2019-2020版数学新设计同步北师大版必修五讲义：第一章 数列 2.1(二) Word版含答案

2.1 等差数列(二)
学习目标 1.掌握“判断数列是否为等差数列”常用的方法(重点)；2.掌握等差数列的通项公式、性质及其应用(难点).
预习教材P13－14，完成下列问题：
知识点一 等差数列的函数特性
由等差数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，可知其图像是直线y ＝dx ＋(a 1－d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d 是该直线的斜率.
当d >0时，{a n }为递增数列；当d <0时，{a n }为递减数列；当d ＝0时，{a n }为常数列.
【预习评价】
(1)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n ＋7.则该数列为单调递________数列.(填“增”或“减”)
(2)若等差数列a n ＝(2a －1)n ＋a 为单调递增数列，则a 的范围是________.
答案 (1)减 (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 知识点二 等差中项的概念
如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b
的等差中项，即A ＝a ＋b 2.
【预习评价】
(1)－4与8的等差中项为________.
(2)3与a 的等差中项为4，则a 的值为________.
答案 (1)2 (2)5
知识点三 等差数列的常用性质
(1)m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别地若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；
(2)若m ，p ，n 成等差数列，则a m ，a p ，a n 也成等差数列；
(3)若数列{a n }成等差数列，则a n ＝pn ＋q (p 、q ∈R )；
(4)若数列{a n }成等差数列，则数列{λa n ＋b }(λ，b 为常数)仍为等差数列；
(5){a n }和{b n }均为等差数列，则{a n ±b n }也是等差数列.
【预习评价】
(1)等差数列{a n }的公差为d ，则数列{ca n }(c 为常数且c ≠0)是( )
A .公差为d 的等差数列
B .公差为cd 的等差数列
C .不是等差数列
D .以上都不对
(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则a 2＋a 10等于( )
A .12
B.16
C.20
D.24
答案 (1)B (2)B
题型一 等差数列的性质及应用
【例1】 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.
(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值.
解 (1)法一 根据等差数列的通项公式，得
a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .
由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13.
∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.
法二 根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.
由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，
∴a 4＋a 8＝2a 6＝23.
(2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d (d >0)，
∵a 1＋a 3＝2a 2，∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，
∴a 2＝5，又a 1a 2a 3＝80，
∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16⇒d ＝3或d ＝－3(舍去)，
∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.
规律方法 等差数列性质的应用技巧
已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某项，对于这类问题，在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质，尤其要注意利用性质“若m ，n ，p ，k ∈N ＋，且m ＋n ＝p ＋k ，则有a m ＋a n ＝a p ＋a k ，其中a m ，a n ，a p ，a k 是数列中的项.特别地，当m ＋n ＝2p 时，有a m ＋a n ＝2a p ”，从而将问题解决.
【训练1】 在等差数列{a n }中：
(1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；
(2)a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列a 1＋a 20等于________. 解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.
(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78⇒(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54⇒a 1＋a 20＝18.
答案 (1)15 (2)18
【例2】 已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列. 证明 因为a ，b ，c 成等差数列，
所以2b ＝a ＋c ，
所以(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )，
所以b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列.
【迁移1】 本例条件不变，证明a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )成等差数列. 证明 因为a ，b ，c 成等差数列，
所以a ＋c ＝2b ，
所以a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )－2b 2(c ＋a )＝a 2c ＋c 2a ＋ab (a －2b )＋bc (c －2b )＝a 2c ＋c 2a －2abc ＝ac (a ＋c －2b )＝0，
所以a 2(b ＋c )＋c 2(a ＋b )＝2b 2(c ＋a )，
所以a 2(b ＋c )，b 2(c ＋a )，c 2(a ＋b )成等差数列.
【迁移2】 将条件改为“1a ，1b ，1c 成等差数列”，求证：b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 也
成等差数列.
证明 因为1a ，1b ，1c 成等差数列，所以2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c ).
因为b ＋c a ＋a ＋b c ＝c （b ＋c ）＋a （a ＋b ）ac ＝c 2＋a 2＋b （a ＋c ）ac ＝a 2＋c 2＋2ac ac
＝2（a ＋c ）2b （a ＋c ）
＝2（a ＋c ）b ， 所以b ＋c a ，a ＋c b ，a ＋b c 成等差数列.
【迁移3】 将例题条件改为“
1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b
成等差数列”，试证：a 2，b 2，c 2成等差数列.
证明 ∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 成等差数列，∴2c ＋a ＝1b ＋c ＋1a ＋b .∴2(b ＋c )·(a ＋b )＝(a ＋c )(a ＋c ＋2b )，∴2b 2＝a 2＋c 2，∴a 2，b 2，c 2成等差数列.
规律方法 判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列.
(2)通项法：a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{a n}是等差数列.
(3)等差中项法：2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{a n}是等差数列.
题型三 等差数列的实际应用
【例3】 甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个.
请根据提供的信息，求
(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
(2)到第6年这个县的养鸡业规模比第1年是扩大了还是缩小了？
(3)哪一年的规模最大？
解 由图知，从第1年到第6年平均每个鸡场出产的鸡数成等差数列，记为{a n }，公差为d 1，且a 1＝1，a 6＝2；从第1年到第6年养鸡场个数也成等差数列，记为{b n }，公差为d 2，且b 1＝30，b 6＝10.
第1年到第6年全县出产鸡的总只数记为数列{c n }，
则c n ＝a n b n .
(1)由a 1＝1，a 6＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
a 1＋5d 1＝2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
d 1＝0.2，
得a 2＝1.2； 由b 1＝30，b 6＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，
b 1＋5d 2＝10，
所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝30，
d 2＝－4，
得b 2＝26.
所以c 2＝a 2b 2＝1.2×26＝31.2.
所以第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只.
(2)c 6＝a 6b 6＝2×10＝20<c 1＝a 1b 1＝30，所以到第6年这个县的养鸡业规模比第1年缩小了.
(3)因为a n ＝1＋(n －1)×0.2＝0.2n ＋0.8，b n ＝30＋(n －1)×(－4)＝－4n ＋34(1≤n ≤6，n ∈N ＋)，
所以c n ＝a n b n ＝(0.2n ＋0.8)(－4n ＋34)＝－0.8n 2＋3.6n ＋27.2(1≤n ≤6，n ∈N ＋).
因为对称轴为n ＝94，所以当n ＝2时，c n 最大.
所以第2年的规模最大.
规律方法 (1)在实际问题中，若涉及与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.
(2)在利用数列方法解决问题时，一定要分清首项、项数等关键量.
【训练2】 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( )
A.1升
B.6766升
C.4744升
D.3733升
解析 设竹子自上而下各节的容积所成等差数列为{a n }，其公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，
d ＝766，
则a 5＝a 1＋4d ＝6766.故选B.。