华东师大版八年级上册数学第13章全等三角形单元试卷

华东师大版八年级上册数学第13章全等三角形单元试卷
考试时间：100分钟；满分120分
一、单选题（计30分）
1．（3分）在等腰三角形ABC 中，4,2AB BC ==，则ABC ∆的周长为（ ） A ．10
B ．8
C ．8或10
D ．6或8
2．（3分）如图，已知B D ∠=∠，那么添加下列一个条件后，能判定ABC ADC ∆≌△的是( )
A ．BAC DAC ∠=∠
B ．A
C AC = C ．AB A
D = D ．CB CD = 3．（3分）如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是（ ）
A ．SAS
B ．ASA
C ．AAS
D ．SSS
4．（3分）如图，点,,,B E C F 在同一直线上，BE CF = , B F ∠=∠ ，再添加一个条件仍不能证明 ABC ∆ ≅ DFE ∆的是( )
A ．A
B DF = B ． A D ∠=∠
C ．//AC DE
D ．AC D
E =
5．（3分）如图，AD 是ABC ∆的高，,,75AD BD DE DC BAC ===︒∠，则D B E ∠度数是（ ）
A ．10︒
B ．15︒
C ．30°
D ．45︒
6．（3分）下列语句不是命题的是( ) A ．熊猫没有翅膀
B ．点到直线的距离
C ．对顶角相等
D ．小明是七年级学生
7．（3分）如图，等腰ABC △中，AB AC =，40A ∠=，线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则CBE =∠( )
A ．60
B ．50
C ．40
D ．30
8．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（ ）
A ．带①去
B ．带②去
C ．带③去
D ．①②③都带去
9．（3分）如图，在等边△ABC 中，BD=CE ，则∠APE 等于（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．75
10．（3分）如图，已知ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，点B 、C 、D 在同一条直
线上，BE 交AC 于点M ，AD 交CE 于点N ，AD 、BE 交于点O .则下列结论： ①AD BE =；②DE ME =；③MNC ∆为等边三角形；④120BOD ∠=︒.其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
二、填空题（计32分）
11．（4分）“如果 a ＝b ，那么 a 2＝b 2
”，写出此命题的逆命题_______．
12．（4分）如图所示，要测量池塘AB 宽度，在池塘外选取一点P ，连接AP ，BP 并各自延长，使PC=PA ，PD=PB ，连接CD ，测得CD 长为10m ，则池塘宽AB 为______m ．
13．（4分）等腰三角形的周长为18，若一边长为8，则它的腰长为_____.
14．（4分）如图，已知ABC ADE ∆∆≌，若7,3AB AC ==，则BE 的值为______．
15．（4分）将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
16．（4分）如图，在△ABC 和△DCB 中，AC ＝BD ，在图中不添加任何字母和辅助线的
情况下，若要使△ABC ≌△DCB ，则应增加的一个条件是
17．（4分）如图，若∠A = 15︒， AB = BC = CD = DE = EF ，则∠DEF 等于________.
18．（4分）如图，在第1个1A BC ∆中，130,B A B CB ∠==：在边1A B 取一点D ，延长1CA 到2A ，使121AA AD =，得到第2个12A A D ∆；在边2A D 上取一点E ，延长12A A 到3A ，使232A A A E =，得到第3个23A A E ∆，…按此做法继续下去，则第3个三角形中以3A 为顶点的底角度数是__________．
三、解答题（计58分）
19．（7分）如图，在△ABC 中，AB =25，BC =14，BC 边上的中线AD =24，求线段
AC 的长．
20．（7分）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并判断是否正确．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？ （2）垂线段最短，对吗？ （3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点． （5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
21．（7分）如图，D ，E ，分 别 是 AB ，AC 上 的 点 ，且AB=AC ，AD=AE ，求证∠B=∠C.
22．（7分）如图，已知AB DE ∥，A D ∠=∠，且BE CF =.
(1)说明：ABC DEF △≌△
23．（7分）已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.
已知：线段a ，c ，α∠.求作：ABC ∆，使BC a =，AB c =，ABC α∠=∠.
24．（7分）如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B 、C 作AD 及其延长线的垂线
BE 、CF ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE =CF ．
25．（8分）如图，BD 是等边△ABC 边AC 上的高，E 是BC 延长线上一点，且，
求(1)∠DBC 的度数;
(2)∠E 的度数.
26．（8分）如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，10AB AC cm ==，8BC cm =.动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3/cm s 的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3/cm s 的速度向点A 运动，运动时间是t 秒.
（1）用含t 的代数式表示CP 的长度.
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点C 位于线段PQ 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
说明理由.
∆≅∆？若存在，求出t的值；若不存在，请（4）是否存在某一时刻t，使BPD CPQ
说明理由.
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
等腰△ABC的两边长分别为4和2，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】
①当腰是AB，则周长为4+4+2=10；
②当腰是BC，则三边为4，2，2，此时不能构成三角形，舍去.
故选A.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题关键在于分情况讨论
2．A
【解析】
【分析】
要判定△ABC≌△ADC，已知∠B=∠D，AC是公共边，具备了一组角和一对边对应相等，所以根据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：A、添加∠BAC=∠DAC，根据AAS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项符合题意；
B、AC是公共边，属于已知条件，不能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加AB=AD，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项不符合题意；
D、添加CB=CD时，根据SSA，不能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．D
【解析】
【分析】
我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
【详解】
解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；
④过点D′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
在△OCD与△O′C′D′，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，
∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键.
4．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行解答．
【详解】
解：由BE=CF得到：BC=FE．
A、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AB=DF，根据全等三角形的判定定理SAS能证明
△ABC≌△DFE，故本选项错误；
B、由条件BC=FE，∠B=∠F添加∠A=∠D，根据全等三角形的判定定理AAS能证明
△ABC≌△DFE，故本选项错误；
C、因为AC∥DE，所以∠ACB=∠DEF，再由条件BC=FE，∠B=∠F，根据全等三角形的判定定理ASA能证明△ABC≌△DFE，故本选项错误；
D、由条件BC=FE，∠B=∠F添加AC=DE，由SSA不能证明△ABC≌△DFE，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．C
【解析】
【分析】
由等腰直角三角形的性质可得∠BAD=∠ABD=45°，可得∠DAC=∠BAC-∠BAD=30°，由“SAS”可证△BDE≌△ADC，可得∠DAC=∠DBE=30°．
【详解】
证明：∵AD=BD，AD⊥BC
∴∠BAD=∠ABD=45°
∵∠DAC=∠BAC-∠BAD
∴∠DAC=75°-45°=30°
∵AD=BD，∠ADB=∠ADC，DE=DC
∴△BDE≌△ADC（SAS）
∴∠DAC=∠DBE=30°
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本
题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据命题的定义分别进行判断．
【详解】
熊猫没有翅膀、对顶角相等和小明是七年级学生都是命题，而点到直线的距离为一个名称，它不是命题.
故选B.
【点睛】
本题考查了命题的概念,正确理解的定义是正确解题的关键.
7．D
【解析】
【分析】
由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．【详解】
解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=180A
2
∠
︒-
=70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故选：D．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结
合思想的应用．
8．C
【解析】
【分析】
本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA 来配一块一样的玻璃。

应带③去.
故选：C.
【点睛】
此题考查全等三角形的应用，解题关键在于掌握判定定理
9．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定与性质，可得∠BAD 与∠CBE 的关系，根据三角形的外交的性质，可得∠APE=∠ABP+∠BAP ，根据等量代换，可得答案．
【详解】
解：在等边△ABC 中，∠ABC=∠C=60°，AB=BC ．
在△ABD 和△BCE 中，
AB BC ABD BCE BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ，
∴△ABD ≌△BCE （SAS ），
∴∠BAD=∠CBE ．
∵∠APE 是△ABP 的外角，
∴∠APE=∠ABP+∠BAP ，
∴∠APE=∠ABP+∠PBD=∠ABC=60°．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了全等三角形，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．
10．D
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得CA ＝CB ，CD ＝CE ，
∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，则∠ACE ＝60°，利用“SAS ”可判断△ACD ≌△BCE ，则AD ＝BE ；
（2）由△ACD ≌△BCE 得到∠CAD ＝∠CBE ，然后根据“ASA ”判断△ACN ≌△BCM ，所以AN ＝BM ；
（3）由△ACN ≌△BCM 得到CN ＝BM ，加上∠MCN ＝60°，则根据等边三角形的判定即可得到△MNC 为等边三角形；
（4）根据三角形内角和定理可得∠CAD ＋∠CDA ＝60°，而∠CAD ＝∠CBE ，则∠CBE ＋∠CDA ＝60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD ＝120°.
【详解】
（1）∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形，
∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝60°，∠DCE ＝60°，
∴∠ACE ＝60°，
∴∠ACD ＝∠BCE ＝120°，
在△ACD 和△BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD ＝BE ；故①正确；
（2）无法证明DE ME =，故②错误；
（3））∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
在△AC N 和△BCM 中，
ACN BCM CA CB
CAN CBM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△ACN≌△BCM（ASA ），
∴CN＝BM ，
而∠MCN＝60°，
∴△CMN 为等边三角形；故③正确；
（4）∵∠CAD＋∠CDA＝60°，
而∠CAD＝∠CBE，
∴∠CBE＋∠CDA＝60°，
∴∠BOD＝120°；故④正确；
故选：D
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 11．如果a 2＝b 2，那么a=b.
【解析】
【分析】
把原命题的题设与结论交换即可得解．
【详解】
“如果a=b ，那么a 2＝b 2”的逆命题是“如果a 2＝b 2，那么a=b”
故答案为：如果a 2＝b 2
，那么a=b.
【点睛】
此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义
12．10
【分析】
这种设计方案利用了“边角边”判断两个三角形全等，利用对应边相等，得AB=CD ．方案的操作性强，需要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施．
【详解】
解：在△APB 和△DPC 中
PC PA PB PD
APB CPD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠ ∴△APB≌△DPC（SAS ）；
∴AB=CD=10米（全等三角形的对应边相等）．
答：池塘两端的距离是10米．
【点睛】
本题考查证明全等三角形，熟练掌握三角形的性质即判定是解题关键.
13．5或8.
【解析】
【分析】
由于已知长度的边没有指明是等腰三角形的底边还是腰，因此要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【详解】
①当等腰三角形的底长为8时，腰长=（18-8）÷2=5；
则等腰三角形的三边长为8、5、5；5+5＞8，能构成三角形．
②当等腰三角形的腰长为8时，底长=18-2×8=2；
故答案为：5或8．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
14．4．
【解析】
根据△ABC ≌△ADE ，得到AE=AC ，由AB=7，AC=3，根据BE=AB-AE 即可解答．
【详解】
解：∵ABC ADE ∆∆≌，
∴AE AC =，
∵7,3AB AC ==，
∴734BE AB AE AB AC =-=-=-=．
故答案为：4．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质，解决本题的关键是熟记全等三角形的对应边相等．
15．如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.
【解析】
【分析】
命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】
命题可以改写为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点睛】
任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
16．AB=DC
【解析】
∵AC=BD ，BC=BC ，∴可添加AB=DC 利用SSS 判定△ABC ≌△DCB ．
17．60°
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和外角之间的关系进行计算．
【详解】
∵AB=BC=CD=DE=EF ，∠A=15°，
∴∠BCA=∠A=15°，
∴∠CBD=∠BDC=∠BCA+∠A=15°+15°=30°，
∴∠BCD=180°-（∠CBD+∠BDC ）=180°-60°=120°，
∴∠ECD=∠CED=180°-∠BCD-∠BCA=180°-120°-15°=45°，
∴∠CDE=180°-（∠ECD+∠CED ）=180°-90°=90°，
∴∠EDF=∠EFD=180°-∠CDE-∠BDC=180°-90°-30°=60°，
∴∠DEF=180°-（∠EDF+∠EFD ）=180°-120°=60°．
故答案为：60°．
【点睛】
主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
18．18.75︒.
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出1BA C ∠的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质求出21DA A ∠，及23EA A ∠的度数.
【详解】
在1CBA 中，30B ∠=︒，1A B CB =， ∴1180752
B BA
C ︒-∠∠==︒ 121A A A
D =，1BA C ∠是12A A D 的外角， ∴211117537.522
DA A BAC ∠=∠=⨯︒=︒，
同理可得23217518.752EA A ⎛⎫∠=⨯︒=︒ ⎪⎝⎭
. 故答案为：18.75︒.
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出1BA C ∠、21DA A ∠及23EA A ∠的度数.
19．
【解析】
【分析】
先用勾股定理证明△ADB 是直角三角形，再证明≌得到，即可求出AC 的长.
【详解】 ∵
， ∴
∵
∴
∴，即 ∴≌ ∴ 20．（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
【解析】
【分析】
根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面．
【详解】
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，正确；
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，正确；
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，错误；
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，正确.
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确根据命题的定义得出是解题关键．
21．证明见解析.
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理SAS可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应角相等”即可证得结论．
【详解】
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠B=∠C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角．
22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质得出∠B=∠DEF，易证BC=EF，由AAS即可证得△ABC≌△DEF；（2）由△ABC≌△DEF，得出∠ACB=∠F，即可得出结论．
【详解】
∕∕，
(1)∵AB DE
∴B DEF ∠=∠，
∵BE CF =，
∴BE EC CF EC +=+，即BC EF =，
在ABC ∆和DEF ∆中
A D ABC DEF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ABC DEF AAS ∆∆≌；
(2)由(1)知：ABC DEF ∆∆≌，
∴ACB F ∠=∠.
∴AC DF ∕∕.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．见解析
【解析】
【分析】
先画出与α∠相等的角，再画出a,b 的长，连接AC,则△ABC 为所求的三角形.
【详解】
如图，△ABC 为所求
.
【点睛】
此题主要考查尺规作图，解题的关键是熟知尺规作三角形的方法.
24．详见解析
【分析】
在△ABC中，AD是中线，得BD=CD，根据∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，得△BED≌△CFD，故BE=CF．
【详解】
证明：∵在△ABC中，AD是中线，
∴BD=CD，
∵CF⊥AD，BE⊥AD，
∴∠CFD＝∠BED＝90°，在△BED与△CFD中，
∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD，
∴BE=CF．
【点睛】
全等三角形的判定和性质.
25．（1）∠DBC =30°；（2）∠E=30°.
【解析】
【分析】
根据等边三角形性质求出∠ABC=60°，再根据BD是等边△ABC边AC上的高得出结论即可;(2)根据BD是等边△ABC边AC上的高，得出CD=AC，再根据CE=，得出
∠ACB=∠E+∠CDE=60°，进而求出结果.
【详解】
(1) ∵△ABC是等边三角形
∵∠ABC=60°
∵BD是等边△ABC边AC上的高
∴∠DBC=∠ABC=30°
（2）∵BD是等边△ABC边AC上的高
∵CE=
等边△ABC 中，AC=BC
∴CD=CE
∴∠E=∠CDE
∵等边△ABC 中，∠ACB=∠E+∠CDE=60°
∴∠E=30°
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质，等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解题的关键．
26．(1)CP=8-3t;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用CP CB BP =-即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得CP CQ =，列方程求解即可；
（3）根据全等三角形的性质可得若BPD CQP ∆≅∆，因为C B ∠=∠，3BP CQ t ==，所以只需BD CP =，列方程求出t 的值即可；
（4）若BPD CPQ ∆≅∆，因为C B ∠=∠，所以需满足BP CP =且BD CQ =，即833t t -=且35t =，没有符合条件的t 的值，故不存在.
【详解】
解：（1）83CP CB BP t =-=-；
（2）若点C 位于线段PQ 的垂直平分线上，
则CP CQ =，
即833t t -=， 解得43
t =. 所以存在，43t =
秒时点C 位于线段PQ 的垂直平分线上.
（3）若BPD CQP ∆≅∆，
因为C B ∠=∠，3BP CQ t ==，
所以只需BD CP =，
即835t -=，解得1t =，
所以存在1t =.
（4）若BPD CPQ ∆≅∆，
因为C B ∠=∠，
所以需满足BP CP =且BD CQ =，
即833t t -=且35t =，
所以t 不存在.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质及动点运动问题，对于运动型的问题，关键是用时间t 表示出相应的线段的长度，能根据题意列方程求解．。