铁力市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

铁力市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 复数i ﹣1（i 是虚数单位）的虚部是（ ）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
2． 在二项式（x 3
﹣）n （n ∈N *）的展开式中，常数项为28，则n 的值为（ ） A ．12 B ．8
C ．6
D ．4
3． 设函数y=x 3与y=
（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4） 4． 设双曲线焦点在y
轴上，两条渐近线为，则该双曲线离心率e=（ ）
A ．5
B
．
C
．
D
．
5． 等差数列{a n }中，a 2=3，a 3+a 4=9 则a 1a 6的值为（ ） A ．14 B ．18
C ．21
D ．27
6． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95
S
S =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7． 方程
1x -=表示的曲线是（ ）
A ．一个圆
B ． 两个半圆
C ．两个圆
D ．半圆 8． 已知球的半径和圆柱体的底面半径都为1且体积相同，则圆柱的高为（
） A ．1
B ．
C ．2
D ．4
9． 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m ＞1，且a m ﹣1+a m+1﹣a m 2=0，S 2m ﹣1=38，则m 等于（ ） A ．38
B ．20
C
．10
D ．9
10
．已知向量=（1，2
），=
（m ，1），如果向量与平行，则m 的值为（
）
A ．
B ．
C ．2
D ．﹣2
11．已知直线x ﹣y+a=0与圆心为
C 的圆x 2+y
2+2x ﹣4
y+7=0相交于
A ，
B 两点，且
•
=4，则实数a
的值为（
） A
．
或﹣
B
．
或
3
C ．
或
5
D ．3
或5
12．命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ） A ．对任意实数x ，都有x ＞1
B ．不存在实数x ，使x ≤1
C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1
二、填空题
13．设函数f（x）=若f[f（a）]，则a的取值范围是．
14．如图所示是y=f（x）的导函数的图象，有下列四个命题：
①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；
②x=﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；
④x=2是f（x）的极小值点．
其中真命题为（填写所有真命题的序号）．
15．函数f（x）=的定义域是．
16．已知a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（x2﹣）6展开式中的常数项是．
17．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号．（写出所有真命题的序号）．
①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．
18．当时，4x＜log a x，则a的取值范围．
三、解答题
19．（14分）已知函数1
()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．
（1）求()g x 的极值； 3分
（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
恒成立，求a 的最小值； 5分
（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分
20．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中． （1）求11AC 与1B C 所成角的大小；
（2）若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求11AC 与
EF 所成角的大小．
21．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6，
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．
22．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．
23．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．
24．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则（1）求f（0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
铁力市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：由复数虚部的定义知，i﹣1的虚部是1，
故选A．
【点评】该题考查复数的基本概念，属基础题．
2．【答案】B
【解析】解：展开式通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x3n﹣4r，
则∵二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，
∴，
∴n=8，r=6．
故选：B．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：令f（x）=x3﹣，
∵f′（x）=3x2﹣ln=3x2+ln2＞0，
∴f（x）=x3﹣在R上单调递增；
又f（1）=1﹣=＞0，
f（0）=0﹣1=﹣1＜0，
∴f（x）=x3﹣的零点在（0，1），
∵函数y=x3与y=（）x的图象的交点为（x0，y0），
∴x0所在的区间是（0，1）．
故答案为：A．
4．【答案】C
【解析】解：∵双曲线焦点在y轴上，故两条渐近线为y=
±x，
又已知渐近线为，
∴
=，b=2a，
故双曲线离心率
e=
=
=
=，
故选C．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，
判断渐近线的斜率
=，是解题的关键．
5．【答案】A
【解析】解：由等差数列的通项公式可得，a3+a4=2a1+5d=9，a1+d=3
解方程可得，a1=2，d=1
∴a1a6=2×7=14
故选：A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题
6．【答案】A
【解析】1111]
试题分析：
19
95
15
53
9()
9
21
5()5
2
a a
S a
a a
S a
+
===
+
．故选A．111]
考点：等差数列的前项和．7．【答案】A
【解析】
试题分析：由方程
1
x-=
22
1
x-=，即22
(1)(1)1
x y
-++=，所
以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程.
8．【答案】B
【解析】解：设圆柱的高为h，则
V圆柱=π×1
2×
h=h，V球==，
∴h=．
故选：B．
9．【答案】C
【解析】解：根据等差数列的性质可得：a m﹣1+a m+1=2a m，
则a m﹣1+a m+1﹣a m2=a m（2﹣a m）=0，
解得：a m=0或a m=2，
若a m等于0，显然S2m﹣1=
=（2m﹣1）a m=38不成立，故有a m=2，
∴S2m﹣1=（2m﹣1）a m=4m﹣2=38，
解得m=10．
故选C
10．【答案】B
【解析】解：向量，向量与平行，
可得2m=﹣1．
解得m=﹣．
故选：B．
11．【答案】C
【解析】解：圆x2
+y2+2x﹣4y+7=0，可化为（x+）2+（y﹣2）2=8．
∵•=4，∴2•2cos∠ACB=4
∴cos∠ACB=，
∴∠ACB=60°
∴圆心到直线的距离为，
∴=，
∴a=或5．
故选：C．
12．【答案】C
【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C
二、填空题
13．【答案】或a=1．
【解析】解：当时，．
∵，由，解得：，所以；
当，f（a）=2（1﹣a），
∵0≤2（1﹣a）≤1，若，则，
分析可得a=1．
若，即，因为2[1﹣2（1﹣a）]=4a﹣2，
由，得：．
综上得：或a=1．
故答案为：或a=1．
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为中档题．
14．【答案】①
【解析】解：由图象得：f（x）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，
∴①f（x）在（﹣3，1）上是增函数，正确，
x=3是f（x）的极小值点，②④不正确；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，
故答案为：①．
15．【答案】{x|x＞2且x≠3}．
【解析】解：根据对数函数及分式有意义的条件可得
解可得，x＞2且x≠3
故答案为：{x|x ＞2且x ≠3}
16．【答案】 240 ．
【解析】解：a=
（
cosx ﹣sinx ）dx=（
sinx+cosx ）
=﹣1﹣1=﹣2，
则二项式（x 2﹣）6=（x 2+）6
展开始的通项公式为T r+1=
•2r •x 12﹣3r ，
令12﹣3r=0，求得r=4，可得二项式（x 2
﹣）6
展开式中的常数项是•24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查求定积分，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
17．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P 不一定是双曲线，这与AB 的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x 2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x 2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x 轴上，而椭圆的焦点在y 轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③． 故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
18．【答案】 ．
【解析】解：当
时，函数y=4x
的图象如下图所示
若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y=log a x 的图象恒在y=4x
的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log a x 的图象与y=4x 的图象交于（，2）点时，a=
故虚线所示的y=log a x 的图象对应的底数a 应满足
＜a ＜1
故答案为：（，1）
三、解答题
19．【答案】解：（1）e(1)
()e x
x g x -'=，令()0g x '=，得x = 1． 列表如下：
∵g （1） = 1，∴y =()g x 的极大值为1，无极小值． 3
分
（2）当1,0m a =<时，()ln 1f x x a x =--，(0,)x ∈+∞．
∵()0x a
f x x -'=>在[3,4]恒成立，∴()f x 在[3,4]上为增函数． 设1e ()()e x h x
g x x ==，∵12
e (1)()x x h x x
--'=> 0在[3,4]恒成立，
∴()h x 在[3,4]上为增函数． 设21x x >，则212111
()()()()
f x f x
g x g x -<-
等价于2121()()()()f x f x h x h x -<-， 即2211()()()()f x h x f x h x -<-．
设1e ()()()ln 1e x
u x f x h x x a x x
=-=---⋅，则u （x ）在[3,4]为减函数．
∴21e (1)()10e x a x u x x x -'=--⋅≤在（3，4）上恒成立． ∴11
e e x x a x x
---+
≥恒成立． 设11e ()e x x v x x x --=-+，∵11
2
e (1)()1e x x x v x x
---'=-+=121131e [()]24x x ---+，x ∈[3，4]，
∴1221133
e [()]e 1244
x x --+>>，∴()v x '< 0，()v x 为减函数．
∴()v x 在[3，4]上的最大值为v （3） = 3 -22
e 3
．
∴a ≥3 -22e 3，∴a 的最小值为3 -22
e 3
． 8分
（3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．
∵()2ln f x mx x m =--，(0,)x ∈+∞，
当0m =时，()2ln f x x =-在(0,e]为减函数，不合题意．
当0m ≠时，2()
()m x m f x x
-'=
，由题意知()f x 在(0,e]不单调， 所以20e m <<，即2
e
m >．①
此时()f x 在2(0,)m 上递减，在2
(,e)m
上递增，
∴(e)1f ≥，即(e)e 21f m m =--≥，解得3
e 1
m -≥．②
由①②，得3
e 1
m -≥．
∵1(0,e]∈，∴2
()(1)0f f m =≤成立．
下证存在2
(0,]t m
∈，使得()f t ≥1．
取e m t -=，先证e 2
m m
-<，即证2e 0m m ->．③
设()2e x w x x =-，则()2e 10x w x '=->在3
[,)e 1
+∞-时恒成立．
∴()w x 在3[,)e 1+∞-时为增函数．∴3
e ))01
((w x w ->≥，∴③成立．
再证()e m f -≥1．
∵e e 3()1e 1m m f m m m --+=>>-≥，∴3
e 1
m -≥
时，命题成立． 综上所述，m 的取值范围为3
[,)e 1
+∞-． 14分
20．【答案】（1）60︒；（2）90︒． 【解析】
试
题解析：（1）连接AC ，1AB ，由1111ABCD A BC D -是正方体，知11AAC C 为平行四边形，
所以11//AC AC ，从而1B C 与AC 所成的角就是11AC 与1B C 所成的角．
由11AB AC B C ==可知160B CA ∠=︒，
即11AC 与
BC 所成的角为60︒．
考点：异面直线的所成的角．
【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到异面直线所成角的概念、三角形中位线与正方形的性质、正方体的结构特征等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及空间想象能力，本题的解答中根据异面直线所成角的概念确定异面直线所成的角是解答的关键，属于中档试题． 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6得a 32=9a 42，所以q 2=
．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{a n}的通项式为a n=．
（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+，
∴f（1）=1，
∴切点为（1，1）
∵f′（x）=﹣1﹣=，
∴f′（1）=﹣2，
∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1），
即2x+y﹣3=0；
（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=，
若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，
则g（x）=ax2﹣x+2在（0，+∞）2个解，
故，
解得：0＜a ＜．
23．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cos θ，
从而当
时，PQ=50﹣50cos
=75．
即点P 距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sin θ，从而MQ=60﹣50sin θ，NQ=300﹣50sin θ．
又PQ=50﹣50cos θ，所以tan
，tan
．
从而tan ∠MPN=tan （∠NPQ ﹣∠MPQ ）=
=．
令g （θ）=．θ∈（0，π）
则
，θ∈（0，π）．
由g ′（θ）=0，得sin θ+cos θ﹣1=0，解得．
当时，g ′（θ）＞0，g （θ）为增函数；当x
时，g ′（θ）＜0，g （θ）为减函
数．
所以当θ=时，g （θ）有极大值，也是最大值．
因为
．所以
．
从而当g （θ）=tan ∠MNP 取得最大值时，∠MPN 取得最大值．
即当
时，∠MPN 取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．
24．【答案】
【解析】解：（1）在f （x+y ）=f （x ）+f （y ）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
即有k•3x＜﹣3x+9x+2，得，
又有，即有最小值2﹣1，
所以要使f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0恒成立，只要使即可，故k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．。