直线EM和直线AP所成角为θ；
所以cosθ＝；
∴8λ2﹣18λ+9＝0；
解得，或（舍去）；
∴M（0，）；
∴．
21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），
由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），
由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．
∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．
∴直线l的方程为y＝kx+．
令x＝﹣1，得，
∴Q（﹣1，），
设切点坐标P（x0，y0），则，
解得：P（），
设M（m，0），
则
＝
＝．
当m＝1时，．
∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．
22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．
（2）由（1）及题设知：，
设，
∴当x1＞x2＞1时，
∴t1＜t2．
当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），
∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；
②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，
由其值域为（1，+∞）知
得，n＝1．
23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，
∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），
当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，
当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，
∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；
（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），
∴T n＝b1+b2+…+b n
＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，
由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，
①当n＝2m，m∈N*时，
T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，
＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）
＝﹣（a2+a4+…+a2m）
＝﹣••m
＝﹣（8m2+12m）
＝﹣（2n2+6n），
②当n＝2m﹣1，m∈N*时，
T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1
＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）
＝（8m2+4m+3）
＝（2n2+6n+7），
∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，
只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，
即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．
∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；
（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，
①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；
②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，
q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，
n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，
∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。