苏科版九年级下册勾股定理及其逆定理课件(共18张PTT)
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AB=CD=6，AD=BC=10，试求EC的长度.
A
D
E
B
F
C
变式训练3
2. 如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线
BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1)求证：AG＝C'G；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
5或 7
3.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为________.
5
4.等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，则它的腰长为__________.
48
5.等腰三角形的周长是36 cm，底边上的高是6 cm，则它的面积为_______.
考点2：勾股定理与求解三角形
例2：如图，已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分
10
别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___________.
变式训练1
1. 如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两
100
个小半圆的面积和为100,则大的半圆面积是__________.
绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
考点4：利用勾股定理逆定理求角度
例5.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将
△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，
知识结构
平方和
12
24
17
41
+ =
勾股定理的证明
c
赵
爽
弦
图
a
b
a
b
a
a
c
c
c
b
b
a
b
c
c
c
b
a
b
a
c
1
S=4× ab+(b-a)2=c2
2
b
c
c
a
a
b
a
b
1
S=4× ab+c2=(a+b)2
2
1
1
1 2
S梯形= (a+b)(a-b)=2× ab+ c
2
2
2
考点1：勾股定理与图形面积
2. 如图，已知1号、4号两个正方形的面积为7，2号、3号两个
15
正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为______.
考点2：勾股定理与求解三角形
15
20
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:BC=3:4，AB＝25，则AC＝_____．BC＝______.
10
2.若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边的长______．
③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是(B )
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为
“赵爽弦图”（如图5）.图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼
接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、
直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数
76
学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．
变式训练6
1. 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图
案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三
角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；
135
CE=3，则∠BE′C=___________度．
变式训练5
1．如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，
求∠APB的度数．
A
A
P
P
B
C
B
C
考点6：赵爽弦图
例1. 下图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个
考点4：利用勾股定理逆定理求面积
例4.如图，在正方形ABCD 中AB=4， 点E是CD的中点，点F 在BC上，且
FC=1 ．则△AEF 的面积是____________
5
பைடு நூலகம்
变式训练4
1．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝
9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行
A
C
D B
变式：如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，求AD长.
考点3：勾股定理与图形折叠
例3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm， BC＝8cm，现将直角边
AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，求△ACD的面积是多少?
C
D
A
E
B
变式训练3
1.如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，
10
S2、S3，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．
3
谢谢大家！
A
D
E
B
F
C
变式训练3
2. 如图1，有一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，将矩形纸片先沿对角线
BD对折，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G． (1)求证：AG＝C'G；
(2)如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．
5或 7
3.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为________.
5
4.等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，则它的腰长为__________.
48
5.等腰三角形的周长是36 cm，底边上的高是6 cm，则它的面积为_______.
考点2：勾股定理与求解三角形
例2：如图，已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.
例1. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分
10
别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是___________.
变式训练1
1. 如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两
100
个小半圆的面积和为100,则大的半圆面积是__________.
绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
考点4：利用勾股定理逆定理求角度
例5.如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将
△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，
知识结构
平方和
12
24
17
41
+ =
勾股定理的证明
c
赵
爽
弦
图
a
b
a
b
a
a
c
c
c
b
b
a
b
c
c
c
b
a
b
a
c
1
S=4× ab+(b-a)2=c2
2
b
c
c
a
a
b
a
b
1
S=4× ab+c2=(a+b)2
2
1
1
1 2
S梯形= (a+b)(a-b)=2× ab+ c
2
2
2
考点1：勾股定理与图形面积
2. 如图，已知1号、4号两个正方形的面积为7，2号、3号两个
15
正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为______.
考点2：勾股定理与求解三角形
15
20
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:BC=3:4，AB＝25，则AC＝_____．BC＝______.
10
2.若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，则斜边的长______．
③2xy＋4＝49；④x＋y＝9，其中说法正确的是(B )
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
2.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为
“赵爽弦图”（如图5）.图6由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼
接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、
直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数
76
学风车”，则这个风车的外围周长（图3中的实线）是_______．
变式训练6
1. 如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图
案．已知大正方形面积为49，小正方形面积为4．若用x，y表示直角三
角形的两直角边（x>y），下列四个说法：①x2＋y2＝49；②x－y＝2；
135
CE=3，则∠BE′C=___________度．
变式训练5
1．如图，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，
求∠APB的度数．
A
A
P
P
B
C
B
C
考点6：赵爽弦图
例1. 下图2是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的
直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个
考点4：利用勾股定理逆定理求面积
例4.如图，在正方形ABCD 中AB=4， 点E是CD的中点，点F 在BC上，且
FC=1 ．则△AEF 的面积是____________
5
பைடு நூலகம்
变式训练4
1．如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝
9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行
A
C
D B
变式：如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，求AD长.
考点3：勾股定理与图形折叠
例3.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm， BC＝8cm，现将直角边
AC沿直线折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到E点，求△ACD的面积是多少?
C
D
A
E
B
变式训练3
1.如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE，
10
S2、S3，若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是___________．
3
谢谢大家！