选修4-4-参数方程测试题及答案

参数方程
一、选择题 1．将参数方程⎩
⎨
⎧αα cos ＝－1
－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )．
A ．2x ＋y ＋1＝0
B ．x ＋2y ＋1＝0
C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)
D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)
2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )．
A ．⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧
21－21＝＝t
y t x
B ．⎪⎩
⎪⎨⎧t y t
x sin 1＝ sin ＝
C ．⎪⎩
⎪⎨⎧t y t
x tan 1＝ tan ＝
D ．⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧t t t
t y x －－e ＋e 2＝
2＋e ＝e
3．对于参数方程和⎩⎨⎧
30
sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧ 30sin 2＝　
30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )．
A ．是倾斜角为30º的平行线
B ．是倾斜角为30º的同一直线
C ．是倾斜角为150º的同一直线
D ．是过点(1，2)的相交直线
4．参数方程⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧)(θθ
θ sin ＋121＝2
sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )．
A ．抛物线的一部分，且过点(－1，2
1
) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21) C ．双曲线的一支，且过点(－1，2
1) D ．双曲线的一支，且过点(1，2
1) 5．直线⎩
⎨⎧t y t
x ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是
( )．
A ．(1，－2)或(3，－4)
B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2)
C ．(2－
22，－3＋22)或(2＋22，－3－2
2) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆⎩
⎨⎧θθ
＝ ＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )．
A ．相交不过圆心
B ．相交且过圆心
C ．相切
D ．相离
7．若点P (4，a )在曲线⎪⎩⎪
⎨⎧t
y t
x 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )．
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8． 已知点(m ，n )在曲线⎪⎩⎪⎨
⎧α
αsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线⎩⎨
⎧ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )．
Ａ．12
B ．15
C ．24
D ．30
9．直线y ＝k x ＋2与曲线⎪⎩
⎪
⎨⎧ααsin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．
A ．k ∈[－21，2
1]
B ．k ∈(－∞，－2
1]∪［2
1，＋∞) C ．k ∈[－
22，2
2]
D ．k ∈(－∞，－
22]∪［2
2
，＋∞) 10．过椭圆C ：⎪⎩
⎪⎨⎧θθ
sin 3＝ 2cos y x ＝(θ 为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，
|MF |＝m ，|NF |＝n ，则
n
m 1
＋1的值为( )． A ．3
2
B ．3
4
C ．3
8
D ．不能确定
二、填空题
11． 弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧2
2
1 sin ＝ cos ＝00gt －t v y t v x αα(t 为参数，a ，v 0，g 为常数)，
当炮弹达到最高点时，炮弹飞行的水平距离为 ．
12．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧
20
cos ＝－3
＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角
为 ．
13．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧t
y t x 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，
C 2，C 3围成的图形的面积为 ．
14．直线⎩⎨
⎧θθsin ＝ cos ＝t y t x 与圆⎩
⎨⎧αα
sin 2 ＝ cos 2＋4＝y x 相切，则该直线的倾斜角＝________．
15．变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨
⎧t
y t x －1＝＝2(t 为参数)，则代数式
2
＋＋x y 2
的取值范围是 ． 16．若动点(x ，y )在曲线1＝　
＋422
2b
y x (0＜b ≤4)上变化，则x 2＋2y 的最大值为 ．
三．解答题
17．已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为3
4
． (1)求直线l 1的参数方程；
(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 18．已知点P (x ，y )为曲线C ：⎩
⎨
⎧θθθ
θ － 4sin ＋ 3sin 3cos 4cos y ＝x ＝(θ 为参数)上动点，
若不等式x ＋y ＋m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．
19．经过点M (2，1)作直线交曲线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧t t y t
t x 1－
＝1＋＝ (t 是参数)于A ，B 两点，若点M 为线
段AB 的中点，求直线AB 的方程．
20．已知直线l ：⎪⎩
⎪⎨⎧θθ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )，曲线C ：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参
数)．
(1)若l 与C 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围； (2)若l 与C 有两个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．
一、选择题
1．D 解析：将cos α＝－y 代入x ＝2cos α－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0， 又因为－1≤cos α≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 2．C 解析：由xy ＝1知x ≠0且x ∈R ，又A 中
x ＝2
1t =t ≥0；
B 中x ＝sin t ∈[－1，1]；D 中x ＝2
＋－t
t e e ≥
2
＋－t
t e e ＝1；故排除A ，B ，D ． 3．C 解析：
31＝－1－2－x y ，3
1
＝－
1－2－x y ． 4．B 解析：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧)(θθ
θ sin ＋121＝2
sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)，
由参数方程得x 2＝1＋sin θ，代入y 得x 2＝2y 为抛物线．又x ≥0，故选B ． 5．C 解析：由(－t )2＋(t )2＝12，t ＝±
2
2
． 6．C 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0，0)到直线x cos α＋y sin α－2＝0的距离 d =
1
2
＝2等于半径，所以直线与圆相切． 7．C 抛物线为y 2＝8x ，准线为x ＝－2，|PF |为P (4，a )到准线x ＝－2的距离，即6.
8．A 解析：(利用圆的参数方程)⎩⎨⎧⎩⎨
⎧β
βααsin 24＝ cos 24＝ sin 6＝ cos 6＝y x n m ，， 则mx ＋ny ＝12(cos α cos β＋sin α sin β)＝12cos (α－β)，且－1≤cos (α－β)≤1.
9．A 解析：曲线的普通方程为1 ＝3
＋42
2y x ．与直线方程联立，得一元二次方程．令
判别式Δ≤0，得－21
≤k ≤2
1．
10．B 解析：曲线C 为椭圆 ，1 ＝3
＋42
2y x 右焦点F (1，0)，
设l ：⎩
⎨
⎧θθ
sin ＝ cos ＝1＋t y t x ，代入椭圆方程得：
(3＋sin 2θ)t 2＋6tcos θ －9＝0，t 1t 2＝－
θ
2
sin ＋ 39，t 1＋t 2＝－
θ
θ2
sin ＋ 3cos 6，
∴3
4＝4－＋＝－＝1＋1＝1＋12121221212121|t t |t t t t |t t ||
t t ||t ||t |n m )(． 二、填空题
11．g v ααcos sin 20．解析：由y ＝v 0t sin α－2
1gt 2知，
当炮弹达到最高点时，t ＝g v sin 0α，代入得x ＝v 0cos αg
v
sin 0α＝g v ααcos sin 20．
12．110º．解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 20 cos ＝－3
＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)即⎪⎩⎪⎨⎧)(
)( 70sin ＝70 cos ＋ 3＝－t y －t x (t 为参数)，
所以倾斜角α＝－70º＋180º＝110º．
13．8π
．解析：C 3的曲线是圆x 2＋y 2＝1在第一象
限的部分(含端点)，
则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆x 2＋y 2
＝1在第一象限部分的2
1
，面积是
8
π． 14．6π或6
5π
．直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，
作出图形，相切时，易知倾斜角为
6π或6
5π
． 15．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡232
，．
1
(第13题)
解析：参数方程⎪⎩⎪⎨⎧t y t x －1＝＝2(t 为参数)化普通方程为x 2
＋42y ＝1(0≤x ≤1，0≤y
≤2)，代数式2
＋2＋x y 表示过点(－2，－2)与椭圆x 2
＋42y ＝1在第一象限及端点上任意
一点连线的斜率，由图可知，k max ＝k PB ＝2，k min ＝k P A ＝3
2
．
16．4
＋162b ．
解析：⎩⎨
⎧θ
θ
sin ＝ 2cos ＝b y x ，4cos 2θ＋2b sin θ ＝－4sin 2θ＋2b sin θ ＋4，令t ＝sin θ(－1≤t
≤1)，有x 2
＋2y ＝－4t 2
＋2b ＋4．当t ＝4
b 时，x 2
＋2y 有最大值为4＋162b ．
三、解答题
17．(1)解：设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝3
4
，
所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧t
y t
x 5
4＝53＋＝2(t 为参数)．
(2)解：将⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧t
y t x 5
4＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－
1，－4)，所以|PQ |＝5．
18．解：x ＋y ＋m ＞0，即7sin θ ＋cos θ ＋m ＞0，m ＞－(7sin θ ＋cos θ )，即m ＞－52sin (θ ＋ϕ )．而－52sin (θ ＋ϕ )的最大值为52．所以m ＞52，即m ∈(52，+∞)．
0)
(第15题)
19．解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧②
1－＝①1＋＝ t t y t t x
由①2－②2得x 2－y 2＝4 ③，该曲线为双曲线．
设所求直线的参数方程为⎩
⎨
⎧θθ
sin ＋ ＋ 2 t y ＝t x ＝1cos (t 为参数)，代入③得：
(cos 2θ－sin 2θ )t 2＋(4cos θ－2sin θ )t －1＝0， t 1＋t 2＝－
θ
θθθ22sin cos 2sin cos 4－－，
由点M (2，1)为A ，B 的中点知t 1＋t 2＝0，即4cos θ－2sin θ ＝0， 所以tan θ＝2，
因为θ 是直线的倾斜角， 所以k ＝2，
所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 20．(1)解：直线l ：⎪⎩⎪⎨
⎧θ
θ sin ＋ － ＋ ＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1
(t 为参数，θ∈R )经过点(1＋2，－1)，
曲线C ：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)表示圆
x 2+y 2
=1的一部分(如图所示)设直线的方程l ：
y ＋1＝k (x －1－2)．
当l 与圆相切时，
圆心O (0，0)到l 的距离d ＝1
＋ 1
＋2＋12
k k )(＝1，解得k ＝－1或k ＝0．
又k PC ＝－
1＋ 22
＜k P A ＝－2
1，k PB ＝－2＋21， 如图所示，当l 与C 有公共点时，应有－1≤k ≤k P A 或者k PB ≤k ＜k PD ＝0， 即k ∈⎥
⎦⎤⎢
⎣
⎡21－1 ，－∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡02＋21－ ，．
(2)由图可知，若l 与C 有两个公共点时，应有－1＜k ＜k PC ，即k ∈⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛
＋122
－ 1，
－．。