【好题】高三数学上期中第一次模拟试卷带答案(1)

【好题】高三数学上期中第一次模拟试卷带答案(1)
一、选择题
1．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3
D ．若a>b ，则
1
a ＜1b
2．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A ．一尺五寸
B ．二尺五寸
C ．三尺五寸
D ．四尺五寸
3．已知实数x ，y 满足52180
2030x y x y x y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪+-≥⎩
，若直线10kx y -+=经过该可行域，则实数k
的最大值是（ ）
A ．1
B ．
32
C ．2
D ．3
4．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知
sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）
A ．18
B ．34
C ．2
3 D ．16
5．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10
B ．120
C ．130
D ．140
6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
7．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞
B
．()
-+∞
C ．[)3,-+∞
D
．)
⎡-+∞⎣
8．若x ，y 满足20
400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z y x =-的最大值为（ ）．
A ．8-
B ．4-
C ．1
D ．2
9．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13
-
B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
10．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
11．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
12．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其前n 项和分别为n S ，n T ，且
723
n n S n T n +=+，则220
715
a a
b b +=+（ ）
A ．
49
B ．
378
C ．
7914
D ．
149
24
二、填空题
13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=.其中*m N ∈且
2m ≥，则m =______.
14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．
15．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a a n +=++，则
122016
111a a a +++=L _________． 16．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点
是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小
值为____．
17．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________．
18．定义11222n n n a a a H n
-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,
记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．
19．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________. 20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．
三、解答题
21．在ABC V 中，3
B π
∠=
，b =，________________，求BC 边上的高．
从①sin 7
A =
， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且2
2
2,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；
（2）若2
2
sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，
2cosA cos A =．
()1求C ；
()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V
24．已知数列{}n a 的前n 项和()
2*
,,n S pn qn p q n =+∈∈R N ，且143,24.a S ==
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
25．已知向量()
1
sin 2A =，m
与()
3sin A A =，
n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；
（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明1
4
n T <.
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.
故选C
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
从冬至日起各节气日影长设为{}n a ，可得{}n a 为等差数列，根据已知结合前n 项和公式和等差中项关系，求出通项公式，即可求解. 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，
n S 是其前n 项和，则()19959985.52
a a S a +=
==尺，
所以59.5a =尺，由题知1474331.5a a a a ++==， 所以410.5a =，所以公差541d a a =-=-， 所以1257 2.5a a d =+=尺。

故选:B . 【点睛】
本题考查等差数列应用问题，考查等差数列的前n 项和与通项公式的基本量运算，属于中档题.
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先根据约束条件画出可行域，再利用直线20kx y -+=过定点()0,1，再利用k 的几何意义，只需求出直线10kx y -+=过点()2,4B 时，k 值即可． 【详解】
直线20kx y -+=过定点()0,1， 作可行域如图所示，
，
由5218020x y x y +-=⎧⎨-=⎩
，得()2,4B ．
当定点()0,1和B 点连接时，斜率最大，此时413
202
k -==-， 则k 的最大值为：32
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos b
C C a
=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3
cos 24
C =，利用二倍角公式求得结果.
【详解】
由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=
则22224cos 2cos cos 22a b c b C b
C C ab ab a
+-===
ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=
ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222
C C
b b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅
即：2sin 4sin cos 3sin 222
C C C
C ==
()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24
C ∴= 2
91cos 2cos 1212168
C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】
设幂函数为()f x x α
=，将()4,2代入得1
42,2
α
α==
，所以(
)f x =
所以n a =
1
n
a =
1n S =
L 1=
，由110n S ==解得
120n =，故选B. 【点睛】
本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
7．D
解析：D 【解析】
由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛
⎫
≥-+
⎪⎝⎭
对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦Q
当x 时，2x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
取得最大值m -∴≥-，m 的取
值范围是)
⎡-+∞⎣，故选D.
【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利
用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
8．D
解析：D 【解析】
作出不等式组20400x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域，如图所示，
当0x ≥时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为2z y x =-，即2y x z =+，平移直线2y x =可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，
max 2z =，
当0x <时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为2z y x =+，即2y x z =-+，平移直线2y x =-可知当直线经过点(0,2)D 时，直线的截距最大，从而z 最大，max 2z =， 综上，2z y x =-的最大值为2． 故选D ．
点睛：利用线性规划求最值的步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（ax by +型）、斜率型（
y b x a
++型）和距离型（()()22
x a y b +++型）． (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解． (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
9．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q
=++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
10．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质前n 项和的性质进行求解即可. 【详解】
因为等差数列{}n a 和{}n b ,所以
2201111
7151111
22a a a a b b b b +==+,又211121S a =,211121T b =,
故令21n =有2121721214921324S T ⨯+==+,即1111211492124a b =,所以1111
149
24a b = 故选：D. 【点睛】
本题主要考查等差数列的等和性质：
若{}n a 是等差数列,且(,,,*)m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+ 与等差数列{}n a 前n 项和n S 的性质*
21(21),()n n S n a n N -=-∈
二、填空题
13．5【解析】【分析】设等差数列的再由列出关于的方程组从而得到【详解】因为所以设因为所以故答案为：【点睛】本题考查等差数列前项和公式的灵活运用考查从函数的角度认识数列问题求解时要充分利用等差数列的前前项
解析：5 【解析】 【分析】
设等差数列的()n An n m S =-，再由12m S -=-，13m S +=，列出关于m 的方程组，从而得到m . 【详解】
因为0m S =，所以设()n An n m S =-， 因为12m S -=-，13m S +=，
所以(1)(1)2,12
5(1)13,13A m m m A m m -⋅-=-⎧-⇒=⇒=⎨
+⋅=+⎩
. 故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列前n 项和公式的灵活运用，考查从函数的角度认识数列问题，求解时要充分利用等差数列的前前n 项和公式必过原点这一隐含条件，从而使问题的计算量大大减
少.
14．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：1
4
-
【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
2221
32,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===-
故答案为：14
-
. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2
222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=
，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o
o
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
15．【解析】试题分析：所以所以考点：累加法；裂项求和法
解析：
4032
2017
【解析】
试题分析：111,n n n n a a n a a n +--=+-=，所以
()11221112
n n n n n n n a a a a a a a a ---+=-+-++-+=
L ，所以
11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
，122016111140322120172017a a a ⎛
⎫+++=-= ⎪⎝⎭
L . 考点：累加法；裂项求和法.
16．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6
解析：6 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示，
设BF x =，由题意知3,2AE AF ==
ABF ∆与CAE ∆相似，所以
AB BF CA AE =,所以3
AC AB x
=,所以
211322ABC S AB AC AB x
∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632
x x =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.
17．【解析】【详解】总费用为当且仅当即时等号成立故答案为30点睛:在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得
解析：30
【解析】
【详解】
总费用为600900464()4240x x x x +
⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x
=，即30x =时等号成立．故答案为30. 点睛:在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
18．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据 解析：712[,]35
【解析】
【分析】
因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n n n b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出
2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案.
【详解】
Q 1112222n n n n b b b H n
-++++==L , ∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,
故2121()(22212)n n n b b n b n --⋅++=-≥+L ,
∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,
则2(1)n b n =+,对1b 也成立,
∴2(1)n b n =+,
则()22n b kn k n -=-+,
∴数列{}n b kn -为等差数列,
记数列{}n b kn -为{}n c .
故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；
即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩
,解得,71235k ≤≤, 故答案为:712[,
]35
． 【点睛】
本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 19．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212
【解析】
【分析】
先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n
=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到
n a n 的最小值． 【详解】
解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33
且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n
=+- 设f （n ）331n n =
+-，令f ′（n ）23310n -=+＞，
则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的， 因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为
55355a =，66321662
a ==， 所以n a n 的最小值为62162a = 故答案为 212
本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10
【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33
x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33
x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-
三、解答题
21．选择①，33h =；选择②，3h =；选择③，3h =【解析】
【分析】
（1）选择①21sin A =，可由sin sin a b A B =解得2a =，再由2222cos b a c ac B =+-解得3c =，最后由sin h c B =可得解；
（2）选择②sin 3sin A C =，由sin sin()3sin A B C C =+=得5sin 3C C =，结合22sin cos 1C C +=得21sin 14
C =，最后由sin h b C =可得解. （3）选择③2a c -=，由2222cos b a c ac B =+-可得：227a c ac +-=，结合2a c -=解得1c =，最后由sin h c B =可得解.
（1
）选择①sin A =，解答如下：
在ABC V ，由正弦定理得：sin sin a
b
A B =，
=2a =，
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
221
2222c c =+-⨯⨯，解得1c =-（舍去）或3c =，
则BC
边上的高sin h c B =
（2）选择②sin 3sin A C =，解答如下：
在ABC V 中，[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+，
由sin 3sin A C =可得：sin()3sin 3C C π
+=，
整理得5sin C C =┄①，
又22sin cos 1C C +=┄②，
由①②得sin 14C =，
则BC
边上的高sin h b C ===.
（3）选择③2a c -=，解答如下：
在ABC V 中，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，
3B π
∠=Q
，b =
227a c ac ∴+-=┄①，
又2a c -=┄②，
由①②解得1c =，
则BC
边上的高sin h c B =.
【点睛】
本题考查了正余弦定理解三角形，考查了计算能力，属于中档题.
22．（1）3C π
=（2
）3
【解析】
试题分析：（1）由余弦定理得cos C 值，再根据三角形内角范围求角C ；（2）由正弦定
理将条件化为边的关系：2224cos b c a ac A +-=，再根据余弦定理得2a b =，代人解得
a =，
b =2
c =，由勾股定理得2B π=，最后根据直角三角形面积公式得ABC V 的面积．
试题解析：解：（1）由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-== 22221222
a b ab ab ab +-==， 又()0,C π∈，所以3C π=
． （2）由()22sin sin sin 2sin2sin B A C A C -=-，
得222sin sin sin 2sin2sin B C A A C +-=，
得222sin sin sin 4sin cos sin B C A A A C +-=，
再由正弦定理得222
4cos b c a ac A +-=，所以222
cos 4b c a A ac +-=．① 又由余弦定理，得222
cos 2b c a A bc
+-=，② 由①②，得222222
42b c a b c a bc bc
+-+-=，得42ac bc =，得2a b =，
联立2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩，得3a =，3b =． 所以222b a c =+．所以2B π=
．
所以ABC V 的面积11222S ac =
==
23．(1) 12π
．(2) 【解析】
【分析】
()1由已知利用正弦定理，同角三角函数基本关系式可求1tanB =，结合范围()0,B π∈，可求4B π
=，由已知利用二倍角的余弦函数公式可得2210cos A cosA --=，结合范围
()0,A π∈，可求A ，根据三角形的内角和定理即可解得C 的值．
()2由()1及正弦定理可得b 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sinC 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】
() 1Q 由已知可得ccosB bsinC =，
又由正弦定理b c sinB sinC
=，可得ccosB csinB =，即1tanB =， ()0,B π∈Q ，
4B π
∴=，
2221cosA cos A cos A ==-Q ，即2210cos A cosA --=，
又()0,A π∈，
12cosA ∴=-，或1(舍去)，可得23
A π=， 12C A
B π
π∴=--=．
()223A π=Q ，4
B π=，2a =， ∴由正弦定理a b sinA sinB =
，可得22
a sinB
b sinA ⨯⋅===， (
)1sin 222sinC A B sinAcosB cosAsinB ⎛⎫=+=+=
+-⨯= ⎪⎝⎭Q
113222343
ABC S absinC -∴=
=⨯⨯⨯=V ． 【点睛】 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形的内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
24．（Ⅰ）21,n a n =+；（Ⅱ）8(41)3
n n T -=. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意可得1, 2.p q ==则22n S n n =+，利用通项公式与前n 项和的关系可得
21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知212n n b +=，结合等比数列前n 项和公式计算可得数列{}n b 的前n 项和
()8413
n n T -=. 【详解】
（Ⅰ）由14316424S p q S p q =+=⎧
⎨=+=⎩ 得21, 2.2.n p q S n n ===+
所以当1n =时，1 3.a =
当2n ≥时，()()21121,n S n n -=-+-
所以()()()2
21212121,n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=+⎣⎦
检验1 3.a =符合21,n a n =+
（Ⅱ） 由（1）可知21,n a n =+
所以2122n a n n b +==.设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则：
()()()1211212424242424444414214841.?
3n n
n n n
n n T --=⨯+⨯++⨯+⨯=++++-=⨯
--=L L 所以数列{}n b 的前n 项和为()841
3n n
T -=.
【点睛】 本题主要考查数列通项公式与前n 项和公式的关系，等比数列前n 项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
25．（1）π3A =
（2）△ABC 为等边三角形 【解析】
分析：（1）由//m n u r r
，得3sin (sin )02A A A ⋅-
=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin 216A ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得224b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,
所以()3sin sin 02A A A ⋅-
=.
所以1cos23022A A --=
1cos212
A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，.
故ππ262A -=，π3
A =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-
又1sin 2ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）
所以1sin 42ABC S bc A ∆=
=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3
A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.
26．（1）31n n a =-；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）
113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14
n T <. 【详解】
（1）223n n S n a +=Q ，
1122(1)3n n S n a ++∴++=，
两式相减得132n n a a +=+ ，
113(1)n n a a ++=+∴ ，
又111223,2S a a +==∴，
∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，
13,31n n n n a a +==-∴∴
（2）113111()(31)(31)23131
n n n n n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭
∴
1111142314
n +=
-⋅<- 【点睛】 本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。