八年级数学上册 3.2 勾股定理的逆定理学案 苏科版
八年级数学《勾股定理的逆定理》教案
八年级数学《勾股定理的逆定理》教案八年级数学《勾股定理的逆定理》教案作为一名优秀的教育工作者，时常需要用到教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是店铺精心整理的八年级数学《勾股定理的逆定理》教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
重点、难点分析本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用。
它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形。
为判断三角形的形状提供了一个有力的依据。
本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用。
在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方。
教法建议：本节课教学模式主要采用“互动式”教学模式及“类比”的'教学方法。
通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题。
在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛。
通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培养学生思维能力的目的。
具体说明如下：（1）让学生主动提出问题利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来。
这里分别找学生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容。
所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难。
这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力。
（2）让学生自己解决问题判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路。
（3）通过实际问题的解决，培养学生的数学意识。
教学目标：1、知识目标：（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数。
勾股定理的逆定理数学教案
勾股定理的逆定理数学教案
标题：勾股定理的逆定理数学教案
一、教学目标
1. 知识与技能目标：理解并掌握勾股定理的逆定理，并能运用它解决实际问题。
2. 过程与方法目标：通过探究、讨论、练习等活动，提高学生的观察力、思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们的合作精神和实事求是的科学态度。
二、教学内容与过程
1. 引入新课：通过一些简单的实例，让学生感受到直角三角形中边长之间的关系，引出勾股定理的逆定理。
2. 新课讲解：首先回顾勾股定理的内容，然后提出问题：如果一个三角形的三条边满足a²+b²=c²，那么这个三角形一定是直角三角形吗？引导学生思考这个问题，从而引入勾股定理的逆定理。
3. 例题解析：给出几个具体的例子，让学生通过计算验证勾股定理的逆定理是否成立。
4. 练习巩固：设计一些习题，让学生自己动手计算，进一步理解和掌握勾股定理的逆定理。
三、教学反思
在本节课的教学过程中，要注意引导学生主动思考，积极参与课堂活动。
同时，要注重理论联系实际，使学生能够将所学知识应用到实际生活中去。
苏科版八年级数学上册教案《3.2勾股定理的逆定理》
《3.2勾股定理的逆定理》这节内容选自《苏科版》义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第三章《勾股定理》中的第二节。
勾股定理的逆定理是几何中一个非常重要的定理，它是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形的一种重要方法。
还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。
八年级正是学生由实验几何向推理几何过渡的重要时期，通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生的分析思维能力，发展推理能力。
在教学中渗透类比、转化，从特殊到一般的思想方法。
【知识与能力目标】1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.2. 会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论.【过程与方法目标】进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型.【情感态度价值观目标】敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.教师准备：课件、多媒体、三角板学生准备：三角板、练习本一、导入课题教师道白：上节课我们已经知道边长为3，4，5，的三角形的直角三角形（），是不是只有三边长为3、4、5的三角形才可以成为直角三角形呢？现在请同学们做一做.二、做一做1、画一画：用尺规画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）3、4、3 3、4、5 3、4、6 5、12、13请判断三角形的形状，并验证三边关系.同学们在运算、交流形成共识后，教师要学生完成.2、猜想：三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？同学们在在形成共识后板书：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形.满足的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足勾股定理时，三角形为直角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.这就是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形.三、讲解例题例1.下列各组线段中哪些可以组成直角三角形？①5，13，12；②4，5，7；③3a，4a，5a(a为正整数)；④9,12,15：；⑤0.3,0.4,0.5；⑥111 ,, 345例2 如图3－2－2，在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求DC的长．四、课堂小结列表总结四、随堂练习1. 下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（）．A．3，4，5；B．10，6，8；C．4，5，6；D．12，13，5．2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ABC为直角三角形的第三边的平方是（）A．161；B．289；C．17；D．161或289．3、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．例已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A ＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？变式：要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗？拓展延伸：设△ABC的3条边长分别是a、b、c，且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？思考：若△ABC的三边a、b、c满足条件a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，试判断△ABC的形状.探究：像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．①从前2个表中你能发现什么规律？②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看．五、作业1、课本P85习题3.2的1，2题.略。
苏科初中数学八上--勾股定理 教案 (2)
勾股定理教材分析：本节课在课程标准中属于空间与图形的学习，是在积累了一定的活动经验与掌握了一定的图形性质的基础上、在学生学习了勾股定理及其逆定理的基础上进行的，揭示了形与数之间的紧密联系，是对勾股定理应用的广泛性的初步认识。
既要注重知识的前后联系，也要体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。
教学中力求实现以教师为主导，以学生为主体，以知识为载体，以培养学生的思维能力，动手能力，探究能力为重点的教学思想。
尽量为学生创设“做数学”的情境，小组合作，探究交流得到了真正体现，真正体现了新课标的理念。
一、学情分析：在知识与方法上与学生已经学习的三角形、四边形等探索图形性质活动密切相关，通过本节课的学习作为学习实数的一个重要基础；进一步培养学生推理论证的一个题材。
让学生经历探索过程，掌握勾股定理及逆定理，能运用它们解决一些简单问题，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
本节课的学习是前面知识的继续和深化，对以后无论是教学内容还是解题思维，将起十分广泛的作用。
三、教学目标：1、知识和能力：灵活运用勾股定理解决问题，会构造直角三角形或运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形，从而为运用勾股定理解决问题创造条件。
2、数学思考、解决问题：在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的能力及渗透归纳、分类讨论、数形结合、数学建模的思想。
通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验。
3、情感态度和价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣，体验数学学习的实用性，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益。
四、教学重点难点：本节课的教学重点是灵活运用勾股定理解决问题，本节课的教学难点是勾股定理与几何的数形结合，以及勾股定理在实际生活中的应用。
充分运用多媒体教学手段，设置问题、探究讨论、例题讲解、课堂小结直至布置作业，有机地融入了知识归纳与讲解、典型例题剖析突出主线，层层深入，逐一突破重难点。
《勾股定理的逆定理》教学案例评析
《勾股定理的逆定理》教学案例评析作者：吴曙邹循东梁宇来源：《广西教育·A版》2015年第02期【关键词】初中化学实验教学快乐实践【中图分类号】G 【文献标识码】A【文章编号】0450-9889（2015）02A-0079-02勾股定理及其逆定理是初中数学中两个非常重要的定理，《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》对其要求是“探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
”笔者有幸参加了江苏省第26届“教海探航”苏派与全国名师课堂教学观摩活动，为期两天的教学观摩让众多教师受益匪浅，现将潘淳老师执教的《勾股定理的逆定理》的教学片段整理出来，与读者共赏。
一、片段呈现【片段1】黑板上画出三个三角形（如下图），并提出问题：<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°图1 ; ; 图2 ; ; 图3问题一：上节课我们一起学习了勾股定理的有关知识，观察黑板上第一个三角形（图1），你能结合图形利用已学的知识得到哪些信息？生交流后可以得出∠C=90°，AC2+CB2=AB2，面积S=等。
问题二：观察第二个三角形（图2），由条件<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼a1.tif>+<P：＼广西教育＼2014广西教育＼2015＼2015-2A＼图片＼b.tif>=90°你能得到哪些信息？生交流后可以得出∠F=90°，DF2+FE2=DE2，面积S=等。
问题三：观察第三个三角形（图3），知道三角形三边长分别是3，4，5，你还能求出三角形的面积吗？生交流后回答不能，缺少直角条件。
【片段2】勾股定理的逆定理一定成立吗？提出以下两个问题：问题一：如果一个三角形的三边分别是3，4，5，那么这个三角形一定是直角三角形吗？如何判断呢？生交流后给出“构造法”，利用两个三角形全等的基本事实，即“边边边（SSS）”来证明两个三角形全等。
苏科版勾股定理教学案
B C A D 勾股定理的应用教学案（1）学习目标：1、会用勾股定理解决简单问题，会用勾股定理的逆定理判定直角三形。
2、理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根。
会用开平方及开立方运算求式子中的x 的值。
学习重点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用 学习难点：勾股定理的应用及勾股定理的逆定理判定及其应用学习过程一、知识梳理 1、勾股定理的内容 ______________________________________________。
2、勾股定理的应用：在一个直角三角形中，知道其中的任意两边都可以求第三边（∠C ＝900）。
①c 2＝a 2＋b 2；②a 2＝c 2－b 2；③b 2＝c 2－a 2。
3、直角三角形的识别（勾股定理的逆定理）：___________________________。
（这是判定一个三角形是直角三角形的又一种方法）4、平方根的定义：一般地，如果____________等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
也称二次方根，也就是说，如果x 2＝a ，那么x 就叫做a 的平方根。
记作：________.5、平方根的性质：①一个正数有_________个平方根，它们互为________；②0的平方根是______，记作0 ；③_________没有平方根。
6、开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
7、算术平方根的定义：正数a 有2个平方根，其中正数a 的正的平方根，也叫做a 的算术平方根。
规定：0的算式平方根是0。
公式：( a )2＝___ (a ≥0)，a 2 ＝____ (a ≥0) ， a 2 ＝_______(a ≤0)。
8、立方根的定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根，也称为三次方根；也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根，数a 的立方根记作______读作“三次根号a ”。
苏科版数学八年级上3.2勾股定理的逆定理同步练习含答案
3.2 勾股定理的逆定理1．判断：(1)△ABC的两边AB＝5，AC＝12，则BC＝13．( )(2)在△ABC中，若a＝6，b＝8，则c＝10．( )(3)由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，故以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形．( )(4)由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数．( )2．已知三角形的三边长分别为5 cm，12 cm，13 cm，则这个三角形是_______．3．三条线段分别长m．n，p，且满足m2－n2＝p2，以这三条线段为边组成的三角形为_______．4．在△ABC中，a＝9，b＝40，c＝41，那么△ABC是( )．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形’D．等腰三角形5．分别以下列四组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6，其中能构成直角三角形的有( )．A．4组B．3组C．2组D．1组6．如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )．A．CD、EF、GH B．AB、EF、GHC．AB、CD、GH D．AB、CD、EF7．判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝7，b＝24，c＝25；(2)a＝1.5，b＝2，c＝2.5；(3)a＝13，b＝14，c＝15．8．如图，在△DEF中，DE＝17 cm，EF＝30 cm，边EF上的中线DG＝8 cm，试判断△DEF是否为等腰三角形，并说明理由．9．如图，CD⊥AB，垂足为D，如果AD＝2，DC＝3，BD＝4.5，那么∠ACB是直角吗？试说明理由．10．如图是一块地的平面图，其中AD＝4 m，CD＝3 m，AB＝13 m，BC＝12 m，∠ADC ＝90°，求这块地的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC．证明：AC⊥CD．12．欲将一根长129 cm的木棒放在长、高、宽分别是40 cm，30 cm，120 cm的木箱中，能放得进去吗？请说明理由．13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1))．图(2)由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是_______．14．已知，在△ABC中，a＝m2＝n2，b＝2mn，c＝m2＋n2，其中m，n是正整数，且m>n，试判断：△ABC是否为直角三角形？15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是边BC的中点，点F在CD上，且DF＝3CF，试判断△AEF的形状，并说明理由．16．(1)按规律填表：(2)上表中，每列三个数为一组，这组数有什么特点？(3)如果一个直角三角形的两条直角边长分别为20和99，你能很快得到斜边的长吗？17．已知三组数据：①2，3，4；②3，4．5；③12．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有( )．A．②B．①②C．①③D．②③参考答案1．(1)×(2)×(3)×(4)×2．直角三角形3．直角三角形4．B 5．B 6．B7．(1)该三角形是直角三角形．(2)该三角形是直角三角形(3)该三角形不是直角三角形．8．是．9．90°．10．24(m2)11．略12．能放得进去．13．10 314．是直角三角形．15．直角三角形16．(1)n2－1 n2＋1 (2)都是勾股数组(3)101 17．D。
第三章勾股定理勾股定理的应用课件苏科版数学八年级上册(共21张)
AB=15，AD=12，AC=13， 求 △ ABC 的
周长和面积。
A
A
B
D
C
B
DC
图5
图6
材料1：如图7，在△ABC中，AB=25， BC=7，AC=24，问△ABC是什么三角形？
C
A
图7
B
材料2：如图8，在△ABC中，AB=26， BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.
解:∵AD是BC边上的中线,
图2
沿着图2继续画直角三角形,还能得到那些无理数?
2z
5 6
3y
x2 1 1
图2
利用图2你们能在数轴上画出表示 5 的 点吗?请动手试一试！
怎样在数轴上画出表示 5 的点呢?
2z
5 6
3y
x2 1 1
图2
在数轴上表示 6, 7 ， 6, 7 的点怎样画出?
图2中的图形的周长和面积分别 是多少?
AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC的周长和
面积。
A
周长为42 面积为84
B
D
C
图9
自学检测
1.已知四边形ABCD，∠B=90°，各边尺寸
如图所示，你能求出∠BAD的度数吗？
1D
A
3 2
┓
B2
C
勾股定理与它的逆定理在应 用上有什么区分？
勾股定理主要应用于求线段的长度、 图形的周长、面积；
∴ BD 1 BC 1 6 3
2
2
在Rt△ABC中，
B
D
C
图4
AD AB2 BD2 62 32 27 5.196
∴ SC
1 BC AD 2
1 6 5.196 15.58 15.6 2
新苏科版数学导学案八年级第3章勾股定理
班级：学号：姓名：金果学堂3.1勾股定理（第一课时）※学习目标：1、经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程；2、经历探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，能应用数学知识验证勾股定理．※自主学习：阅读课本P78、79页探索如图①，在△ABC 中，BC ＝3，AC ＝4．⑴你知道AB 的长吗？你知道AB 长的范围吗？⑵如图②，如果添加∠C ＝90°，那么AB 的长确定吗？⑶如图③，把Rt △ABC 放在边长为1的网格中，并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外部作正方形，则P S ＝，Q S ＝，R S ＝．⑷在图④的网格上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，仿照⑶的作法，你所画的3个正方形面积之间有怎样的数量关系？请与同学交流．新知勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方．1、求下列直角三角形中未知边的长．⑴由勾股定理得：⑵由勾股定理得：⑶222125x =+解得：2、求下列图中x 、y 、z 的值．⑴；⑵；⑶；课堂笔记栏※巩固练习：1、一个直角三角形的两直角边长分别为7和24，下列说法正确的是………………（）A．斜边长为625B．三角形的周长为84C．斜边长为25D．三角形的面积为1682、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是………（）A．536B．2512C．49D．以上均不正确3、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为…………………………………………………………………………（）A．5B．6C．8D．104、已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边．⑴若b＝3，c＝5，则a＝；⑵若a＝40，b＝9，则c＝；⑶若a＝6，c＝10，则b＝；⑷若b＝15，c＝25，则a＝．5、已知直角三角形的两条直角边长分别为6、8，那么斜边上的中线长是．6、求下列图形中阴影部分的面积：⑴正方形S＝；⑵长方形S＝；⑶半圆S＝．7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12．求四边形ABCD的周长与面积．8、如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为边AB上的一点．求证：⑴△ACE≌△BCD；⑵2CD2＝AD2＋DB2．作业订正栏金果学堂课堂笔记栏⑵如图③，从整体看，图形看成个边长为大正方形，面积为作业订正栏3、如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为………………………………（）55ABC中，∠C＝90BC上的中线AD长为13．求边金果学堂Array课堂笔记栏※巩固练习：1、下列四组线段中，能组成直角三角形的是…………………………………………（）A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3B ．a ＝2，b ＝3，c ＝4C ．a ＝2，b ＝4，c ＝5D ．a ＝3，b ＝4，c ＝52、已知三角形的三边长分别为a 、b 、c ．如果()()01215922=-+-+-c b a ，那么△ABC ……………………………………………………………………………（）A ．是以a 为斜边的直角三角形B ．是以b 为斜边的直角三角形C ．是以c 为斜边的直角三角形D ．不是直角三角形3、如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，则CD 的长为………………………………………………………………（）A ．3B ．4C ．8.4D ．54、如图，在边长均为1的网格中的△ABC直角三角形（填“是”或“不是”）．5、若一个三角形三边的长分别为15cm 、20cm 、25cm ，则最长边上的高为．6、已知一个三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm ．求这个三角形的面积．7、如图，AD ⊥BC ，垂足为D ．如果CD ＝1，AD ＝2，BD ＝4，那么∠BAD 是直角吗？证明你的结论．8、如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，AD 是边BC 上的中线，AD ＝ED ＝2．求△ABC 的面积．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂3.3勾股定理的简单应用※学习目标：1、能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；2、构造直角三角形，运用勾股定理解释生活中的实际问题．※自主学习：阅读课本P86、87页探索《九章算术》是中国古代第一部数学专著，总结了战国、秦、汉时期的数学成就．1、《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？2、《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为l尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少尺？应用3、如图，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积．4、计算图中四边形ABCD的面积．课堂笔记栏※巩固练习：1、直角三角形的斜边比其中一条直角边大2，另一条直角边为6．则它的斜边长为（）A ．8B ．9C ．10D ．122、如图，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm 的长方体盒子能容下的木棒最长为（）A ．11cmB ．12cmC ．13cmD ．14cm3、如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm 、30cm 、60cm ，一只蚂蚁从点A 处沿纸箱的表面爬到点B 处．蚂蚁爬行的最短路程是cm ．4、如图是一个透明的圆柱状玻璃怀，由内部测得其底面半径为3cm ，高为8cm ．现有一根12cm 长的吸管任意斜放于杯中．若不考虑吸管的粗细，则吸管露在杯口外的长度至少为cm ．5、甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了4.8km ，乙往南偏东45°方向走了3.6km ，这时甲、乙两人相距km ．6、在△ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝20cm ，边BC 上的高为12cm ，则△ABC 的面积为．7、如图，折叠直角三角形纸片ABC ，使直角边AC 落在斜边AB 上（折痕为AD ，点C 落到点E 处），已知AC ＝6cm ，BC ＝8cm ．求CD 的长．8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝9，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ．求AE 、EC 的长．9、如图，以Rt △ABC 的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．作业订正栏班级：学号：姓名：金果学堂第3章勾股定理（复习）※学习目标：1、进一步理解和掌握勾股定理及勾股定理逆定理；2、运用勾股定理及勾股定理逆定理解决实际问题．※自主学习：阅读课本P88、89、90页1、直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为………（）A ．6B ．215C ．12D ．152、下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是………………………………………（）A ．3、4、4B ．3、4、5C ．3、4、6D ．3、4、73、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点．若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长为…………………………………………………………………………（）A ．9B ．8C ．7D ．64、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足等式c a a c b a 108650222++=+++，那么△ABC 是…………………………………………………………………………（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 共有…………………………………………………（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个6、若一个直角三角形中两条直角边长的比为3∶4，斜边长为20，则此直角三角形的面积为．7、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，点D 在BC 上，∠ADC ＝2∠B ，AD ＝13，则BC 的长为．8、如图，直线l 上有三个正方形甲、乙、丙．若甲、丙的面积分别为5、11，则乙的面积为．9、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为100cm 、15cm 、10cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，点A 上有一只蚂蚁想到点B 去吃可口的食物，则它所的最短路线的长为cm ．10、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm ．11、如图，我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形．如果大正方形的面积为13，小正方形的面积为1，直角三角形较短的直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2b a +的值为．课堂笔记栏12、如图是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．⑴在图①中画出等腰直角三角形MON ，使点N 落在格点上，且∠MON ＝90°；⑵在图②中以格点为顶点画一个正方形ABCD ，使正方形ABCD 的面积等于⑴中等腰直角三角形MON 的4倍，并将正方形ABCD 分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形ABCD的面积没有剩余（画出一种即可）．13、如图，将一长方形纸片ABCD 折叠，使两个顶点A 、C 重合，折痕为FG ．已知AB ＝4，BC ＝8，求△ABF的面积．14、如图，在一张长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，P 为AD 上的一点，将△ABP沿BP 翻折至△EBP ，PE 与CD 相交于点O ，且OE ＝OD ，求AP的长．15、如图，四边形ABCD 为长方形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF ＝4．设AB ＝x ，AD ＝y ，求()224-+y x的值．作业订正栏。
苏科版数学八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 教案
3.3勾股定理的简单应用教学设计教学目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．2．构造直角三角形将实际问题转化为数学问题．教学重点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．教学难点：正确找出或构造出满足题意的直角三角形，将实际问题转化为解方程． 教学过程：一、知识回顾：前面我们已经学习了勾股定理及其逆定理，请同学们回忆一下勾股定理的内容是怎样的？1．勾股定理：直角三角形两条直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．勾股定理主要用于求线段的长度．2．逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2 ，那么这个三角形是直角△．逆定理主要用于判断一个三角形是否为直角三角形．练一练：1．若一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）A. 5 B . 7 C . 5或7 D . 5或72．以下列各组线段a 、b 、c 为边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A. a =1.5，b =2，c =3B. a =5，b =12，c =13C. a =6，b =8，c =10D. a =8，b =15，c =17二、例题解析：例1 如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.，如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否向右也滑动1 m?分析 先作一个说明，在数学问题中，一般默认地面上的建筑物、旗杆、路灯杆、地面上长的植物都是和地面垂直的。
题目中告诉我们梯子的顶端下滑1m 就是告诉我们什么？要判断梯子底端是否向右也滑动1 m 就是要求哪条线段的长度？如何求？例2 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？分析：在本题中，已知什么？要求什么？能不能直接用勾股定理求出AO ？不能，那请同A B A ′ B ′ 810 C A B3 O学们考虑一下，你有没有办法求出AO ？用列方程来求解。
苏科版八年级上册3.2勾股定理的逆定理 课件 (共30张PPT)
16. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知 地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?
17. 一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
02
课堂练习
1. 下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3
B．a=7，b=24，c=25
C．a=6，b=8，c=10
D．a=3，b=4，c=5
2. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成 一个直角三角形三边的线段是（ ）． A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CF、EF D.GH、AB、CD
3. 下列说法：
（1）在△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形；
（2）若△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2；
（3）在△ABC中，若a2+b2=c2，则∠C=90°；
（4）直角三角形的两条直角边的长分别为5和12，则斜边上的高为60．
13
其中说法正确的有（ ）．
其中能作为直角三角形的三边长的有（ ）
A. 1组
B. 2组
C. 3组
D. 4组
举一反三：
2．若△ABC的两边长为8和15，则能使△ ABC为直角三角形的第三边的平
方是（ ）
A．161；
B．289；
C．17；
D．161或289．
类型二、勾股定理逆定理的应用
例2. 已知：a、b、c为△ABC的三边且满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，试判 断△ABC的形状
苏科版数学八年级上册勾股定理的逆定理课件
已知：如图，△ABC中， a2＋b2＝c2.
求证：△ABC是直角三角形.
证明： 作Rt△A’B’C’,
使 ∠C’=90°，B’C’= a，A’C’=b.
B c
a
Cb A B’
由勾股定理得：A’B’2 =a2 +b2 ∵ AB2=a2 +b2
∴ AB2=A’B’2 即 AB=A’B’
∟
a C’ b A’
逆命题： 如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形。
∠C=90°
B
∠A+ ∠B=90°
判定
a
c
？
a2 +b2=c2
C
b
A
如何证明？
2 教学新知
操作1： 请你以3cm、4cm、5cm为三条边画三角形，再 用量角器量出这个三角形各角的度数，与你的同桌交流 一下，你发现了什么？
∴△ABC是直角三角形.
这有B 个什结么论关c与系勾？股定理 a
且∠C =90°.
Cb A
利用勾股定理的逆定理可以判定一个三角形是否是直角三角形.
3 课堂练习
1.如果三角形三边长分别为a、b、c，且满足c2=a2 - b2, 那么这个三角形是直角三角形吗?为什么?
2.下列各组数中,不能作为直角三角形三边长的是( )
操作2：以6cm、8cm、10cm呢？这些三角形的三边之 间有什么关系？
3
3
5
5
4 10
10
8
6
6
(1)a=3,b=4,c=5;
直角三角形
8
(2)a=6,b=8,c=10. 直角三角形
你有什么猜想？
猜想： 如果三角形的三边长a、b、c满足： a2 +b2=c2，那
苏教科版初中数学八年级上册勾股定理、平方根、立方根
如 果 三 角 形 的 三 边 长 a、 b、 c 满 足
，那么这个三角形
是
.
3、如果
等于 a，那么这个数叫做的 a
,也称为二次方根.
4、一个正数 a 的平方根，记作
。
平方根的性质：
；
；
.
5、正数 a 有两个平方根,其中
,叫 a 的算术平方根.
6、如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的
，也称为三次方根.即
） B、7 是—49 的平方根
C、5 的平方根是 5
D、7 的平方根是 7
2、下列说法错误的是（
）
A、9 的算术平方根是 3
B、2 是 8 的立方根
C、7 的平方根是 7
D、7 的立方根是 3 7
二、填空题：
（ 1） 16 的 平 方 根 是
是
；
3 的平方根是
； 25 的 平 方 根 是
； 100 的 平 方 根
因为 23 8 ，所以 2 是 8 的立方根。也可以说 8 的立方根是 2，可以表示为 3 8 2 . 27 的立方根是 3，即 3 27 3 ， 64 的立方根是 4 ，即 3 64 4 ，10 的立方根是
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苏科版初中数学
3 10 .
一、选择题：
1、下列语句正确的是（ A、9 的平方根是—3
；5 的平方根是
；(-2)2 的平方根是
；
81 的平方根是
.
（2） 36 =
； 0.01
； 5 2
； 162
；
相信自己，就能走向成功的第一步
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教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。数学思维 可以让他们更理性地看待人生
3.2 勾股定理的逆定理一课一练2021-2022学年苏科版 八年级数学上册试题(含答案)
3.2《勾股定理的逆定理》一、选择题1．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别记为a ，b ，c ，下列结论中不正确的是（ ）A ．如果∠A ﹣∠B ＝∠C ，那么△ABC 是直角三角形B ．如果a 2＝b 2﹣c 2，那么△ABC 是直角三角形且∠C ＝90°C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：3：2，那么△ABC 是直角三角形D ．如果a 2：b 2：c 2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形2．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5,12,13a b c ===A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3.下列各组数中，是勾股数的为（ ）A ．111345，， B ．0.6，0.8，1.0 C ．1，2，3 D ．9，40，414.下列命题：①如果3、4、5为一组勾股数，那么3k 、4k 、5k 仍是勾股数；②含有45°角的直角三角形的三边长之比是1∶是9，12，13，那么此三角形是直角三角形；④一个直角三角形的两边长是3和4，它的斜边是5．其中正确的个数是 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题1.如图,点P 是等边三角形ABC 内一点,且PA=3,PB=4, PC=5,若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB 的度数______．2.如图，点M ，N 把线段AB 分割成三条线段AM ，MN 和NB ，若以AM ，MN 和NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股分割点．若2AM =，3MN =，则NB 的长的平方为____．3.观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________．三、解答题1.如图，90ADC ∠=︒，4=AD m ，3CD =m ， 13AB =m ，12BC =m ．（1）试判断以点A ，B ，C 为顶点的三角形的形状，并说明理由；（2）求该图的面积．2.如图，四边形草坪ABCD中，∠B=90°，AB=24m，BC=7m，CD=15m，AD=20m.（1）判断∠ADC是否是直角，并说明理由；（2）试求四边形草坪ABCD的面积.3.下图是由边长为1的小正方形组成的网格．（1）求四边形ABCD的面积（2）判断AD与CD的关系，并说明理由．4.如图，一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A与∠DBC都应为直角．工人师傅量的这个零件各边的尺寸如图所示．（1）这个零件符合要求吗？（2）求这个四边形的面积．5.如图，AB＝AD．AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AC＝9，AD＝12，BE＝15，请你判断△ABE的形状并说明理由．6.在ABC ∆中，BC a =，AC b =，AB c =.设c 为最长边.当222+=a b c 时，ABC ∆是直角三角形；当222a b c +≠时，利用代数式22a b +和2c 的大小关系，探究ABC ∆的形状（按角分类）．（1）当ABC ∆三边分别为6、8、9时，ABC ∆为______三角形；当ABC ∆三边分别为6、8、11时，ABC ∆为______三角形．（2）猜想，当22a b +______2c 时，ABC ∆为锐角三角形；当22a b +______2c 时，ABC ∆为钝角三角形．（3）判断当2a =，4b =时，ABC ∆的形状，并求出对应的c 的取值范围．7.如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 AB 上一点，且AF =14AB ． 求证：CE ⊥EF ．8.问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你利用上述方法求出△ABC的面积．（2）在图2中画△DEF，DE、EF、DF.①判断三角形的形状，说明理由．②求这个三角形的面积．（直接写出答案）9.（问题背景）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC ＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD ＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．（探索延伸）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．（学以致用）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为．10.（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB 绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为．（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．11.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD 为边在AB的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．12.在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，若在△ABC中，∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2．我们定义为“商高定理”．（1）如图1，在△ABC中，∠C=90°中，BC＝4，AB＝5，试求AC＝__________；（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边BC和斜边AB为边向外作正方形BCFG和正方形ABED，连结CE、AG、GE．已知BC＝4，AB＝5，求GE2的值．答案一、选择题1．B.2．C.3.D ．4.A二、填空题1.150°2.5或133.13，84，85三、解答题1. 解：（1）连接AC ，由勾股定理可知，5AC ==， 又22222251213AC BC AB +=+==， ABC ∆∴是直角三角形（2）该图的面积ABC ACD S S ∆∆=-，115123422=⨯⨯-⨯⨯， 224(m )=． 答：该图的面积为24 2m ．2.（1）∠D 是直角，理由如下：连接AC ，∵∠B=90°，AB=24m ，BC=7m ，∴AC 2=AB 2+BC 2=242+72=625，∴AC=25（m ）．又∵CD=15m ，AD=20m ，152+202=252，即AD 2+DC 2=AC 2，∴△ACD 是直角三角形，或∠D 是直角；（2）S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =12AB ⋅BC +12AD ⋅DC, =234（m 2）．3.解：（1）由题意可知四边形ABCD 的面积=大正方形的面积-四个小直角三角形的面积111125551242332322222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=（2）AD ⊥CD ，理由如下：22125AD DC AC =+====，∴AD 2+DC 2=AC 2=25，∴△ADC 是直角三角形，∴AD ⊥CD ，4.解：∵AD=12，AB=9，DC=17，BC=8，BD=15，∴AB 2+AD 2=BD 2，BD 2+BC 2=DC 2．∴△ABD 、△BDC 是直角三角形．∴∠A=90°，∠DBC=90°．故这个零件符合要求．S 四边形=11292⨯⨯+18152⨯⨯=114.5.（1）证明：∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，，∴△ABC ≌△ADE （SAS ）．（2）解：结论△ABE 是直角三角形．理由：∵AB ＝AD ＝12，AE ＝AC ＝9，BE ＝15，∴AB 2+AE 2＝122+92＝225，BE 2＝225，∴AB 2+AE 2＝BE 2，∴∠BAE ＝90°，∴△BAE 是直角三角形．6.（1）锐角，钝角．（2）>，<． （3）c 为最长边，46c ∴<≤．当222a b c +>，220c <，即4c <≤ABC ∆为锐角三角形；当222+=a b c ，220c =，即c =ABC ∆为直角三角形；当222a b c +<，220c >，即6c <<时，ABC ∆为钝角三角形．7.连接CF ，∵ABCD 为正方形 ∴AB BC CD DA ===，90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒． 设AB BC CD DA a ====∵E 是AD 的中点，且14AF AB = ∴12AE ED a ==，14AF a =∴34BF a ． 在Rt CDE △中，由勾股定理可得2222221524CE CD DE a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭ 同理可得：2222221152416EF AE AF a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222325416CF BF BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． ∵222EF CE CF +=∴CEF △为直角三角形 ∴90CEF ∠=︒ ∴CE EF ⊥．8.（1）S △ABC =3×3﹣12×1×2﹣12×2×3﹣12×1×3=72； （2）如图所示：∵DE EF DF ，∴DE 2+EF 2=DF 2，∴△DEF 是直角三角形． △DEF 的面积=111231122132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=．9. [问题背景】解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；故答案为：EF＝BE+FD．[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+FD，∴EF＝BE+FD；[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2．∴DE＝2+3＝5．故答案是：5．10.问题原型：如图1中，，，如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．初步探究：△BCD的面积为12a2．理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．在△ABC和△BDE中，ACB BEDA DBEAB BD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．∵S△BCD12=BC•DE，∴S△BCD12=a2；简单应用：如图3中，过点A 作AF ⊥BC 与F ，过点D 作DE ⊥BC 的延长线于点E ， ∴∠AFB =∠E =90°，BF 12=BC 12=a ，∴∠FAB +∠ABF =90°． ∵∠ABD =90°，∴∠ABF +∠DBE =90°，∴∠FAB =∠EBD ．∵线段BD 是由线段AB 旋转得到的，∴AB =BD ．在△AFB 和△BED 中，AFB E FAB EBD AB BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△BED (AAS)，∴BF =DE 12=a ． ∵S △BCD 12=BC •DE ，∴S △BCD 12=•12a •a 14=a 2，∴△BCD 的面积为14a 2． 11.解：（1）∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∴∠BAD ＝∠CAE ．在△ACE 和△ABD 中，AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ）； ∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°，∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵∠BAC ＝∠DAE ＝90°∴∠BAC +∠DAC ＝∠DAE +∠DAC ∴∠BAD ＝∠CAE ，在△ACE 和△ABD 中AC=AB CAE=BAD AE=AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ACE ≌△ABD （SAS ）∴∠ACE ＝∠ABD ＝45°∴∠BCE ＝∠BCA +∠ACE ＝45°+45°＝90°∴∠BCE 的度数不变，为90°； ②∵BC ＝3，CD ＝6，∴BD ＝9，∵△ACE ≌△ABD ，∴CE ＝BD ＝9，在Rt △ECD 中，222DE =CD +CE =117，在Rt △ADE 中，∵AD=AE ∴222AD +AE =DE =117，22117AD =AE =2， ∴△ADE 的面积＝2111117117AE AD=AD ==22224⋅⨯；故答案为：1174.12.解：（1）在△ABC 中，∠C=90°中，BC ＝4，AB ＝5 ∴AC=3（2）在Rt △DOA 中，∠DOA ＝900，∴OD 2+OA 2＝AD 2 同理：OD 2+OC 2＝CD 2 OB 2+OC 2＝BC 2 OA 2+OB 2＝AB 2∵AB 2+ CD 2＝OA 2+OB 2+ OD 2+OC 2 AD 2+ BC 2＝OD 2+OA 2+ OB 2+OC 2 ∴AB 2+ CD 2＝AD 2+ BC 2（3）∵∠GBC=∠EBA=900 ∴∠GBC+∠CBA=∠EBA+∠CBA∴∠ABG=∠EBC 如图1，在△ABG 和△EBC 中 AB BE ABG EBC BC BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABG ≌△EBC （SAS ） ∴如图2，∠1＝∠2 ，∠3＝∠4∴∠5＝∠AIJ ＝900 ∴AG ⊥CB 连接CG 、AE ，由（2）可知 AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 在Rt △CBG 中，CG 2＝BC 2+BG 2 CG 2＝42+42＝32在Rt △ABE 中，AE 2＝BE 2+AB 2 AE 2＝52+52＝50在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2 52＝AC 2+42 AC 2＝9∴AC 2+GE 2＝CG 2+AE 2 9+ GE 2＝32+50 GE 2＝73。
2019年秋苏科版数学八年级上册同步分层课时作业(二十四) [3.2 勾股定理的逆定理]
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课时作业(二十四) [3.2 勾股定理的逆定理]一、选择题1．2018·睢宁期中 下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是( )A ．3，4，5B ．4，5，6 C.34，54，1D ．9，12，152．下列各组数中，不是勾股数的是( ) A ．1.5，2，2.5 B ．7，24，25 C ．6，10，8D ．9，40，413．2018·靖江期末 在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列说法错误的是( )A ．若∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ．若c2＝b2－a2，则△ABC 是直角三角形C ．若∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则△ABC 是直角三角形D ．若a2＋b2≠c2，则△ABC 不是直角三角形4．2018·黔南州一模 如图K －24－1，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，DE 是AC 的垂直平分线，DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD ，则CD 的长为( )图K －24－1A ．3B ．4C ．4.8D ．5二、填空题5．已知两条线段的长为5，3，当第三条线段长的平方是____________时，这三条线段可以构成直角三角形．6．如图K －24－2所示，以△ABC 的三边为边长分别向外作正方形，正方形的面积分别记为S 1，S 2，S 3.如果S 1＋S 2＝S 3，那么△ABC 是________三角形．图K－24－27．若三角形的三边长分别为6，8，10，则它的最大边上的高为________．8．2018·东湖区期中改编如图K－24－3，在△ABC中，AB＝5，BC＝4，AC＝3，I 为△ABC的三条角平分线的交点，则点I到边AB的距离为________．K－24－39．2018·东海县校级期中如图K－24－4，在边长为1的小正方形组成的网格图中有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成直角三角形的三条线段是__________________．K－24－410．2018·罗山县期中如图K－24－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s，当t＝________时△ABP为直角三角形．图K－24－5三、解答题11．如图K－24－6，在△ABC中，D是AB上一点，且AC＝20，BC＝15，DB＝9，CD＝12.求△ABC的面积.图K－24－612．2017·徐州期末如图K－24－7，方格纸中每个小正方形的边长均为1 cm，△ABC 为格点三角形(点A，B，C均在正方形的顶点上)．(1)求△ABC的面积；(2)判断△ABC的形状，并说明理由．图K－24－713．2018·丹东期末我市鸭绿江边的景观区内有一块四边形空地，如图K－24－8所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积，经技术人员测量∠ABC＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．(1)请你帮助管理人员计算出这个四边形的对角线AC的长度；(2)请用你学过的知识帮助管理人员计算出这块四边形空地的面积．图K－24－814．2018·兴化期中如图K－24－9，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，AF＝3，AE＝4，EF＝5.(1)求边BC的长；(2)求∠EAF和∠BAC的度数．图K－24－915．如图K－24－10，P是等边三角形ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10.若P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC.求PP′的长度及∠APB的度数．图K－24－10存在性问题探究2018·定县期末张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a＝________，b＝________，c＝________；(2)猜想：以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形，并证明你的猜想；(3)观察下列式子：32＋42＝52，52＋122＝132，72＋242＝252，92＋402＝412，分析其中的规律，写出第五组式子：______________．详解详析【课时作业】 [课堂达标]1．[解析] B A 项，∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故A 选项错误；B 项，∵42＋52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故B 选项正确；C 项，∵(34)2＋12＝(54)2，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项错误；D 项，∵92＋122＝152，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项错误．故选D.2．[解析] A A 项，1.5，2.5不是正整数，所以不是勾股数；B 项，72＋242＝252，且7，24，25都是正整数，所以是勾股数；C 项，62＋82＝102，且6，8，10都是正整数，所以是勾股数；D 项，92＋402＝412，且9，40，41都是正整数，所以是勾股数．故选A.3．[解析] D A 项，∠C －∠B ＝∠A ，即∠A ＋∠B ＝∠C.又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形，∴该说法正确；B 项，c 2＝b 2－a 2，即a 2＋c 2＝b 2，∴△ABC 是直角三角形且∠B ＝90.∴该说法正确； C 项，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，又∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝90°.∴△ABC 是直角三角形．∴该说法正确；D 项，设a ＝3，b ＝5，c ＝4，32＋52≠42，但是32＋42＝52，则△ABC 可能是直角三角形，∴该说法错误．故选D.4．[解析] D ∵AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，∴BC 2＋AC 2＝AB 2.∴△ABC 是直角三角形且∠ACB ＝90°. ∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD ＝CD. ∴∠CAD ＝∠ACD.∵∠CAD ＋∠B ＝∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD.∴CD ＝BD. ∴CD ＝12AB ＝5.故选D.5．[答案] 16或34[解析] 当第三条线段为直角边时，5为斜边长，根据勾股定理，得第三条线段的平方为16；当第三条线段为斜边时，根据勾股定理，得第三条线段长的平方为34.6．[答案] 直角[解析] ∵S 1＋S 2＝S 3且S 1＝AB 2，S 2＝BC 2，S 3＝AC 2，∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴△ABC 是直角三角形．7．[答案] 4.8[解析] ∵三角形三边的长分别为6，8，10，62＋82＝100＝102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边．设最大边上的高是h ，则12×6×8＝12×10h ，解得h ＝4.8.8．[答案] 1[解析] ∵在△ABC 中，BC ＝4，AC ＝3，AB ＝5，∴BC 2＋AC 2＝42＋32＝52＝AB 2. ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB ＝90°.如图，过点I 分别向△ABC 的三边作垂线段ID ，IE ，IF. ∵I 为△ABC 的三条角平分线的交点， ∴IE ＝IF ＝ID.设IE ＝x.∵S △ABC ＝S △IAB ＋S △IAC ＋S △ICB ， ∴12×4×3＝12IF ×5＋12IE ×3＋12ID ×4. ∴5x ＋3x ＋4x ＝12，解得x ＝1. ∴点I 到边AB 的距离为1.9．[答案] AB ，EF ，GH[解析] 根据勾股定理，得AB 2＝22＋22＝8，CD 2＝42＋22＝20，EF 2＝12＋22＝5，GH 2＝32＋22＝13，所以8＋5＝13，即 AB 2＋EF 2＝GH 2.故其中能构成直角三角形的三条线段是AB ，EF ，GH.故答案为AB ，EF ，GH.10．[答案] 2或258[解析] 运动时间为t s ，则BD ＝2t cm. ∵∠ACB ＝90°，AB ＝5 cm ，AC ＝3 cm ， ∴BC ＝4 cm.①当∠APB 为直角时，点P 与点C 重合，BP ＝BC ＝4 cm ，即2t ＝4，解得t ＝2；②当∠BAP 为直角时，BP ＝2t cm ，CP ＝(2t －4)cm ，AC ＝3 cm. 在Rt △ACP 中，AP 2＝32＋(2t －4)2， 在Rt △BAP 中，AB 2＋AP 2＝BP 2， 即52＋[32＋(2t －4)2]＝(2t)2，解得t ＝258.综上，当t ＝2或258时，△ABP 为直角三角形．故答案为2或258.11．解：因为BC ＝15，DB ＝9，CD ＝12，所以DB 2＋CD 2＝BC 2.所以∠BDC ＝90°.所以∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，因为AC ＝20，CD ＝12，所以AD ＝16.所以AB ＝AD ＋DB ＝25.故△ABC 的面积＝12AB·CD ＝12×25×12＝150.12．解：(1)△ABC 的面积＝4×4－12×4×3－12×4×2－12×2×1＝5(cm 2)．(2)△ABC 是直角三角形．理由：∵AB 2＝22＋12＝5，AC 2＝42＋22＝20， BC 2＝42＋32＝25，且25＝5＋20，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 是直角三角形． 13．解：(1)如图，连接AC.在Rt △ABC 中，∵∠ABC ＝90°，AB ＝20米，BC ＝15米， ∴AC 2＝AB 2＋BC 2. ∴AC ＝25米．∴这个四边形的对角线AC 的长度为25米．(2)在△ADC 中，∵CD ＝7米，AD ＝24米，AC ＝25米， ∴AD 2＋CD 2＝242＋72＝252＝AC 2. ∴△ADC 为直角三角形，且∠ADC ＝90°.∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×15×20＋12×7×24＝234(米2)，即这块四边形空地的面积为234平方米． 14．解：(1)∵点E 在AB 的垂直平分线上，∴BE ＝AE ＝4.同理CF ＝AF ＝3. ∴BC ＝3＋4＋5＝12.(2)∵AF ＝3，AE ＝4，EF ＝5， ∴AE 2＋AF 2＝EF 2.∴由勾股定理的逆定理知∠EAF ＝90°. ∴∠AEF ＋∠AFE ＝90°. ∵AE ＝BE ，∴∠B ＝∠BAE. ∵∠B ＋∠BAE ＝∠AEF ， ∴∠B ＝12∠AEF.同理∠C ＝12∠AFE.∴∠B ＋∠C ＝12(∠AEF ＋∠AFE)＝45°.∴∠BAC ＝180°－45°＝135°. 15．解：∵△PAC ≌△P′AB ，∴PA ＝P′A ＝6，PC ＝P′B ＝10，∠PAC ＝∠P′AB.∴∠P′AP ＝∠BAC ＝60°. ∴△APP′为等边三角形．∴PP′＝PA ＝P′A ＝6，∠APP′＝60°. ∵PP′2＋PB 2＝62＋82＝102＝P′B 2， ∴△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°. ∴∠APB ＝90°＋60°＝150°. [素养提升]解：(1)n 2－1 2n n 2＋1(2)猜想：以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形． 证明：∵a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2＋1，∴a 2＋b 2＝(n 2－1)2＋(2n)2＝n 4－2n 2＋1＋4n 2＝n 4＋2n 2＋1＝(n 2＋1)2. 又∵c 2＝(n 2＋1)2，∴a 2＋b 2＝c 2.根据勾股定理的逆定理可知，以a ，b ，c 为边长的三角形是直角三角形． (3)112＋602＝612。
八年级数学苏科版上册 第三单元《单元复习》教学设计 教案
第三章 勾股定理教材知识全解一、勾股定理1、定义：直角三角形两条直接边的平方和等于斜边的平方2、验证：用拼图法，借助面积不变的关系来证明3、应用：在直角三角形中已知两边求第三边；在直角三角形中已知两直角边求斜边上的高二、勾股定理的逆定理1、定义：如果直角三角形的三边长分别为222,,c b a c b a =+，且，那么这个三角形是直角三角形2、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数c b a ,,称为勾股数，常见的有3，4，5；5，12，13等三、应用1、勾股定理的简单应用：求几何表面上两点间的最短距离；解决实际应用问题2、勾股定理逆定理的应用：判定某个三角形是不是直角三角形经典例题全解题型一 利用勾股定理求几何图形的面积例1 已知，如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB=3，则图中阴影部分的面积为______________题型二勾股定理及其逆定理的综合应用例2 如图，在四边形ABCD中，已知AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC，试证明AC⊥CD题型三用勾股定理解决实际问题例3 如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为_________________题型四用勾股定理解决距离最短问题例4 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村（点A）和李庄（点B）送水，已知张村、李庄到河边（直线l）的距离分别为2千米和7千米，且CD=12千米（1）水泵站修建在什么地方，可使所用的水管最短？请你在图中设计出水泵站的位置；（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，请求出铺设水管的最少费用题型五利用勾股定理理解有关折叠问题例5 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为____________题型六利用勾股定理求两点间线段的长度例6 如图，一个长方体盒子的高为30cm，底面是正方形，边长为20cm，现在A 处有一只小强想沿长方体盒子侧面去吃位于C处的一只虫子，问小强走的最短路程是多少？。
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b
B C A1
C1勾股定理的逆定理
【学习目标】：1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）
2．会应用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形
3．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，
体会“形”与“数”的内在联系。
【学习重、难点】：重点是：利用“三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形
是直角三角形“这一条件进行直角三角形的判定
难点是：了解勾股数的由来，并能用直角三角形的判定条件解决一
些简单的实际问题
【学前准备】预习并理解课本P83----P84的内容
一、新授：
我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
反过来，如果三角形的两
条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
试一试：用满足三边数字关系的线或棍子围成一个三角形，猜猜会是什么三角形呢？
例1：（探究）
证明：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
结论：勾股定理的逆定理
_____________________________________________________________________________ 勾股定理的逆定理与勾股定理的条件和结论正好__________
满足关系a 2+b 2=c 2
的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数
如： ∵52=32+42 ∴3,4,5这一组数称为勾股数
你还能找出几组勾股数呢？_____________、______________、…
例2：已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n2－1， b=2n，c=n2＋1（n＞1）求证：∠C=90° (即判断△ABC是直角三角形)。
分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。
⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。
根据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2即可。
证明：∵a2 + b2 = ( )2 + ( )2 = _________,
c2 =__________
∴_____________________________(比较a2+b2与c2的大小关系)
∴________________________
对应练习：在三边分别为下列长度的三角形中，哪些是直角三角形？
(1) 5cm，13cm，12cm (2) 2cm，3cm，5 cm
(3) 4cm，7cm，5cm (4) 1cm，2cm，3cm
例3：一个直角三角形两条边长分别是2cm、3cm，另一个三角形三条边
长分别是2cm、3cm和7cm，这两个三角形全等吗？为什么？
二、课堂练习：
1.判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. D
(1)a=7, b=24, c=25 ( ) A
(2)a=1.5, b=2, c=2.5 ( ) {第 2题图}
(3) a= 54 ,b=1, c= 23
( ) B C 2.已知,如图，在四边形ABCD 中,∠B=90º,AB=4,BC=3, AD=12,CD=13,则S 四边形ABCD =_________
3.已知,直角三角形的斜边比一直角边长2, 另一直角边为6,则斜边长为 .
4.一艘轮船以16海里/时的速度离开港口A 向东北方向航行,另一艘轮船在同时同地以12
海里/时的速度向东南方航行,它们离开港口2小时后相距多远?画出草图.
A
5．在四边形ABCD 中,∠BAC=90º，∠B=45º，AB=5，AD=3，CD=4，求∠D
B c
三、当堂检测
1.下面①3、4、5②5、12、13③9、12、15④15、36、39⑤12、18、22⑥12、35、36 中,
勾股数有( )组 A 、3 B 、 4 C 、 5 D 、 6
2．下列各组数分别表示三角形的三边的长①25、7、24 ②1
3
、
1
4
、
1
5
③15、16、8 ④41、40、9 ,其中能组成直角三角形的有( )组
A 、1 B、 2 C、 3 D、 4
3.已知三角形ABC的三个内角∠A,∠B,∠C 的度数比为1：2：3 ,则AB、BC、CA 的关系为
___________________
4．一个长方形的长是12cm,对角线长为13cm,则这个长方形的面积为 cm2
四、延伸拓展：
1．假期中,王强和同学到某海岛上去旅游,按线路图(如图),他们登陆后先往东走8千米,
又往北走2千米,遇到障碍后又往西走3千米,再折向北走到6千米处往东一拐,仅走1千
米就找到目的地,问登陆点A到目的地B的直线距离是多少千米?
1
B
6
3 2
A 8
2．小明买了两根不锈钢准备带回家，到电梯口发现电梯有些小。
若已知电梯内长、宽均
为1.5米，高为2米，而小明的两根钢管一根长3米，一根长2.5米，请你算一算，小明
能乘电梯把钢管带回家吗？。