红桥高三数学一模试卷答案

一、选择题
1. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）
A. f(x) = x^2
B. f(x) = 2^x
C. f(x) = log2(x)
D. f(x) = √x
答案：B
解析：对于选项A，函数f(x) = x^2在x<0时单调递减，在x>0时单调递增；对于选项C，函数f(x) = log2(x)在x=0时无定义，不满足题意；对于选项D，函数f(x) = √x在x<0时无定义，不满足题意。

只有选项B，函数f(x) = 2^x在定义域内单调递增。

2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则第10项a10的值为（）
A. 19
B. 21
C. 23
D. 25
答案：C
解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入a1=1，d=2，n=10，得到a10 = 1 + (10-1)×2 = 1 + 18 = 19。

3. 下列复数中，属于纯虚数的是（）
A. 2 + 3i
B. 4 - 5i
C. -3 + 4i
D. 1 - 2i
答案：C
解析：纯虚数的实部为0，虚部不为0。

选项A、B、D的实部不为0，不符合条件。

只有选项C的实部为-3，虚部为4，是纯虚数。

4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的值。

答案：f'(x) = 3x^2 - 3
解析：对函数f(x) = x^3 - 3x + 2求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

5. 已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，求第n项an的表达式。

答案：an = 3×2^(n-1)
解析：根据等比数列的通项公式an = a1×q^(n-1)，代入a1=3，q=2，得到an =
3×2^(n-1)。

二、填空题
6. 函数f(x) = |x - 2| + 3在x=2时的值为（）
答案：3
解析：将x=2代入函数f(x) = |x - 2| + 3，得到f(2) = |2 - 2| + 3 = 0 + 3 = 3。

7. 二项式(2x - 3)^5的展开式中，x^2的系数为（）
答案：-90
解析：根据二项式定理，展开式中x^2的系数为C(5,2)×(2)^3×(-3)^2 =
10×8×9 = -720，但要注意题目中是x^2，所以系数应为-720除以2的平方，即-90。

8. 三角形ABC的三个内角A、B、C的正弦值分别为1/2，√3/2，1/2，则角C的
大小为（）
答案：60°
解析：由正弦值可知，角A和角C的正弦值相同，因此角A和角C的大小相同。

又因为三角形的内角和为180°，所以角B的大小为180° - 60° - 60° = 60°。

三、解答题
9. 解不等式组：x + 2 > 3 且 x - 1 < 4
答案：1 < x < 5
解析：解第一个不等式x + 2 > 3，得到x > 1；解第二个不等式x - 1 < 4，得
到x < 5。

因此，不等式组的解集为1 < x < 5。

10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，求a、b、c的关系。

答案：a > 0，且 b^2 - 4ac = 0
解析：函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a > 0时，抛物线开口向上，有最小值。

最小值发生在抛物线的对称轴上，即x = -
b/(2a)。

因为题目中给出在x=1时取得最小值，所以有1 = -b/(2a)，即b = -2a。

又因为最小值存在，所以判别式b^2 - 4ac = 0。

11. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, 5)，求向量a和向量b的夹角θ。

答案：θ = arccos(1/5)
解析：向量a和向量b的夹角θ可以通过点积公式cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)求得。

向量a和向量b的点积为a·b = 2×4 + 3×5 = 8 + 15 = 23，向量a的
模为|a| = √(2^2 + 3^2) = √13，向量b的模为|b| = √(4^2 + 5^2) = √41。

因此，cosθ = 23 / (√13 × √41) = 23 / √533，θ = arccos(23 / √533) ≈ arccos(1/5)。