北师大九年级数学上2.5 一元二次方程_根与系数的关系

( X1-X2)2 = ( __X_1+)X2 -2 4X1X2 = ___12 3、判断正误：
以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ）
4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 __2_和__-1。
例2： 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax2 bx c 0(a 0)
2.一元二次方程的求根公式是什么？
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
0 有两个不相等的实数根
b2 4ac 0 有两个相等的实数根
0 没有实数根
新课讲解
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和， 两根之积是与各项系数之间有什么关系？
解得：x1=23
x2=1
所以得到,x1+x2=
5 2
x1 •x2=
3 2
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
k 5
2
。
答：方程的另一个根是
3 5
，k=-7
练习：
（1）若关于x的方程2x2＋5x＋n＝0的一个根是 －2，求它的另一个根及n的值。
（2）若关于x的方程x2＋kx－6＝0的一个根是－ 2，求它的另一个根及k的值。
4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为
①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
①(x-2)(x-3)=0 ②(x+4)(x-7)=0
x2-5x+6=0 x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0
问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？
4. x1 x2 (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
例如：已知方程 12x2＝2x＋1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23
例1：已知 x1, x2 是方程 2x2 4x 1 0 的两个实数根，求 x12 x22 的值。
解： 根据根与系数的关系:
x1
x2
2, x1
x2
1 2
x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2
22 2( 1) 5 2
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2x2 3x 1 0
（3）、已知一元二次方程的3x2 9x m 0 • 的一个根为1 ，则方程的另一根为___， • m=___：
（4）、已知方程 3x2 19x m 0 的一个根是 1， 求它的另一个根和m的值。
例3：已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根
是 x1, x2且
x12
x
2 2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
3
1
x1 x2 2 , x1 x2 2
1∵x1 x2 2 x12 2x1x2 x22
3
2
2
1
Байду номын сангаас
13
2 2 4
2 1 1 x1 x2 3 1 3
x1 x2 x1x2 2 2
例1.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数.
③∵方程一根为0, ∴两根之积2m10 m 且 10, ∴ m时 ,1方程有一根为零.2
2
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
{ 即
m>0 m-1<0
∴0<m<1
总结规律：
两根均为负的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根均为正的条件： X1+X2
且X1X2
。
两根一正一负的条件： X1+X2
且X1X2
。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
即：
一正根，一负根 两个正根
两个负根
{ △＞0 X1X2＜0
{ { △≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件 时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？ 方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数
∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式.
3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初
中代数里，当且仅当 b2 4ac 0时，才
能应用根与系数的关系.
4、已知两根求作新的方程 以 x1 , x2为两根的一元二次方程
具备这个特征？
填写下表：
方程
两个根
x1 x2
x2 3x 4 0 4 1
两根 之和
两根 之积
a与b 之间 关系
x1 x2
x1
•
x2
b a
3 4 3
a与c 之间 关系
c
a
4
x2 5x 6 0 2 3 5
65
6
2x2 3x 1 0 1
2
1
3 2
1 3
2
2
1 2
猜想：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根
(二次项系数为1)为:
x2 (x1 x2 )x x1x2 0
一元二次方程的 根与系数的关系
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。
两根为 x1 、 x2 ， 且 x12 x22 3 ，求 k的值。
已知关于x的方程x2+(2k+1)+k2-2=0 的两根的平方和比两根之积的3倍少 10，求k的值.
例4：方程mx 2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
{ △= 4m2 4m(m 1) 0 m 1 x1x2 m 0
（3） x2 x1 x1 x2
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
X1+X2 = _4__ ,X1X2 = _1___，
X12+X22 = ( X1+X2)2 - _2_X_ 1X2= __1_4
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. x2 2x 15 0 2. x2 6x 4 0
3. 2x2 3x 5 0 4. 3x2 7x 0
5. 2x2 5
练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
1.x2 3x 1 0 2.3x2 2x 2
3.2x 2 3x 0 4.4x2 1 2x
2b 2a
b a
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b2 b2 4ac
4a2
4ac 4a2
c a
如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 ，那么：
b x1 x2 a
x1
•
x2
c a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
不解方程，求方程 2x2 3x 1 0 的 两根的平方和、倒数和。（解法如上）
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
1. 1 1 x1 x2
x1 x2
x1 x2
2. x1 x2 x12 x22
x2 x1
x1 x2
(x1 x2 )2 2x1x2 x1 x2
3.(x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1
4求k的值。
解：由根与系数的关系得
X1+X2=-k， 又 X12+ X2
X1×X2=k+2 2= 4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 当k=4时， △＜0
K2- 2(k+2）=4
当k=-2时，△＞0
K2-2k-8=0
∴ k=-2
练习：
（1）已知方程 kx2 (2k 1)x k 2 0 的