海南省高考模拟测试题

E
D
C
A
B
第5题
第1题图
高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
海南省2015年高考模拟测试题
理科数学试题卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的;每小题选出答案后，请用2B 铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.)
1、若i 为虚数单位，图1中网格纸的小正方形的边长是1平面内点Z 表示复数z ，则复数12z
i
-的共轭复数是
A ．35
i - B. i - C ．3
5 D ．i
2、能够把圆O :1622=+y x 的周长和面积同时分为相等的两 部分的函数称为圆O 的“和谐函数”,下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是 A ．3()4f x x x =+ B ．()x x f x e e -=+ C ．()tan
2x f x = D ． 5()15x
f x n x
-=+ 3、若函数)0,0(1)(>>-=b a e b
x f ax
的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相
切,则a b +的最大值是
A. 4
B. 2
C. 2
D.2
4、设集合{}2),(≤+=y x y x A ，{2(,)B x y A y x =∈≤，从集合A 中随机地取出一个元素(,)P x y ，则(,)P x y B ∈的概率是
A ．121
B ．32．2417 D ．6
5
5、在ABC ∆中，30CAB CBA ∠=∠=，,AC BC 边上的高分别为
,BD AE ，则以,A B 为焦点，且过,D E 两点的椭圆和双曲线的离心率的乘积为
A. 1
B. 3
C. 2
D. 36、根据如图所示程序框图，若输入2146m =，1813n =，
1
A
第8题图
则输出m的值为
A. 34
B. 37
C. 148
D.333
7、下列命题，正确的个数是
①直线
5
3
x
π
=是函数sin22
y x x
=的一条对称轴
②将函数
3
cos()
2
y x
π
=+的图像上的每个点的横坐标缩短为原来的
1
2
（纵坐标
不变），再向左平行移动
4
π
个单位长度变为函数sin(2)
4
y x
π
=+的图像．
③设随机变量ξ～)9,3(
N，若()0.3
P a
ξ<=
，(3)
a<，则(6)0.7
P a
ξ<-=
④10
1
)
x
的二项展开式中含有1
x-项的二项式系数是210.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8、如图，在棱长为a的正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD-中，P为
1
1
D
A的中点，Q为
1
1
B
A 上任意一点，F
E、为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值
中不为定值的是
A. 点P到平面QEF的距离
B. 三棱锥QEF
P-的体积
C. 直线PQ与平面PEF所成的角
D.二面角Q
EF
P-
-的大小
9、已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
310
30,
10
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-≥
⎩
则tan AOB
∠
A．
3
4
．
4
7
D．
9
4
10、已知函数()
f x=()cos
g x x
π
=在区间[0,2]上的图像交于,A B
两点，则OAB
∆的面积是
A.
8
B.
2
C.
8
D.
4
11、已知双曲线
2
21
3
y
x-=的左、右焦点分别为
12
,
F F，双曲线的离心率为e，若
双曲线上一点P使21
12
sin
sin
PF F
e
PF F
∠
=
∠
，Q 点为直线
1
PF上的一点，且
1
3QF
PQ=，
则
22
1
F Q F F
⋅的值为
A．
2
25
C．
5
2
D．
2
12、设等差数列{n a的前n项和为n S，已知()3
77
12012(1)1
a a
-+-=，
()3
20062006
12012(1)1
a a
-+-=-，则下列结论正确的是
A．
2012
2012
S=-，
20127
a a
>B．
2012
2012
S=，
20127
a a
>
C．
2012
2012
S=-，
20127
a a
<D．
2012
2012
S=，
20127
a a
<
第Ⅱ卷
D
B
第18题图 第15题图2
2侧视图
32
2
正视图
11B A 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13、在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ⋅<，且△ABC 的面积为
3
2
，则BAC ∠=_______
14、采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为_________
15、某几何体的三视图如图所示，则此几何体的对应直观图中PAB
∆的面积为__________.
16、若对于定义在R 上的函数()f x ,其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都
成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”. 有下列关于 “λ—伴随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”；②()f x x =不是“λ—伴随函数”； ③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”；④“21
—伴随函
数”至少有一个零点. 其中不正确．．．的序号是_________（填上所有不．正确．．
的结论序号）． 三、解答题（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4232S S =+，22n n a a =， （1）求等差数列{}n a 的通项公式n a .
（2）令22
21
(1)n n
n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对任意*n N ∈，都有 31
164
n T ≤<.
18. （本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．AB ∥CD ，BC AB ⊥，BC CD AB 22==，EA EB ⊥． （1）求证：AB DE ⊥；
（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；
（3）线段EA 上是否存在点F ，使EC // 平面FBD ？若存在，求
出EF EA
；若不存在，说明理由． 19.（本小题满分12分）某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N 名学生，
其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间[90，100]内的学生人数为2人。

（1）求N 的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；
第22题图
（2）学校从成绩在[70，100]的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生实力相当，且能通过
复试的概率均为1
2
，设成绩在[80，90）这一小组中被抽中的学生中能通过复试
的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为2
1
，椭圆C 的右焦
点F 和抛物线:G 2
4y x =的焦点相同. （1）求椭圆C 的方程.
（2）如图，已知直线:l 2y kx =+与椭圆C 及抛物线G 都有两个不同的公共点，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点；过焦点F 的直线l '与抛物线G 交于,C D 两点，
记OA OB OC OD λ=⋅-⋅，求λ的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）对于任意正实数x ，不等式1
()2
f x kx >-恒成立，求实数k 的取值
范围；
（3）是否存在最小的正常数m ，使得：当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()x f a x f a e +<⋅恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性.
四、选答题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所选的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.）
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 是O Θ的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，F 为BA 延长线上一点，且BF BA BE BD ⋅=⋅，求证： （1）EF FB ⊥；
（2）90DFB DBC ∠+∠=︒．
23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.
在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθ
θ=+⎧⎨=⎩
(θ为参数)，若
以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
N 的极坐标方程为：2
sin()4
2
π
ρθ+=
（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 只有一个公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数()|31| 3.f x x ax =-++
（1）若a=1，解不等式()5
f x ；
（2）若函数()
f x有最小值，求实数a的取值范围.
海南省2015年高考模拟测试题
数学理科卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D
C
C
B
B
C
A
A
A
D
13、150 14、0.25 15、7 16、 ① ③ 三、解答题 17、解：（1）.设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由4232S S =+，22n n a a =得
1111463(2)2(21)2[(1)]a d a d a n d a n d +=++⎧⎨+-=+-⎩，解得122
a d =⎧⎨
=⎩，所以*
2,n a n n N =∈ ……….6分 （2）.因为*
2,n a n n N =∈，所以2222
21111[](1)44(1)
n n b n n n n +==-++，则222222*********[1]422334(1)n T n n =-+-+-++-+=
2
11[1]4(1)n -+. 因为*
1,n n N ≥∈，所以31164
n T ≤<. ……….12分
18、证明：（Ⅰ）取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为EA EB =，所以AB EO ⊥． 因为四边形ABCD 为直角梯形，BC CD AB 22==，BC AB ⊥，
所以四边形OBCD 为正方形，所以OD AB ⊥．
所以⊥AB 平面EOD ． 所以 ED AB ⊥．……4分 解：（Ⅱ）因为平面⊥ABE 平面ABCD ，且 AB EO ⊥，
所以⊥EO 平面ABCD ，所以OD EO ⊥． 由OE OD OB ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -．因为三角形EAB 为等腰直角三角形，所以OE OD OB OA ===，设1=OB ，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -． 所以
)1,1,1(-=EC ，平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =． 设直线EC 与平面ABE 所成的
角为θ，所以 ||3
sin |cos ,|3||||
EC OD EC OD EC OD θ⋅=〈〉==， 即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为
3
3
．…8分 （Ⅲ）存在点F ，且
1
3
EF EA =时，有EC // 平面FBD ． 证明如下：由 )31,0,31(31--==EA EF ，)32,0,31(-F ，所以)3
2,0,34(-=FB ．
设平面FBD 的法向量为v ),,(c b a =，则有0,0.BD FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩v v 所以 0,42
0.3
3a b a z -+=⎧⎪
⎨-=⎪⎩ 取1=a ，得)2,1,1(=v ．因为 ⋅EC v 0)2,1,1()1,1,1(=⋅-=，且⊄EC 平面FBD ，所以 EC // 平
面FBD ． 即点F 满足
1
3
EF EA =时，有EC // 平面FBD ．…………12分 19、解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间[90，100]内的频率为0.005100.05⨯=，
所以2
40,0.05
N =
= 利用中值估算抽样学生的平均分：
45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72.所以，估计这次考试的平均分是72分．由频率分布直方图可知，成绩分布在[70，80]间的频率最大，所以众数的估计值为区间[70，80]的中点值75分 ……………（6分）
（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）
（2）由（1）知，成绩在[70，100]内的学生共有40(0.30.250.05)24⨯++=人，成绩在 [80，90）这一小组的人数有400.02510⨯=人.所以从这一小组中抽出的人数为
1210524⨯=人，依题意知1(5,)2B ξ，5555111
()()()()222
k k k k P x k C C -==⋅=， 05511(0)()232P C ξ===
，15515(1)()232P C ξ===，25
5110(2)()232
P C ξ===， 355110(3)()232P C ξ===
，45515(4)()232P C ξ===，55
511(5)()232
P C ξ===， 所以ξ的分布列为：
数学期望522
E ξ=⨯=. …………..（12分）
20. 解：（1）椭圆的离心率12
c a =，抛物线2
4y x =的焦点为(1,0)，所以椭圆中的1c =，
2a =，2
3b =.所以椭圆的方程为22143
x y +
=. ……4分 （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，3344(,),(,)C x y D x y ，则
由22
143
2x y y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
消去y
可得
22(34)1640
k x kx +++=（①），由
221(16)44(34)0k k ∆=-⨯⨯+>解得12k <-或1
2
k >；
由242
y x y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得224(1)40k x k x +-+=，由22216(1)160k k ∆=--> 解得12k <，所以1
2
k <-。

…………………6分
由①可得1221221634434k x x k x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨
⎪⋅=⎪+⎩
，
1212(2)(2)y y kx kx ⋅=+⋅+2
12122()4k x x k x x =⋅+++22
121234k k
-=+， 所以2
12122
161234k OA OB x x y y k -⋅=+=+ …………………8分
当l '的斜率不存在时，(1,2),(1,2)C D -，此时， 3OC OD ⋅=-
当l '的斜率存在时，设l '的方程为(1)y m x =-，(0)m ≠，由由24(1)y x
y m x ⎧=⎨=-⎩
消去y 可得
2222(24)0m x m x m -++=，所以341x x ⋅=，344y y =-=-，所以
3OC OD ⋅=-，…………………10分
则λ=221612334k k -++22534k =+， 因为12k <-，所以2
14k >，所以2504
λ<<
.…12分 21. 解 ：⑴令()l n 10f x x '=+=,得1x e =.当1
(0,)x e
∈时，()0f x '<；
当1(,)x e ∈+∞时，()0f x '>.所以函数()f x 在1(0,)e 上单调递减，在1
(,)e
+∞上单调递增. (3分)
⑵由于0x >，所以11
()l n l n 22fx xxk x k x x
=>-⇔<+.构造函数1()ln 2k x x x =+，则
令221121
()0
22x kx x x x
-'=-==，得12x =.当1(0,)2x ∈时，()0k x '<；当1(,)2x ∈+∞时，()0k x '>.所以函数()k x 在点1
2
x =处取得最小值，即
m i n
11
()()l n 11l n 222
k x k ==+=-. 因此所求的k 的取值范围是(,1l n 2)-∞-. (7分) ⑶结论：这样的最小正常数m 存在. 解释如下：
()()()ln()ln x x f a x f a e a x a x a a e +<⋅⇔++<⋅()ln()ln a x
a a x a x a a
e e
+++⇔<. 构造函数ln ()x
x x
g x e =，则问题就是要求()()g a x g a +<恒成立. (9分)
对于()g x 求导得 2(ln 1)ln ln 1ln ()x x x x
x e x x e x x x
g x e e +-⋅+-'==. 令()ln 1ln h x x x x =+-，则1
()ln 1h x x x
'=--，显然()h x '是减函数.
又(1)0h '=，所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数，而2
222222
111122()ln 1ln 210e h e e e e e e
-=+-⋅=-++=<， (1)ln11ln110h =+-=>，()ln 1ln 1120h e e e e e e =+-=+-=-<.
所以函数()ln 1ln h x x x x =+-在区间(0,1)和(1,)+∞上各有一个零点，令为1x 和
2x 12()x x <，并且有: 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上，()0,h x <即()0g x '<；在区间
12(,)x x 上，()0,h x >即()0g x '>. 从而可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单调
递减，在区间12(,)x x 上单调递增. (1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，
()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. 题目要找的2m x =，理由是：
当2a x >时，对于任意非零正数x ，2a x a x +>>，而()g x 在2(,)x +∞上单调递减，所以()()g a x g a +<一定恒成立，即题目所要求的不等式恒成立，说明2m x ≤； 当20a x <<时，取2x x a =-，显然0x >且2()()()g a x g x g a +=>，题目所要求的不等式不恒成立，说明m 不能比2x 小.
综合可知，题目所要寻求的最小正常数m 就是2x ，即存在最小正常数2m x =，当a m >时，对于任意正实数x ，不等式()()x
f a x f a e +<恒成立. (12分)
( 注意：对于1x 和2x 的存在性也可以如下处理： 令()ln 1ln 0h x x x x =+-=，即1ln 1x x =
-. 作出基本函数ln y x =和1
1
y x =- 的图像，借助于它们的图像有两个交点很容易知道方程1
ln 1
x x =-有两个正实数根1x 和2x ，且
101x <<，21x >（实际上2 2.24x ≈），可知函数()g x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞上单
调递减，在区间12(,)x x 上单调递增.(1)0g =，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，
()0g x >. 还有2()g x 是函数的极大值，也是最大值. ）
22. （Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中
，
BD BE BA BF ⋅=⋅BD BF
BA BE
∴
=又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆，则90EFB ADB ∠=∠= EF FB ∴⊥ ………5分
(Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠= ， 又90EFB ∠=
∴E F A D 、、、四点共圆； DFB AEB ∴∠=∠ ，又AB 是⊙O 的
直径，则90ACB ∠=， ∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=……10分
23.解：对于曲线M,消去参数，得普通方程为
2,12≤-=x x y ,曲线
M
是抛物线的
一部分； 对于曲线N ，化成直角坐标方程为t y x =+，曲线N 是一条直线. (2分)
(1)若曲线M,N 只有一个公共点，则有直线N
过点时满足要求，并且向左下方平
行运动直到过点(之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到
相切之前总是有两个公共点，所以11t <≤
满足要求；相切时仍然只有一
个公共点，由12-=-x x t ，得2
10,x x t +--=14(1)0t ∆=++=，求得54
t =-. 综合
可求得t
的取值范围是：11t <≤或54
t =-. （6分）
(2)当2-=t 时，直线N: 2-=+y x ，设M 上点为)1,(2
00-x x
，0x ≤
8232
43)21(212002
≥++=
++=x x x d ， 当012x =-
时取等号，满足0x ≤8
2
3. (10分)
24.解：（Ⅰ）1a =时，()|31|3f x x x =-++.
当1
3
x ≥
时，()5f x ≤可化为3135x x -++≤，解之得1334x ≤≤；
当1
3
x <时，()5f x ≤可化为3135x x -+++≤，解之得1123x -<≤. 综上可得，原不等式的解集为13
{|}.24
x x -
≤≤……………………………………5分 （Ⅱ）1(3)2,()3()|31|31(3) 4.()3a x x f x x ax a x x ⎧++⎪⎪=-++=⎨⎪-+<⎪⎩
≥
B
函数()f x 有最小值的充要条件为30,
30,
a a +⎧⎨
-⎩≥≤即33a -≤≤……………………10分。