高中函数试题及答案

高中函数试题及答案
一、选择题
1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的开口方向是：
A. 向上
B. 向下
C. 不确定
D. 无定义
答案：A
2. 若函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, +∞)上是：
A. 增函数
B. 减函数
C. 常数函数
D. 非单调函数
答案：B
3. 函数\( h(x) = |x - 1| \)的对称轴是：
A. \( x = 0 \)
B. \( x = 1 \)
C. \( x = -1 \)
D. \( x = 2 \)
答案：B
二、填空题
4. 若\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( f(2) \)的值是
________。

答案：1
5. 已知函数\( y = \sqrt{x} \)的定义域是________。

答案：\( [0, +\infty) \)
6. 若\( f(x) = 3x + 5 \)与\( y = -2x + 6 \)的图象交点的横坐标
是________。

答案：1
三、解答题
7. 求函数\( f(x) = x^2 + 2x + 1 \)的最小值。

答案：函数\( f(x) = (x + 1)^2 \)，由于平方项始终非负，所以
最小值出现在\( x = -1 \)时，此时\( f(x) = 0 \)。

8. 已知函数\( y = 2x - 1 \)，求当\( x \)在区间[-1, 2]时，\( y \)的最大值和最小值。

答案：当\( x = -1 \)时，\( y = -3 \)；当\( x = 2 \)时，
\( y = 3 \)。

因此，\( y \)的最小值为-3，最大值为3。

9. 证明函数\( f(x) = x^3 \)在实数域上是单调递增的。

答案：设\( x_1 < x_2 \)，我们需要证明\( f(x_1) < f(x_2) \)。

计算差值\( f(x_2) - f(x_1) = (x_2 - x_1)(x_2^2 + x_1x_2 +
x_1^2) \)。

由于\( x_2 - x_1 > 0 \)，且\( x_2^2 + x_1x_2 +
x_1^2 \)总是正的（因为平方和乘积都是正的），所以\( f(x_2) -
f(x_1) > 0 \)，即\( f(x_1) < f(x_2) \)，证明了函数\( f(x) = x^3 \)在实数域上是单调递增的。

四、综合题
10. 已知函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)，其中\( a, b, c \)是常数，且\( a \neq 0 \)。

若\( f(0) = c \)，\( f(1) = 3 \)，
\( f(-1) = 1 \)，求\( a \)，\( b \)，\( c \)的值。

答案：根据条件，我们有以下方程组：
\[
\begin{align*}
c &= f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \\
3 &= f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \\
1 &= f(-1) = a(-1)^
2 + b(-1) + c = a - b + c
\end{align*}
\]
解这个方程组，我们得到\( a = 1 \)，\( b = 1 \)，\( c = 1 \)。

11. 已知函数\( y = x^2。