非线性电路分析法

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1）半流通角 电流流通时间所对应的相角叫流通角，用
叫做半流通角或截止角。有 c
2c 表示，
上式来自以下推导：
vB VBB Vbm cost
iC gc (vB VBZ )
gc (VBB Vbm cos t VBZ )
当wt＝θc时，iC＝0。代入上式即得。
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2）集电极电流脉冲
iC gc (VBB Vbm cos t VBZ )
式 sin cos 1 sin( ) 1 sin( )
2Hale Waihona Puke 2cos sin 1 sin( ) 1 sin( )
2
2
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3，幂级数分析法的具体应用举例 设非线性元件的静态特性用三次多项式表示
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
工作范围尿限于特性曲线得起始弯曲部分因此可以用幂级数的前三项来近似3结合输入电压的时间函数求电流写出静态特性的幂级数表示式后将输入电压的时间函数代入然后用三角恒等式展开并加以整理即可得到电流的傅立叶级数展开式从而求出电流的各频谱成分
非线性电路分析法
变系数线性微分方程、非线性微分方程的求解问题:
1 困难
3）电流中的直流成分、偶次谐波以及组合频率系数之和为偶数的各种组合频率成 分，振幅只与幂级数的偶次项（包括常数项）有关；奇次谐波等的组合频率成分， 振幅则只与幂级数的奇次项有关。
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4）m次谐波以及系数之和等于m的各个组合频率成分，振幅只与幂级数中等于及 高于m次的各项系数有关。
5）所有组合频率都是成对出现的。 掌握这些规律很重要。 可以利用这些规律，根据不同的要求，选用具有适当特性的非线性元 件，或者选择合适的工作范围，以得到所需的频率成分，而尽量减弱 甚至消除不需要的频率成分。
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3，折线法分析非线性电路举例 在晶体管基极上加上直流偏压VBB，和一个振幅很大的余弦信号电压vb。 利用折线分析法来分析晶体管非线性电路。 结合图解法和解析法。
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只有基极电压vB大于VBZ时才有集电极电流通过，其余时 间管子处于截止状态。利用图解法可以画出集电极电流 的大概形状，不再是余弦波，而是余弦脉冲波形。
1）若信号电压小，而且只工作在特性曲线比较接近于直线的部分，只取级数 的前两项即可。
2）若信号电压小，且只工作在特性曲线的起始弯曲部分，则至少需取级数的 前三项。
3）若信号电压大，特性曲线运用范围很宽，则需取更多项。
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举例： 如图所示的非线性伏安特性。考虑上述三种情况下， 特性曲线的数学表达式如何得到。
i I01 g(v V01)
i b0 b1 (v V02 ) b2 (v V02 )2
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
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（2）确定系数 求系数的一般方法： 选择特性曲线上的点，根据曲线求出函数值，再根据表达式求出同一点上的函 数值，让这两个函数值相等，列出一个方程； 需要确定几个系数，就选择几个点，列几个方程。 解这些方程，即可确定各个系数。
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上式中，
Ik iC maxk (c )
( ) 函数
叫波形分解系数，取决于截止角的大小。
kc
可以用公式进行计算，也可以根据绘制好的函数曲线查到。
结论： 只要知道集电极电流脉冲的最大值和截止角，即可求出电流中各频谱成分的大小。
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写出静态特性的幂级数表示式后，将输入电压的时间函数代入，然后用三角 恒等式展开并加以整理，即可得到电流的傅立叶级数展开式，从而求出电流 的各频谱成分。
cos cos 1 cos( ) 1 cos( )
2
2
三 角 恒 等
sin sin 1 cos( ) 1 cos( )
2
2
常用非线性元件特性曲线的数学表达式，有些还只能选择某些函数近似地 表示。
解析法
幂级数分析法 折线分析法
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一、幂级数分析法
1，数学基础
（1）幂级数表示法
常用非线性元件的特性曲线，都可以用幂级数表示。
设非线性元件的特性曲线用非线性函数 描述，如果函数的各阶导数存在，则可以展开成幂级数：
i f (v)
i a0 a1v a2v 2 a3v3
该级数的各个系数与函数的各阶导数 有关。
3
（2）泰勒级数表示法 如果函数 i=f(v) 在静态工作点V0附近的各阶导数都存在，也可以在静态工作点附 近展开为幂级数，这样得到的幂级数即为泰勒级数
i b0 b1 (v V0 ) b2 (v V0 )2 b3 (v V0 )3
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二、折线分析法 1，大信号时的非线性电路分析法
输入信号当足够大时，若用幂级数分析，必须选取比较多的项，这使分析计算变得 很复杂。 这时，折线分析法是一种比较好的分析方法。 信号较大时，所有实际的非线性元件，几乎都会进入饱和或截止状态。此时，元件 的非线性特性的突出表现是截止、导通、饱和等集中不同状态之间的转换。 此时，忽略非线性伏安特性的尾部弯曲，用直线段组成的折线来近似代替实际的特 性曲线，不会带来多大误差，而使分析大大简化。
加在该元件上的电压为
v V0 V1m cos1t V2m cos2t
将电压代入三次多项式，用三角公式将各项展开，整理之后可得通过该元件的电 流为（见后面3页）：
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i
b0
1 2
b2V12m
1 2
b2V22m
(b1V1m
3 4
b3V13m
3 2
b3V1mV22m
)
c
os1t
(b1V2m
3 4
b3V23m
cos(21
2 )t
3 4
b3V1mV22m
cos(1
22
)t
3 4
b3V1mV22m
cos(1
22
)t
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从结果可以看出以下规律： 1）由于特性曲线的非线性，输出电流中产生了输入电压中没有的新的频率成分：二 次谐波、三次谐波、输入频率与二次谐波所形成的各种组合频率，以及直流分量。
2）由于表示特性曲线的幂多项式最高次数等于三，所以电流中最高谐波次数不超过 三，各组合频率的系数之和也不超过三。
令
g cVbm
I ，当 m
wt 2k c 时，得
iC Im (cos t cos c )
当 wt 0 时，
i i ，于是有
C C max
iC max I m(1 cos c )
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将上面两个式子结合，消去Im即可得到集电极电流脉冲的数学表达式 这是个周期脉冲波形，用傅立叶级数展开，可求出各频谱成分，即
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4，说明 实际工作中，非线性元件总是要与一定性能的线性网络配合起来使用。 非线性元件的主要作用在于进行频率变换，线性网络的主要作用在于选频或者滤 波。 当用线性网络做为负载时，在非线性元件特性曲线上各个瞬时工作点的连接线 （轨迹）叫做动态特性曲线。
根据器件的外部工作条件可以直接在动态特性曲线上求电流。一般很复杂。 为了分析简化又说明问题，一般用静态特性。
其中，系数b0
是静态工作点电流， b1是静态工作点处的 电导。
b0 f (V0 ) I 0 di
b1 dv vV0 g
1 d 2i b2 2 dv2
v V0
b3
1 3!
d 3i dv3
v V0
bn
1 n!
d ni dvn
v V0
4
2，非线性元件的幂级数分析方法 （1）确定特性曲线近似数学表达式的形式 级数的项数取得过多，会给计算带来麻烦； 从工程计算的角度看，也没有必要。 做法：实际应用中，常只取级数的若干项。
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举例： 二极管2AP12的伏安特性曲线，直流偏压V0 ＝0.4V，信号电压振幅不超过0.2V。
工作范围局限于特性曲线得起始弯曲部分， 因此可以用幂级数的前三项来近似
i b0 b1 (v V02 ) b2 (v V02 )2 i 8 40(v 0.4) 50(v 0.4)2
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（3）结合输入电压的时间函数，求电流
3 2
b3V12mV2m
)
c
os2
t
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1 2
b2V12m
cos21t
1 2
b2V22m
cos22t
b2V1mV2m cos(1 2 )t
b2V1mV2m cos(1 2 )t
1 4
b3V13m
cos31
1 4
b3V23m
cos32t
12
3 4
b3V12mV2m
cos(21
2
)t
3 4
b3V12mV2m
有些结果繁琐，不适合工程应用。 有些方程，严格求解几乎不可能。
2 解决办法：不得不用近似方法求解。
图解法 解析法
都借助非线性元件的特性曲线。
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图解法：根据非线性元件的特性曲线和输入信号波形，通过作图直接求出电路中 的电流和电压波形。
解析法：根据非线性元件特性曲线的数学表达式列出电路方程，求解。
非线性元件的特性曲线，可用实验得到。
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2，晶体管的转移特性曲线近似
晶体管的转移特性曲线，在运用范围很大时， 可以用两条直线段构成的折线来近似。
折线的数学表示式为
ic 0
(vB VBZ )
ic gc (vB VBZ ) (vB VBZ )
VBZ是晶体管特性曲线折线化后的截止电压，gc是跨导。 成立还需满足条件：vCE>VCE（集电极饱和压降）。