【试题猜想】2024年中考数学考前最后一卷+全解全析(福建卷)

2024年中考数学考前最后一卷【福建卷】
全解全析
一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确
的.）
1．下列四个数：﹣3π，﹣1，其中最小的数是
A．﹣3 B．﹣πC．﹣1 D
【答案】B
-＜-3【解析】比较负数大小，根据绝对值越大，负数越小．只要比较它们绝对值得大小即可.因1-＜3
＜ -，所以-π最小．
2．我国古代数学家刘徽用"牟合方盖"找到了球体体积的计算方法."牟合方盖"是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌人一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成"牟合方盖"的一种模型,它的俯视图是( )
【答案】A
【解析】由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体,而横嵌入圆柱的俯视图是长方形,纵嵌入圆柱的俯视图是圆,正方体俯视图是正方形,故选A.
3．月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为（）A．3.84×105B．38.4×104C．0.384×106D．3.84×106
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】38.4万＝384000＝3.84×105，
故选：A．
4．列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）
A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2
【答案】D
【解析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系逐项判定即可．A、∵1+1+1＝3＜5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
B、∵1+1+5＝7＜8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
C、∵1+2+2＝5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；
D、∵2+2+2＝6＞5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意．
5．下列各运算中，计算正确的是（）
A．a2+2a2＝3a4B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解析】A、结果是3a2，故本选项不符合题意；
B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意；
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）
A．√3+1 B．√5+3 C．√5+1 D．4
【答案】C
【解析】由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，
AC＝1，∴∠AEC＝90°，
∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE=1
2
∴BC=√BE2+CE2=√22+12=√5，
BC＝BF＝CF，
∵点F为BC的中点，∴EF=1
2
∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE=√5+1，
故选：C
7.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，其中四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个．问：苦、甜果各有几个？设苦果有x个，甜果有y个，
则可列方程组为（ ） A ．{x +y =1000，47x +11
9y =999 B ．{x +y =1000，74x +9
11
y =999
C ．{x +y =1000，
7x +9y =999 D ．{
x +y =1000，
4x +11y =999
【答案】A
【分析】利用总价＝单价×数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．
【解析】∵共买了一千个苦果和甜果， ∴x+y ＝1000；
∵共花费九百九十九文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个， ∴4
7x +11
9y ＝999． ∴可列方程组为{x +y =100047
x +
119
y =999
．
故选：A ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．为了保护环境加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，下面是随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量进行的统计：
请根据学生收集到的废旧电池数，判断下列说法正确的是（ A ．样本为40名学生 B ．众数是11节 C ．中位数是6节 D ．平均数是5.6节
【答案】D
【解析】本题考查了样本，众数，中位数，平均数，熟练掌握样本，众数，中位数，平均数是解题关键．根据样本定义可判定A ，利用众数定义可判定B ，利用中位数定义可判定C ，利用加权平均数计算可判定D 即可．随机抽取40名学生对收集废旧电池的数量是样本，故选项A 样本为40名学生不正确； 根据众数定义重复出现次数最多的数据是5节或6节，故选项B 众数是11节不正确， 根据中位数定义样本容量为40，中位数位于
4020,212
=两个位置数据的平均数，第20位、第21位两个数据为6节与7节的平均数67
6.52+=节，故选项C 中位数是6节不正确； 根据样本平均数()1
495116117584 5.640
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=节,故选项D 平均数是5.6节正确．因此本题选D ．
9．某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，
12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度.
①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以．．．通过该闸口； ③当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以．．．通过该闸口. 则上述说法正确的个数为（）
A.0个
B. 1个
C. 2个
D.3个
【答案】C
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，当90α=︒时，EF 离地面的高度为AB+BE=1.4+2=3.4米，h 小
于3.3米的车辆均可以通过该闸口，正确；当45α=︒时，EF 离地面的高度为AB+
2
BE≈2.814米，h 小
于3.3米的车辆均不可以通过该闸口，正确；当60α=︒时，EF 离地面的高度为AB+2
BE≈3.332米，h 小于3.3米的车辆均不可以通过该闸口，错误；，因此本题选C ．
10．如图，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22
PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（ ）
A ．3
B ．
C ．4
D ．2
【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理的逆定理和圆周角定理，由22PA PC +2AC =，根据勾股定理的逆定理得∠APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，如图，取AC 的中点O ，点P 为BO 于
⊙O 的交点时，PB 最小，BC=3，∴∠BOC=60°∴AP=3，ACP ∆的面积为1322
⨯=
，因此本题选D ．
二、填空题（本大题包括6小题，每小题4分，共24分。

）
11．如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是______．
【答案】140°
【解析】方法1：设正九边形的每个内角为x°，根据多边形内角和公式：(9－2)·180＝9x，解得x＝140．方法2：根据多边形的外角和为360°，可知它每个外角为40°，所以内角是140°．
12．已知反比例函数y＝2
x，当x＜－1时，y的取值范围为___________．
【答案】－2＜y＜0
【解析】当x＝－1时，y＝－2，因为x＜0时，y随x的增大而减小，图像位于第三象限，所以y的取值范围为－2＜y＜0．
13．菱形ABCD中，∠A＝60°，其周长为24cm，则菱形的面积为2
cm．
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∵∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，
又周长为24cm，即BD=AB=6cm，在Rt△AOB中，OD=3cm，∴
==,∴
AC=2AO=,菱形的面积=1
2
AC BD
⋅
=
1
6
2
⨯=
B
14．已知
O 的两条直径,AC BD 互相垂直，分别以,,,AB BC CD DA 为直径向外作半圆得到如图所示的图
形.现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为1P ，针尖落在O 内的概率为2P ，则
1
2
P P =______________.
【答案】
2
π
【解析】设
O 的半径为1，则O
S
π=，AO ＝1，AD
.
∴21
11
=4[()]22242
S ππ⋅−−=阴影，∴该图形的总面积为2π+. ∴112222,,22P P P P ππππ
=
=∴=++. 15．已知m 为方程x 2+3x ﹣2024＝0的根，那么m 3+2m 2﹣2027m+2024的值为 【答案】0
【分析】将方程的根代入方程，化简得m 2+3m ＝2024，将代数式变形，整体代入求值即可． 【解析】∵m 为方程x 2+3x ﹣2024＝0的根， ∴m 2+3m ﹣2024＝0， ∴m 2+3m ＝2024，
∴原式＝m 3+3m 2﹣m 2﹣3m ﹣2024m+2024 ＝m （m 2+3m ）﹣（m 2+3m ）﹣2024m+2024 ＝2024m ﹣2024﹣2024m+2024 ＝0． 故答案为0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将m 2+3m ＝2024整体代入代数式求值是解题的关键．
16.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值的差为
【答案】
7+√172
【解析】本题为二次函数综合题，考查了二次函数图象性质，解答关键是研究动点到达临界点时图形的变化，从而得到临界值.画出图象，从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值.
解：如图，由题意得，互异二次函数2()y x m m =−−的顶点（m ，—m)在直线y=—x 上运动，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C(2,0),∴B(2,2),从图象上可以看出，当函数从左向右运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值，当互异二次函数2()y x m m =−−经过点A （0，2）时，m=0，或m=—1；当互异二次函数2()y x m m =−−
经过点B （2，2）时，m=52
y
−，或m=52+；∴互异二次函数2()y x m m =−−与正方形OABC
有交点时m 的最大值和最小值分别是
52
+，—1，∴最大值与最小值的差为7+√172
三、解答题（本大题共9个小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（8分）计算：0
11(1)2|()tan 603
π−−+−+︒．
【解析】原式123=+0=．
点评：此题主要考查了负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
18．（8分）求不等式组4(1+)5132
35(32)2
x x x x +⎧−≤⎪⎪⎨
⎪−≤−⎪⎩ ① ②
的整数解. 【解析】解不等式①，得x≤5
13
解不等式②，得x≥7
4− ∴x 的取值范围为74−
≤x≤5
13 则x 的整数解为x ＝0，x ＝1，x ＝2
19．（8分）如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一条直线上，AD ＝BC ，AE ＝BF ，AE ∥BF ． 求证：DF ∥EC
证明：∵AD ＝BC ，∴AD+DC ＝BC+DC ，∴AC ＝BD ， ∵AE ∥BF ，∴∠A ＝∠B ，
在△AEC 和△BFD 中，AC BD
A B AE BF =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEC ≌△BFD （SAS ）． ∴∠FDB=∠ECA ∴DF ∥EC 20．（8分）先化简，然后从﹣1，0，1，3中选一个合适的数作为a 的值代入
求值．
【解析】解：原式=2
2)3(1
)1(31−+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−a a a a a =2
2)
3(1
3)3)(1(1−+÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−+−−a a a a a a =1
)3(3)1(22
+−⨯
−+a a a a =2(a-3)= 2a-6 ∵a=-1或a=3时，原式无意义，
∴a 只能取1或0
当a=1时，原式=-4（当a=0时，原式=-6.） 21．（8分）如图，C 是O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，O 的半径为3，2PB =，4PC =.
（1）求证：PC 是
O 的切线.
（2）求tan CAB ∠的值.
【思路分析】(1)欲证PC 与⊙O 相切，只需证明OC ⊥PC ，题中给出线段的长，可以利用勾股定律的逆定理，从而得到∠OCP=90°.
(2)利用相似三角形的判定定理，先证明△OCD ∽△OPC ，在利用相似三角形的性质，证得OC 、OD 、OP 之间的关系，即可求得CD 和AD 的长，最后直接利用三角函数计算即可. 【解题过程】(1)证明：连接OC.
∵⊙O 的半径为3，∴OC=OB=3.又∵BP=2，∴OP=5.在△OCP 中，OC 2+PC 2=32+42=52=OP 2，∴△OCP 为直
角三角形，∠OCP=90°. ∴OC ⊥PC ，故PC 为⊙O 的切线.
(2)解：过点C 作CD ⊥OP 于点D ，∠ODC=∠OCP=90° ∵∠COD=∠POC ，∴△OCD ∽△OPC.
∴OC OP PC OD OC CD ==，∴OC 2=OD•OP ，∴OD=
295OC OP =，453
DC =， ∴CD=
125.又∵AD=OA+OD=24
5
， ∴在Rt △CAD 中，tan ∠CAB=
1
2
CD AD =.
【知识点】圆的切线的判定定理；勾股定理逆定理；相似三角形的性质和判定；锐角三角函数
22.（10分）图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘.现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面（除底面外）的数字之和是几，就从图②中的A点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.
（1）随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是；
（2）随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点C处的概率.
【思路分析】(1)一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，随机投掷一次，向上三个面上数字和分别是1＋2＋3＝6、1＋2＋4＝7、1＋3＋4＝8、2＋3＋4＝9，从A点开始，跳动后分
别在A、B、C、D四个位置所以随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率1
4
；（2）列表格或树状图
计算.
【解析】（1）1
4
；
（2）画树状图：
可以看出，可能发生结果总数为16种，其中跳动到点C有4种，所以棋子最终跳动到点C处的概率P＝41
.
164
＝
23.（10分）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）.
（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等.（作图不必写作法，但要保留作图痕迹）
（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式.
【思路分析】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；
方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.
（2）根据（1）中的作图方法，利用待定系数法求出函数表达式.
【解题过程】（1）方法一：过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂直分别为A、C，过AC 画直线即可；
方法二：连接OB，作OB的垂直平分线，分别交x轴、y轴于点A、C，过AC 画直线即可.
（2）方法一：由作图可知点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，4），
设AC的解析式为y=kx+b，
则
60
04
k b
k b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
2
3
4
k
b
⎧
=−
⎪
⎨
⎪=
⎩
,
∴
2
4
3
y x
=−+
.
方法二：作BM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥y 轴于点N ，则BM=4，BN=6，
设A （a ，0）C （0，b ），利用轴对称的性质可得BC=OC=b ，AB=OA=a ，
由△BAM ∽BCN 得==BA BM AM BC BN CN
， ∴46=64
a a
b b −=−， ∴13313
2
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 设AC 的解析式为y=mx+n ， 则13031302
m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得3213
2m n ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴31322
y x =−+. 24.（12分）如图，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为(1,0)−，2OC =，3OB =，点D 为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标； （3）若抛物线上有且仅有三个点1M 、2M 、3M 使得1M BC ∆、2M BC ∆、3M BC ∆的面积均为定值S ，求出定值S 及1M 、2M 、3M 这三个点的坐标．
24．【思路分析】
（1）用待定系数法，找出抛物线上的三点坐标即可求解；
（2）分类讨论，以坐标平移规律定出P 点坐标；
（3）对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．∴ 抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S ．平移直线BC 与抛物线交于一点，联立求点1M 的坐标．利用平移规律求另两个点的坐标．
【解答过程】（1）∵ OC ＝2，OB ＝3，∴ C 为(0，2)，B 为(3，0)
设抛物线的解析式为22y ax bx =++，将A(－1，0)，B(3，0)代入得：
209320a b a b −+=⎧⎨++=⎩，解得2343a b ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 抛物线的解析式为224233
y x x =−++ （2）∵ D 为224233y x x =−++的顶点，∴ D 为(1，3
8) ∵ C 为(0，2)，B 为(3，0)
① 当四边形DCBP 1为平行四边形时，BP 1可由CD 平移得到，由点C 到点D 横坐标加1个单位，纵坐标加23个单位，P 为24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ② 当四边形DP 2CB 为平行四边形时，CP 2可由BD 平移得到，由点B 到点D 横坐标减2个单位，纵坐标加83个单位，P 为142,3⎛⎫− ⎪⎝
⎭； ③ 当四边形CP 3BD 为平行四边形时，BP 3可由DC 平移得到，由点B 到点D 横坐标减1个单位，纵坐标减23个单位，P 为22,3⎛⎫− ⎪⎝⎭
． 综上所述，当P 为142,3⎛⎫− ⎪⎝
⎭或22,3⎛⎫− ⎪⎝⎭或24,3⎛⎫ ⎪⎝⎭时，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形． （3）∵ 对任意的面积S ，抛物线位于直线BC 下方的部分一定存在两个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S
∴ 抛物线位于直线BC 上方的部分有且仅有一个点使得与B 、C 所围成的三角形的面积为S
∴ 作直线BC 的平行线L 使得它与抛物线有且仅一个交点，
设1l ：223
y x m =−++ ∴ 224222333
x x x m −++=−++
令，0∆= 解得，32m =， ∴直线l 1是由直线BC 向上平移32个单位得到，M 1为35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵ C 为()0,2，B 为()3,0，M 1为3
5
,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
可得，94MBC S ∆=． 则由直线BC 向下平移
32个单位得到直线2l ：2132y x =−+，联立得2242123332x x x −++=−+ 解得，13322x +=，23322
x −=，代入到直线2l 的解析式中得到 23321,222M ⎛⎫+−− ⎪ ⎪⎝⎭，33321,222M ⎛⎫−−+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 综上，94S =，1M 35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，23321,222M ⎛⎫+−− ⎪ ⎪⎝⎭，33321,222M ⎛⎫−−+ ⎪ ⎪⎝⎭
． 25．（14分）【推理】
如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一动点，将正方形沿着BE 折叠，点C 落在点F 处，连结BE ，CF ，延长CF 交AD 于点G.（1）求证:△BCE ≌△CDG ；
【运用】
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF 交AD 于点H.若
5
4=HF HD ，CE=9，求线段DE 的长； 【拓展】
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE 折叠，连结CF ，延长CF ，BF 交直线AD 于G ，H
两点，若k BC AB =，54=HF HD ，求EC DE 的值(用含k 的代数式表示).
25．（14分） 解：（1）如图1，∵△BFE 由△BCE 折叠得到，
∴BE ⊥CF ，
∴∠ECF+∠BEC ＝90°，
又∵四边形ABCD 是正方形，
备用图
图2 图1
∴∠D ＝∠BCE ＝90°，BC ＝CD ，
∴∠ECF+∠CGD ＝90°，
∴∠BEC ＝∠CGD ，
∴△BCE ≌△CDG （AAS ）；
（2）如图2，连接EH ，由（1）得△BCE ≌△CDG ，
∴CE ＝DG ＝9，由折叠得BC ＝BF ，CE ＝FE ＝9，
∴∠BCF ＝∠BFC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ∥BC ，
∴∠BCG ＝∠HGF ，
又∵∠BFC ＝∠HFG ，
∴∠HFG ＝∠HGF ，
∴HF ＝HG ， ∵54
=HF HD
，DG ＝9，
∴HD ＝4，HF ＝HG ＝5，
∵∠D ＝∠HFE ＝90°，
∴HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，
∴52+92＝42+DE 2，
∴DE ＝103（DE ＝103−舍去）；
（3）如图3，连结HE ， 由已知54
=HF HD
，可设DH ＝4m ，HG ＝5m ，可令x EC DE
=，
①当点H 在D 点左边时，如图3，
易得HF ＝HG ，
∴DG ＝9m ，由折叠得BE ⊥CF ，
∴∠ECF+∠BEC ＝90°，
又∵∠D ＝90°，
∴∠ECF+∠CGD ＝90°，
∴∠BEC ＝∠CGD ，
又∵∠BCE ＝∠D ＝90°，
∴△CDG ∽△BCE ， ∴BC CD
CE DG
=， 图1 图2 图3
∵
k BC AB BC CD ==， ∴1
9k CE m =， ∴FE k
m CE ==9， ∴k mx DE 9=
， ∵∠D ＝∠HFE ＝90°，
∴HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2， ∴2222)9(4)9(5k
mx m k m m +=+）（）（， ∴3
92+=k x （392+−=k x 舍去）， ∴3
92+=k EC DE ；
②当点H 在D 点右边时，如图4，同理可得HG ＝HF ，
∴DG ＝m ，
同理可得△BCE ∽△CDG ，可得FE k
m CE ==
， ∴k mx DE =， ∵HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2， ∴2222)(4)(5k
mx m k m m +=+）（）（， ∴192+=k x （192+−=k x 舍去）， ∴192+=k EC
DE .
【解析】本题考查了折叠，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形、相似三角形的性质和判定，勾股定
图4
理等知识，（1）根据AAS 证明三角形全等即可．（2）如图2中，连接EH ．根据HF 2+FE 2＝DH 2+DE 2，求出DE 即可解决问题．（3）连接HE ．由题意54=HF HD ，可以假设DH ＝4m ，HG ＝5m ，设x EC
DE =，分两种情形：①当点H 在点D 的左侧时，如图3，②当点H 在点D 的右侧时，如图4中，分别利用勾股定理构建方程求解即可．。