八年级上册数学乘法公式

八年级上册数学乘法公式
一、乘法公式的基本内容。

（一）平方差公式。

1. 公式内容。

- (a + b)(a - b)=a^2-b^2。

2. 公式的几何解释（以人教版教材为例）
- 我们可以通过一个边长为a的大正方形，在其中一角去掉一个边长为b的小正方形来理解。

- 大正方形的面积是a^2，小正方形的面积是b^2。

- 剩下的图形可以看作是一个长为(a + b)，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a +
b)(a - b)，所以(a + b)(a - b)=a^2-b^2。

3. 公式的应用示例。

- 例1：计算(3x+2y)(3x - 2y)。

- 解：这里a = 3x，b=2y，根据平方差公式(a + b)(a - b)=a^2-b^2，可得
(3x+2y)(3x - 2y)=(3x)^2-(2y)^2=9x^2-4y^2。

- 例2：计算( - 5m+4n)( - 5m - 4n)。

- 解：a=-5m，b = 4n，则( - 5m+4n)( - 5m - 4n)=(-5m)^2-(4n)^2=25m^2-
16n^2。

（二）完全平方公式。

1. 公式内容。

- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2；(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

2. 公式的几何解释（人教版）
- 对于(a + b)^2，可以看作边长为(a + b)的正方形的面积。

- 这个正方形的面积可以分成四部分：边长为a的正方形面积a^2，两个长为a宽为b的长方形面积2ab，边长为b的正方形面积b^2，所以(a + b)^2=a^2+2ab +
b^2。

- 对于(a - b)^2，可以看作边长为a的正方形去掉两个长为a宽为b的长方形（这两个长方形有一个边长为b的公共部分）后再加上边长为b的正方形的面积，即
(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

3. 公式的应用示例。

- 例1：计算(2x+3y)^2。

- 解：这里a = 2x，b = 3y，根据(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，可得
(2x+3y)^2=(2x)^2+2×(2x)×(3y)+(3y)^2=4x^2+12xy + 9y^2。

- 例2：计算(4m - 5n)^2。

- 解：a = 4m，b = 5n，根据(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，可得(4m -
5n)^2=(4m)^2-2×(4m)×(5n)+(5n)^2=16m^2-40mn + 25n^2。

二、乘法公式的拓展与变形。

（一）完全平方公式的变形。

1. a^2+b^2=(a + b)^2-2ab=(a - b)^2+2ab
- 证明：
- 由(a + b)^2=a^2+2ab + b^2，移项可得a^2+b^2=(a + b)^2-2ab。

- 由(a - b)^2=a^2-2ab + b^2，移项可得a^2+b^2=(a - b)^2+2ab。

2. (a + b)^2-(a - b)^2=4ab
- 证明：
- (a + b)^2=a^2+2ab + b^2，(a - b)^2=a^2-2ab + b^2。

- (a + b)^2-(a - b)^2=(a^2+2ab + b^2)-(a^2-2ab + b^2)=a^2+2ab + b^2-a^2+2ab - b^2=4ab。

（二）乘法公式在简便计算中的应用。

1. 利用平方差公式简便计算。

- 例：计算102×98。

- 解：把102写成(100 + 2)，98写成(100 - 2)。

- 则102×98=(100 + 2)(100 - 2)=100^2-2^2=10000 - 4 = 9996。

2. 利用完全平方公式简便计算。

- 例：计算99^2。

- 解：把99写成(100 - 1)。

- 则99^2=(100 - 1)^2=100^2-2×100×1+1^2=10000 - 200 + 1=9801。