(3份试卷汇总)2019-2020学年上海市浦东新区高二数学下学期期末调研试题

同步测试
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}{
}
2
1,3,5,7,|40A B x x x ==-≤，则A
B =（ ）
A ．()1,3
B ．{}1,3
C ．()5,7
D ．{}5,7
2．若函数()2
f x x =，设514a o
g =，1
5
1log 3
b =，1
52c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系( )
A ．()()()f a f b f c >>
B ．()()()f b f c f a >>
C ．()()()f c f b f a >>
D ．()()()f c f a f b >>
3．设函数()n
f x '是()n f x 的导函数，0()(cos sin )x
f x e x x =+，01()2f x '=，12(),2f x '=
，
*1()()2
n n f x n N '+=∈，则2018()f x =（ ）
A ．(cos sin )x e x x +
B ．(cos sin )x e x x -
C ．(cos sin )x e x x -+
D ．(cos sin )x e x x --
4．已知()()5
11x ax +-的展开式中2x 的系数为58-，则a =（ ） A ．1
B ．
12
C ．13
D ．
14
5．（2-x ）（2x+1）6的展开式中x 4的系数为（ ） A ．160-
B ．320
C ．480
D ．640
6．已知()()5
212ax x +- 的展开式中，含2x 项的系数为70，则实数a 的值为（ ） A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
7．设随机变量()2,X
B p ，若()5
19
P X ≥=，则()E X =（ ）
A ．
23 B ．
13
C ．2
D ．1
8．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图象如图所示．则函数()f x 在(),a b 内有几个极小值点（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．设定点(0,1)F ，动圆D 过点F 且与直线1y =-相切.则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ） A ．24x y =
B ．22x y =
C ．24y x =
D ．22y x =
10．设双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在C 上，且满足13PF a =.
若满足条件的点P 只在C 的左支上，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．(1,2]
B ．(2,)+∞
C ．(2,4]
D ．(4,)+∞
11．在等差数列{}n a 中，46a =，3510a a a +=，则公差d =（） A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
12．若221
99x x C C --= ，则x =( )
A ．1-
B ．4
C ．1-或4
D ．1或5
二、填空题：本题共4小题
13．曲线x y e =绕坐标原点顺时针旋转90︒后得到的曲线的方程为____． 14．用反证法证明“,,a b R ∈若33a b ≥，则a b ≥”时，应假设______． 15．在正数数列
中，
，且点
在直线
上，则前项和等于__．
16．已知命题p ：x R ∃∈，20x m -≤为真命题，则实数m 的取值范围为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．为了更好的了解某校高二学生化学的学业水平学习情况，从800名高二学生中随机抽取n 名学生，将他们的化学模拟考试成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：
[40,50),[50,60),,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图．据统计在[50,60)内有10人．
（1）求n 及图中实数a 的值；
（2）试估计该校高二学生在这次模拟考试中，化学成绩合格（不低于60分）的人数； （3）试估计该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩．
18．已知6
2n
x x ⋅的展开式中，前三项系数成等差数列.
（1）求含2x 项的系数；
（2
）将二项式n
的展开式中所项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率． 19．（6分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12233a a +=，2
3269a a a =.
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
n b a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3cos ,42sin ,
4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t
为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24cos sin θ
ρθ
=
.
（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
（2）过点(3,2)P 作直线l 的垂线，交曲线C 于,M N 两点，求||||PM PN ⋅.
21．（6分）已知tan 11
2tan 13
αα-=+，求()()()()()cos 2sin 2sin 2tan 2cos 4αππαπαπααπ----+-+的值．
22．（8分）已知二次函数()f x 满足(0)2f =，且(1)()23f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()()2h x f x tx =-，当[1,)x ∈+∞时，求()h x 的最小值； （3）设函数
12
()log g x x m =+，若对任意1[1,4]x ∈，总存在2[1,4]x ∈，使得()()12
f x
g x >成立，求
m 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】
{}{}
21,3,5,7,|40{|04}A B x x x x x ==-≤=≤≤,{} 1,3A B ⋂=，故选B.
2．D
【解析】 【分析】
根据题意，结合二次函数的性质可得()2
f x x =在()0,+∞上为增函数，结合对数的运算性质可得
1
55
1
log 133
b og ==，进而可得1b a
c <<<，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】
根据题意，函数()2
f x x =，是二次函数，
其对称轴为y 轴，且在()0,+∞上为增函数，
514a og =，1
55
1log 133
b og ==，
152c =， 则有1b a c <<<， 则()()()f c f a f b >>； 故选：D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性以及单调性的判定以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 3．B 【解析】
分析：易得到f n （x ）表达式以8为周期，呈周期性变化，由于2018÷8余2，故f 2008（x ）= f 2（x ），进而得到答案
详解：∵f 0（x ）=e x （cosx+sinx ），
∴f 0′（x ）=e x （cosx+sinx ）+e x （﹣sinx+cosx ）=2e x cosx ， ∴f 1（x ）
'
f x e x cosx ，
∴f 1
′（x ）e x （cosx ﹣sinx ）， ∴f 2（x
）'f x =e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 2′（x ）=e x （cosx ﹣sinx ）+e x （﹣sinx ﹣cosx ）=﹣2e x sinx ， ∴f 3
（x ）=e x sinx ，
∴f 3′（
x ）=e x （sinx+cosx ）， ∴f 4（x ）=﹣e x （cosx+sinx ）， ∴f 4′（x ）=﹣2e x cosx ，
∴f 5（x ）=e x cosx ， ∴f 6（x ）=﹣e x （cosx ﹣sinx ），
∴f 7（x ）x sinx ， ∴f 8（x ）=e x （cosx+sinx ）， …，
∴()2018f x == f 2（x ）=()cos sin x
e x x -，
故选：B ．
点睛：本题通过观察几个函数解析式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳. 4．D 【解析】 【分析】
由题意可得展开式中x 2的系数为前一项中常数项与后一项x 的二次项乘积，加上第一项x 的系数与第二项x 的系数乘积的和，由此列方程求得a 的值． 【详解】
根据题意知，()5
1ax -的展开式的通项公式为()5r
r r C a x -，
∴展开式中含x 2项的系数为
22155C a C -a ＝58-，
即102a ﹣5a ＝58-，解得a ＝1
4
．
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用问题，利用二项式展开式的通项公式是解决此类问题的关键． 5．B 【解析】
()()6
6
22121x x x +-+，展开通项()
666166212k
k
k k
k k k T C x C x ---+==⨯⨯，
所以2k =时，24
622480C ⨯⨯=；3k =时，3362160C ⨯=，
所以4x 的系数为480160320-=，故选B ．
点睛：本题考查二项式定理．本题中，首先将式子展开得()()66
22121x x x +-+，再利用二项式的展开通项分别求得对应的系数，则得到问题所要求的4x 的系数． 6．A 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值.
详解：()5
12x -展开式的通项公式为：()()15522r
r
r
r r r T C x C x +=-=-，
由于()()()()555
21221212ax x x ax x +-=-+-，
据此可知含2x 项的系数为：()()2
1
21552228010C a C a ⨯-+-=-,
结合题意可知：801070a -=，解得：1a =. 本题选择A 选项.
点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 7．A 【解析】 【分析】
根据对立事件的概率公式，先求出p ，再依二项分布的期望公式求出结果 【详解】
()511(0)9P X P X ≥=-==，4(0)9
P X ∴==
即2
4(1)9p -=，所以13
p =，()2
23E X p ==，故选A ． 【点睛】
本题主要考查二项分布的期望公式，记准公式是解题的关键． 8．A 【解析】 【分析】
直接利用极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正，再结合图像即可得出结论. 【详解】
因为极小值点两侧函数的单调性是先减后增，对应导函数值是先负后正， 由图得：导函数值先负后正的点只有一个， 故函数()f x 在(),a b 内极小值点的个数是1. 故选：A 【点睛】
本题考查了极小值点的概念，需熟记极小值点的定义，属于基础题. 9．A 【解析】 【分析】
由题意，动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，求得p ，即可得到答案． 【详解】
由题意知，动圆圆心到定点(0,1)F 与到定直线1y =-的距离相等， 所以动圆圆心的轨迹是以F 为焦点的抛物线，则方程为2
4x y = 故选A 【点睛】
本题考查抛物线的定义，属于简单题． 10．C 【解析】 【分析】
本题需要分类讨论，首先需要讨论“P 在双曲线的右支上”这种情况，然后讨论“P 在双曲线的左支上”这种情况，然后根据题意，即可得出结果。

【详解】
若P 在双曲线的右支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为c a +， 因为满足题意的点P 在双曲线的左支，所以3a
c a ，即2a c <，所以2e >①，
若P 在双曲线的左支上，根据双曲线的相关性质可知，此时1PF 的最小值为
c a -， 想要满足题意的点P 在双曲线的左支上，则需要满足3a c a ，即4a c ≥，所以4e ≤②
由①②得24e <≤，故选C 。

【点睛】
本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考查了圆锥曲线中双曲线的相关性质，考查双曲线的离心率的取值范围，考查双曲线的长轴、短轴以及焦距之间的关系，考查推理能力，是中档题。

11．C 【解析】
全部用1,a d 表示，联立方程组，解出d 【详解】
10354==2=12a a a a + 104661a a d d -==⇒=
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。

12．B 【解析】 【分析】
根据组合数的公式，列出方程，求出x 的值即可． 【详解】 ∵2
21
99
x x C C --＝，
∴221x x -=-，或2219x x -+-＝， 解得1x =-（不合题意，舍去），或4x =； ∴x 的值是1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了组合数公式的应用问题，是基础题目． 二、填空题：本题共4小题 13．ln y x =-； 【解析】 【分析】
曲线绕坐标原点顺时针旋转90︒，这个变换可分成两个步骤：先是关于直线y x =对称，再关于x 轴对称得到. 【详解】
绕坐标原点顺时针旋转90°等同于先关于直线y x =翻折，再关于x 轴翻折，
x y e =关于直线y x =翻折得到ln y x =，再关于x 轴翻折得到ln y x =-.
【点睛】
本题表面考查旋转变换，而实质考查的是两次的轴对称变换，要注意指数函数与同底数的对数函数关于直线y x =对称. 14．a b <
【分析】
反证法假设命题的结论不成立，即反面成立。

【详解】
假设命题的结论不成立，即反面成立，所以应假设a b <，填a b <。

【点睛】
反证法的步骤：①假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）． 15．
【解析】 【分析】 在正数数列
中，由点
在直线
上，知
，所以
，得
到数列是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出前n 项和，得到答案．
【详解】
由题意，在正数数列中，，且
在直线上， 可得
，所以
，
即，
因为，所以数列表示首项为1，公比为2的等比数列，
所以
，
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n 项和公式的应用，同时涉及到数列与解析几何的综合运用，是一道好题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n 项和公式和通项公式的灵活运用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 16．[
)0,+∞ 【解析】
分析：p ：x R ∃∈，20x m -≤为真命题，2
,x R x m ∴∃∈≤ 则0.m ≥
详解：已知命题p ：x R ∃∈，20x m -≤为真命题，则实数m 的取值范围为[
)0,+∞. 即答案为[
)0,+∞
点睛：本题考查当特称命题为真时参数的取值范围，属基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）100n =；0.030a =；（2）680；（2）74. 【解析】 【分析】
（1）根据在[50,60)内有10人，以及频率分布直方图，即可列式求出n ；根据频率之和为1，即可列式求出a 的值；
（2）根据频率分布直方图，求出成绩合格的频率，即可得出结果； （3）根据每组的中间值乘以该组的频率，再求和，即可得出平均值. 【详解】
（1）因为在[50,60)内有10人，考试成绩在[50,60)的频率为0.01100.1⨯=， 所以10
0.101
0n =
=； 又由频率分布直方图可得：()0.0050.010.020.0250.01101a +++++⨯=， 解得：0.030a =；
（2）由频率分布直方图可得：化学成绩合格的频率为()10.0050.01100.85-+⨯=， 因此，化学成绩合格（不低于60分）的人数为8000.85680⨯=；
（3）由频率分布直方图可得，该校高二全体学生在这次模拟考试中的化学平均成绩为：
450.05550.1650.2750.3850.25950.174⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题型. 18．（1）7；（2）5
12
. 【解析】 【分析】
（1）利用二项式定理求出前三项的系数的表达式，利用这三个系数成等差数列并结合组合数公式求出n 的值，再利用二项式展开式通项可求出2x 项的系数；
（2）利用二项展开式通项求出展开式中有理项的项数为3，总共是9项，利用排列思想得出公共有9
9A 种排法，然后利用插空法求出有理项不相邻的排法种数，最后利用古典概型概率公式可计算出所求事件的概率．
【详解】
（1）∵前三项系数1、
112n C 、2
14
n C 成等差数列． 12
112C 1C 24
n
n ∴⋅=+，即2980n n -+=．∴8n =或1n = (舍去） ∴展开式中通项公式()
284318
6122r r
r
r r
r r n T C x C x x --+⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
T ，0.1r =，，1． 令2
423
r -
=，得3r =， ∴含x 2
项的系数为3
38
172C ⎛⎫= ⎪⎝⎭
； （2）当2
43
r -
为整数时，0,3,6r =． ∴展开式共有9项，共有9
9A 种排法． 其中有理项有3项，有理项互不相邻有6
3
67A A 种排法，
∴有理项互不相邻的概率为63679
95
12
A A P A == 【点睛】
本题考查二项式定理指定项的系数，考查排列组合以及古典概型的概率计算，在处理排列组合的问题中，要根据问题类型选择合适的方法求解，同时注意合理使用分类计数原理和分步计数原理，考查逻辑推理与计算能力，属于中等题． 19．（1）1
13
n n a -=；（2）1(21)344n
n n T +=-+⋅ 【解析】 【详解】
分析：（1）根据12233a a +=，2
3269a a a =列出关于首项1a ，公比q 的方程组，解得1a 、q 的值，即
可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得()1
13n n b n -=+⋅，结合等比数列求和公式，利用错位相减法
求解即可.
详解：设数列{}n a 的公比为q .由23a =269a a 得22349a a =，所以2
19
q =
. 由条件可知0q >，故1
3
q =.由12233a a +=得11233a a q +=，所以11a =. 故数列
的通项公式为11
3
n n a -=
(2)()1
13
n n b n -=+⋅
()()
()012211231233343313132333433132n n n n n
n T n n T n n ---∴=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯∴=⨯+⨯+⨯+
+⨯++⨯（）
()1211-22233313n n n T n -∴-=+++
+-+⋅（）（）得
()211344
n n n T +∴=-+⋅
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.
20．（1）10x y --=，2
4y x =；（2）16
【解析】 【分析】
（1）消去参数可得普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
可化极坐标方程为直角坐标方程；
（2
）可所作直线的参数方程为3,2,2
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
，代入抛物线方程2
4y x =，由t 的几何意义易求得PM PN .
【详解】
（1）直线l 的参数方程为3cos ,42sin ,4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
(t
为参数)，消去参数可得10x y --=，曲线C 的极坐标方程为2
4cos sin θρθ
=
，即2sin 4cos ρθθ=，化为2
4y x =. （2）过点(3,2)P 与直线l
垂直的直线的参数方程为3,2
2,2
x y ⎧
=-⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t 为参数)，代入24y x =
，可得2160t +-=，∴1216t t =-，故12||||16PM PN t t ⋅==.
【点睛】
本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的应用。

(1)直线方程中参数t 的几何意义的应用
经过点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为max ()f x (t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其
对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：
①t 0＝max ()f x ；
②|PM|＝|t 0|＝max ()f x ； ③|AB|＝|t 2－t 1|； ④|PA|·|PB|＝|t 1·t 2|.
[注意] 在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x ，y)到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M|＝|t|. 21．
1
4
【解析】 【分析】 先由等式tan 11
2tan 13
αα-=+求出tan α的值，利用诱导公式对所求分式进行化简，代入tan α的值可得出结
果. 【详解】 因为
tan 11
2tan 13
αα-=+，所以3tan 32tan 1αα-=+，所以tan 4α=，
因此，
()()()()()()()()cos 2sin 2cos sin 11
sin 2tan 2cos 4sin tan cos tan 4
αππαααπαπααπαααα---===--+-+--. 【点睛】
本题考查利用诱导公式化简求值，对于化简求值类问题，首先要利用诱导公式将代数式进行化简，再结合同角三角函数的基本关系或代值计算，考查计算能力，属于基础题.
22．（1）2
()22f x x x =++；（2）min 2
52,2,
()21, 2.
t t h x t t t -⎧=⎨
-++>⎩；（3）7m < 【解析】 【分析】
(1) 根据二次函数()f x ,则可设2()(0)f x ax bx c a =++≠,再根据题中所给的条件列出对 应的等式对比得出所求的系数即可.
(2)根据(1)中所求的()f x 求得2()2(1)2h x x t x =+-+,再分析对称轴与区间[1,)+∞的位置关系进行分类讨论求解()h x 的最小值即可.
(3)根据题意可知需求()f x 与()g x 在区间上的最小值.再根据对数函数与二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】
(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠. ①∵(0)2f =,∴(0)2f c ==, 又∵(1)()1f x f x x +-=+,
∴2
2
(1)(1)2223a x b x ax bx x ++++---=+,可得223ax a b x ++=+,
∴21,3,
a a
b =⎧⎨
+=⎩解得12a b =⎧⎨=⎩，，即2
()22f x x x =++.
(2)由题意知,2()2(1)2h x x t x =+-+,[1,)x ∈+∞,对称轴为1x t =-. ①当11t -,即2t 时,函数h (x )在[1,)+∞上单调递增, 即min ()(1)52h x h t ==-；
②当11t ->,即2t >时,函数h (x )在[1,1)t -上单调递减,在[1,)t -+∞上单调递增,
即2
min ()(1)21h x h t t t =-=-++.
综上,min 2
52,2,
()21, 2.
t t h x t t t -⎧=⎨
-++>⎩ (3)由题意可知min min ()()f x g x >,
∵函数()f x 在[1,4]上单调递增,故最小值为min ()(1)5f x f ==, 函数()g x 在[1,4]上单调递减,故最小值为min ()(4)2g x g m ==-+, ∴52m >-+,解得7m <. 【点睛】
本题主要考查利用待定系数法求解二次函数解析式的方法,二次函数对称轴与区间关系求解最值的问题,以及恒成立和能成立的问题等.属于中等题型.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．与曲线2
1y x e
=
相切于(,)P e e 处的切线方程是（其中e 是自然对数的底）（ ） A ．2y ex =-
B ．2y x e =-
C ．2y x e =+
D ．2y ex =+
2．下列关于积分的结论中不正确的是（ ） A ．
1
1
cos d 0x x x -=⎰
B ．
1
1
1
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰
⎰
C ．若()f x 在区间[],a b 上恒正，则()d 0b
a
f x x >⎰
D ．若
()d 0b
a
f x x >⎰
，则()f x 在区间[],a b 上恒
正
3．直线3y x =-与x a y e +=相切,实数a 的值为（ ） A ．4
B ．4-
C ．2
D ．2-
4．已知*n N ∈，设215n
x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ） A ．-250
B ．250
C ．-500
D ．500
5．已知5
x x ⎛
+ ⎪⎝
⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（ ） A ．3 B ．1 C ．6- D ．6
6．函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数'()y f x =可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课中，如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种（ ）
A ．24
B ．60
C ．72
D ．120
8．若函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞)
B ．[，2)
C ．[1,2)
D ．[1，)
9．若122
n n n n n C x C x C x ++
+能被7整除，则,x n 的值可能为 （ ）
A ．4,3x n ==
B ．4,4x n ==
C ．x="5,n=4"
D ．6,5x n ==
10．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，12,F F 分别是椭圆的左、
右焦点，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ）
A ．[1,2]
B ．2,3]
C ．2,4]
D ．[1,4]
11．已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且31log 10a f ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，()3log 9.1b f =，()
0.8
2c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
12．祖暅是南北朝时代的伟大科学家，公元五世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A ，B 为两个同高的几何体，:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共4小题 13．若
2
1
1
(2)3ln 2mx dx x
+=+⎰
，则实数m 的值为____________. 14．若不等式|x －a|<1的解集为{x|1<x<3}，则实数a 的值为________． 15．若不等式26ax +<的解集为(1,2)-，则实数a 的值为________．
16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =，则249a a a ++= ________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．进入春天，大气流动性变好，空气质量随之提高，自然风光越来越美，自驾游乡村游也就越来越热．某旅游景区试图探究车流量与景区接待能力的相关性，确保服务质量和游客安全，以便于确定是否对进入景区车辆实施限行．为此，该景区采集到过去一周内某时段车流量与接待能力指数的数据如表：
（I ）根据表中周一到周五的数据，求y 关于x 的线性回归方程．
（Ⅱ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为该线性回归方程是可靠的．请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？
附参考公式及参考数据：线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+，其中()(
)112
2
2
1
1
()
ˆ n
n
i i i i i i n
n
i i i i x x y y x y nxy x x x nx
b ====----==
--∑∑∑
∑
；
a y
b x =-
18．已知函数2
2
1
()cos22
x
x f x e e x -
=-+. （1）求()f x '
；
（2）证明：()f x 在区间(,)-∞+∞上是增函数.
19．（6分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n a n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；
（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.
20．（6分）定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.
（1）当2t =时，若[]
0,2x ∈， ()()2f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[]2,6-上的值域；
（2）设函数()f x 的值域为[]
,a a -，证明：函数()f x 为周期函数. 21．
（6分）甲乙两名选手在同一条件下射击，所得环数,ξη的分布列分别为
（I ）分别求两名选手射击环数的期望；
（II ）某比赛需从二人中选一人参赛，已知对手的平均水平在7.5环左右，你认为选谁参赛获胜可能性更大一些？
22．（8分）已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，1，1．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X 表示抽取的3人中睡眠充足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】
求出导函数，把x e =代入导函数，可求出切线的斜率，根据P 的坐标和直线的点斜式方程可得切线方程． 【详解】
由21y x e =
可得2
y x e
'=， 切线斜率2
'||2x e x e k y x e
=====，
故切线方程是()2y e x e -=-，即2y x e =-．故选B ． 【点睛】
本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴
平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-.
2．D 【解析】 【分析】
结合定积分知识，对选项逐个分析可选出答案. 【详解】
对于选项A ，因为函数cos y x x =是R 上的奇函数，所以1
1
cos d 0x x x -=⎰
正确；
对于选项B ，因为函数sin y x x =是R 上的偶函数，所以
1
11
sin d 2sin d x x x x x x -=⎰
⎰正确；
对于选项C ，因为()f x 在区间[],a b 上恒正，所以()f x 图象都在x 轴上方，故()d 0b a
f x x >⎰正确； 对于选项D ，若
()d 0b
a
f x x >⎰
，可知()f x 的图象在区间[],a b 上，在x 轴上方的面积大于下方的面积，
故选项D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题考查了定积分，考查了函数的性质，属于基础题. 3．B 【解析】 【分析】
利用切线斜率等于导数值可求得切点横坐标，代入x a
y e +=可求得切点坐标，将切点坐标代入3y x =-可
求得结果. 【详解】 由x a
y e
+=得：x a
y e
+'=
3y x =-与x a y e +=相切 1x a e +∴= ∴切点横坐标为：x
a
∴切点纵坐标为：01y e ==，即切点坐标为：(),1a -
31a ∴--=，解得：4a =-
本题正确选项：B 【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，关键是能够利用切线斜率求得切点坐标. 4．A 【解析】 【分析】
分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】
215n
x x ⎛⎫- ⎪
⎝
⎭的展开式 取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N =
429925n n M N n -=-=⇒=
5251031551(5)()5(1)r r r r r r r r T C x C x x
---+=-=- 取3r = 值为-250 故答案选A
【点睛】
本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.
5．D
【解析】
【分析】
根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第1r +项，整理成最简形式，令x 的指数为32，求得r ，再代入系数求出结果．
【详解】
二项展开式通项为5252
155r
r r r r r r T C C a x --+=⋅⋅=⋅⋅，令52322r -=，得1r =， 由题意得1
5530C a a ⋅==，解得6a =.
故选：D.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．
6．D
【解析】
【分析】
根据函数()f x 的单调性判断出导函数()'f x 函数值的符号，然后结合所给的四个选项进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
由图象可知，函数()y f x =在0x <时是增函数，
因此其导函数在0x <时，有()'0f x >（即函数()'f x 的图象在x 轴上方），因此排除A 、C ．
从原函数图象上可以看出在区间()10,x 上原函数是增函数，所以()'0f x >，在区间()12,x x 上原函数是减函数，所以()'0f x <；在区间()2,x +∞上原函数是增函数，所以()'0f x >．
所以可排除C ．
故选D ．
【点睛】
解题时注意导函数的符号与函数单调性之间的关系，即函数递增（减）时导函数的符号大（小）于零，由此可判断出导函数图象与x 轴的相对位置，从而得到导函数图象的大体形状．
7．B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意,先从五节课中任选两节排数学与语文,剩余的三节任意排列,则有
235360A =种不同的排法.
本题选择B 选项.
8．D
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的极值性，令极值点属于已知区间即可.
【详解】 2141()4x f x x x x '
-=-= 所以102
x <<时()0,()f x f x '<递减， 12
x >
时，()0,()f x f x '>递增， 12x =是极值点， 因为函数2()2ln f x x x =-在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数， 所以10112k k ≤-<
<+，即312k ≤<， 故选:D.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的极值，其中考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题.
9．C
【解析】
【分析】
【详解】
122(1)1n n n n n n C x C x C x x +=+++-
所以当5,4x n ==时，1224(15)11857n n n n n C x C x C x ++
+=+-=⨯能被7整除，选C. 10．D
【解析】
分析： 由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，(
)112F AB S a c b ∆=-=
2,a c ==，1PF x =可得()2
1211442PF PF x +=--，从而可得结果. 详解：由得椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为22,1b b ==，(
)112F AB S a c b ∆=-=
解得22,a c a c -=∴==
1224PF PF a +==，设1PF x =， 则24PF x =-，[]
,x a c a c ∈-+，
即22x ⎡∈⎣，
()
[]212111141,4442PF PF x x x ∴+=+=∈---，故选D. 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.
11．C
【解析】
【分析】 根据对数运算性质和对数函数单调性可得3
31log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.83
31log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭
，结合()f x 为奇函数可得大小关系. 【详解】 33331log log 10log 9.1log 9210
-=>>=，0.822< 即：0.8331log log 9.1210->> 又()f x 是定义在R 上的减函数 ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭
又()f x 为奇函数 3311log log 1010f f ⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝
⎭，即：c b a >>
本题正确选项：C
【点睛】
本题考查根据指数函数、对数函数单调性，结合奇偶性比较函数值的大小关系，关键是能够通过函数得单调性，利用临界值的方式得到自变量之间的大小关系.
12．A
【解析】
分析：利用祖暅原理分析判断即可.
详解：设A ，B 为两个同高的几何体，
:p A ，B 的体积不相等，:q A ，B 在等高处的截面积不恒相等．
如果截面面积恒相等，那么这两个几何体的体积一定相等，
∴根据祖暅原理可知，p 是q 的充分不必要条件.
故选：A.
点睛：本题考查满足祖暅原理的几何体的判断，是基础题，解题时要认真审查，注意空间思维能力的培养.
二、填空题：本题共4小题
13．1
【解析】
【分析】
先求12mx x
+的原函数()F x ,再令(2)(1)3ln 2F F -=+即可. 【详解】 易得
12mx x +的原函数2()ln F x x mx =+,所以211(2)(2)(1)3ln 2mx dx F F x +=-=+⎰, 即ln 243ln 2m m +-=+,故1m =
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查定积分的基本运算,属于基础题型.
14．2.
【解析】
分析：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，代入即可.
详解：由题意可得，1和3是方程|x －a|＝1的根，则有
解得a ＝2.
故答案为：2.
点睛：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用.
15．4-
【解析】
【分析】。