高一数学苏教版课件：平面基本性质

l1 a, ⇒ P∈a,
l2 b, ⇒ P∈b,
∴ P a∩b,
l
a
l1
P
l2
则点 P 应在 a 和 b 的交线上,
(如图)
∴ 点 P 一定在直线 l 上.
合作探究
问题10：生活中经常看到用三角架支撑照相机．或自行车的撑脚等等……，
你知道它们为什么用三个支撑点吗？
B
A
C
数学建构
公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
合作探究
问题9：把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只
相交于一点B ？为什么？
a
B
数学建构
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些
公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．
符号语言
∈
⟹ ∩ = 且 ∈ .
∈
文字语言
b
图形语言
l
∈
横边画成邻边的 2 倍.
平面也可用其他平面图
形, 如用三角形、梯形
等来表示平面.
数学建构
3. 平面的表示：
一般用希腊字母 a、b、g 等表示。也可用表示平面的平面图形的
顶点字母表示（如下面的图形）。
D
a
b
平面a
E
A
C
B
平面BCF
平面b
F
合作探究
辨析：下列图形中的平面α与平面β是否为同一平面？
β
α
α
面α内且平行于直线 m.
α ∩ β=m，a⊂ ， //m.
β
a
m
合作探究
问题8：如果直线 l 与平面α有一个公共点，直线 l 是否在平面α内？如果直线 l
与平面α有两个公共点呢？
实际生活中，我们有这样的经验：把一根直
尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，
直尺的整个边缘就落在了桌面上．
数学建构
否则打
:
1、一个平面长 4 米，宽 2 米；
(
)
2、平面有边界；
(
)
3、一个平面的面积是 25 cm 2；
(
)
4、菱形的面积是可以计算的；
(
)
5、一个平面可以把空间分成两部分. (
)
,
合作探究
问题4：如何在纸上画图形表示平面呢?
通常，用平行四边形来
表示平面.
平面水平放置时, 平行四
边形的锐角常画成45,
13.2.1 平面的基本性质
学习目标
1、掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
2、会用符号表示出点与直线,点与平面,直线和平面以及平面与平面相
交的位置关系；
3、掌握平面的基本性质(三个公理)及作用；
4、培养学生的空间想象能力。
情景创设
问题 1. 如图的空间物体, 你认为是由哪些几何体组成的?
棱柱、棱锥、球、等几何体
2.点与平面的位置关系：
⑴点A在平面α上： 记为：A∈α
记为：B∈ α
点B不在平面α上：
⑵平面α经过点A，平面α不过点B
B
α
A
数学建构
问题7、点与直线、点与平面、直线与平面有哪些位置关系？
3.直线与平面的位置关系：
直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在
平面α内，或称平面α通过直线a.
记为： ⊂ .
问题6、两平面可以相交，还有没有其他的位置关系？
a
l
b
α
b
a ∩b = l.
a与b 相交
a // b
a与b 平行
数学建构
问题7、点与直线、点与平面、直线与平面有哪些位置关系？
1.点与直线的位置关系：
⑴点A在直线a上： 记为：A∈a
a
点B不在直线a上：记为：B∈a
A
⑵直线a经过点A，直线a不过点B
B
在（2）中， a b = l , a a , b b , a l = P, b l = P.
b
数学应用
例2. 把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。
（1）点A在平面 α 内，点 B 不在平面 α 内，点A，
B 都在直线 a上；
B
A
α
a
A∈α，B∉α，A∈a，B∈a.
（2）平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平
数学构建
1、平面的含义
以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中
抽象出来的。平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。
2、平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间向四面八方是无限延伸的。
概念辨析
辨析.判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此
平面内.
在生产、生活中，
人们经过长期观察
与实践，总结出关
于平面的一些基本
性质，我们把它作
为公理．这些公理
是进一步推理的基
础．
a
.
A ·
l
.·B
∈
∈
⟹⊂
∈
∈
用途:可以用来判断直线在平面内或点在平面内.
文字语言
图形语言
符号语言
不是
不是
β
α
α
β
是
总结：当一个平面的一部分被另一个平面遮住时, 应把被遮部分的线
段画成虚线或不画, 这样, 看起来立体感强一些.
合作探究
问题5、当画平面与平面相交时, 应该注意什么呢？
a
a∩b = l.
l
b
① 注意画好交线, ② 注意画好被遮部分.
两平面相交, 用符号 “∩” 表示, 如:
数学建构
文字语言
唯一性
a A
B
C
存在性
不在同一条直线上的三个点A、B、C所确定的平面，
可以记成“平面ABC“．
用途：确定平面的主要依据．
图形语言
数学建构
公理3的3个推论：
推论1：经过一条直线与直线外一点，
A
l
有且只有一个平面。
推论2：经过两条平行直线，
n
有且只有一个平面。
m
推论3：经过两条相交直线，
有且只有一个平面。
∈ ⟹ ∈ .
∩=
用途:可以用来两个平面相交或判断点在直线上.
a
P
数学应用
练.如图, 平面 a 和平面 b 相交于直线 l, 如果 a 内的直线 l1 与 b 内
的直线 l2 会相交于一点 P, 问 P 点是否一定在直线 l 上？为什么？
l1∩l2 = P,
⇒ P∈l1, P∈l2,
(D) 如图, 设 l1∩l2 确定平面 a,
则 Ba, Ca,
l3 a .
B
l1
B
l2
A
C
l3
课堂小结
关
系
公
理
点与直线
2种关系
点与平面
2种关系
直线与平面
3种关系
平面与平面
2种关系
公理1
内容
功能
公理2
内容
功能
公理3
内容
功能
推理1
推理2
推理3
文字语言
三种语言
图形语言
符号语言
直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a
与平面α相交.
a
α
A
记为：a∩α＝A.
a
直线a与平面α没有公共点时，称直线a与平
面α平行.
a
α
记为：a∩α＝∅ 或 a∥α.
α
数学应用
例1.如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．
b
a
A
l
a
B
（1）
a
a
l
b
P
（2）
解：在（1）中， a b = l , a a = A, a b = B.
用途：也是确定平面的重要依据.
n
m
概念辨析
辨析. 下列命题正确的是 ( D )
(A) 经过三点确定一个平面
(B) 经过一条直线和一个点确定一个平面
(C) 四边形确定一个平面
(D) 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
分析:
(A) 三点共线时不成立.
D
C
A
(B) 点在直线上时不成立.
(C) 如图的四边形ABCD不是平面.
情景创设
问题 2. 如图的空间物体, 你认为是由一些什么几何元素组成?
点、直线、平面
是空间图形的基本元素
它们构成了千姿百态的世界
情景创设
问题 3. 你能说明平面是一个什么样的形状吗?
数学建构
情景创设
问题 3. 你能说明平面是一个什么样的形状吗?几何里的“平面”源自从物体的平面图形中抽象出来的,
它像水平面一样给人一种平整的感觉