2018版高考数学专题1集合与函数1.2.5函数的定义域和值域学案湘教版必修120180426318

1．2.5函数的定义域和值域[学习目标] 1.理解函数的定义域和值域.2.会求一些常见函数的定义域和值域．
[知识链接]
1．已知函数解析式求定义域时应注意从哪些方面使表达式有意义？
答案应注意以下几点：
(1)分式的分母不为零；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3)y＝x0要求x≠0.
2．求出函数定义域后应写成什么形式？
答案定义域应写成集合或区间的形式．
[预习导引]
1．函数的定义域
(1)实际问题中的函数，它的自变量的值不但要使函数表达式有意义，还受到实际问题的限制，要符合实际情形．
(2)函数的定义域就是使函数的表达式有意义的自变量的变化范围．
2．函数的值域
(1)函数的值域是指函数值的集合．
k
(2)常数函数y＝c的值域是{c}，一次函数y＝ax＋b的值域是R，反比例函数y＝的值域是
x
{y|y∈R，y≠0}.
1
要点一求函数的定义域
例1求下列函数的定义域：
1
(1)y＝x＋1＋；
2－x
x－1
(2)y＝.
x＋1
解(1)由Error!
解得Error!
1
所以函数y＝x＋1＋的定义域是
2－x
{x|x≥－1，且x≠2}．
(2)要使函数有意义，则Error!
解得Error!即x≥1.
x－1
所以函数y＝的定义域为[1，＋∞)．
x＋1
规律方法求定义域的实质就是求使函数表达式有意义的自变量x的取值范围．常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f(x)是由几个部分构成的，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合．
跟踪演练1求下列函数的定义域：
1－x2
(1)f(x)＝；
1＋x
(2)f(x)＝x－1·x＋1.
解(1)依题意有1＋x≠0，
∴x≠－1，即定义域为{x|x≠－1}．
(2)依题意有Error!
∴x≥1，即定义域为{x|x≥1}．
要点二求函数的值域
2
例2求下列函数的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x＋1；
x
(3)y＝；
x＋1
1－x2
(4)y＝；
1＋x2
(5)y＝5＋4x－x2.
解(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1中计算得：
函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)∵x≥0，∴x＋1≥1，即
所求函数的值域为[1，＋∞)．
1 (3)∵
≠0，
x＋1
x 1
∴y＝＝1－≠1.
x＋1 x＋1
∴所求函数的值域是{y|y∈R，且y≠1}．
1－x2 2
(4)∵y＝＝－1＋，
1＋x2 1＋x2
∴函数的定义域为R，
2
∵x2＋1≥1.∴0＜≤2，∴y∈(－1,1]．
1＋x2
∴所求函数的值域为(－1,1]．
(5)∵y＝5＋4x－x2＝－x－22＋9，
且0≤－(x－2)2＋9≤9.
∴所求函数的值域为[0,3]．
规律方法求函数的值域问题首先必须明确两点：一是对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是集合C＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则是确定函数值域的依据．
跟踪演练2求下列函数的值域：
1 2x－5
(1)y＝；(2)y＝；
x2＋2 x＋1
1－x
(3)y＝－x2＋2x＋1；(4)y＝.
1＋x
解(1)∵x2＋2≥2，
1 1
∴0＜≤，
x2＋2 2
1 1
∴函数y＝的值域是(0，]．
x2＋2 2
3
2x－5 7
(2)∵y＝＝－＋2，∴y≠2，
x＋1 x＋1
2x－5
∴y＝的值域是{y|y∈R，且y≠2}．
x＋1
(3)y＝－x2＋2x＋1＝2－x－12，
∵0≤2－(x－1)2≤2，
∴0≤2－x－12≤2，
∴y＝－x2＋2x＋1的值域是[0，2]．
1－x1－y
(4)由y＝得，x＝，∴y≠－1.
1＋x y＋1
1－x
∴函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠－1}.
1＋x
1．函数y＝1－x＋x的定义域是()
A．{x|x≤1}B．{x|x≥0}
C．{x|x≥1，或x≤0}D．{x|0≤x≤1}
答案 D
解析Error!⇒0≤x≤1.
1
2．函数y＝x－在[1,2]上的最大值为()
x
3
A．0 B. C．2D．3
2
答案 B
1
解析y＝x－在[1,2]上是递增函数，
x
1 3
∴y max＝2－＝.
2 2
3
3．函数y＝2－的值域是()
x
A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(2，＋∞)
答案 B
3 3
解析当x≠0时，≠0,2－≠2，故值域是(－∞，2)∪(2，＋∞)，选B.
x x
4．函数f(x)＝(2x－4)0的定义域是()
A．R B．(2，＋∞)
4
C．{x|x≠2}D．{x|x≠4}
答案 C
解析依题意知2x－4≠0，x≠2，所以定义域是{x|x≠2}，选C.
x＋1
5．函数y＝的定义域为________________．
x
答案{x|x≥－1，且x≠0}
x＋1 解析要使函
数y＝有意义须Error!
x
即Error!∴定义域为{x|x≥－1，且x≠0}．
1.求函数值域，应理解两点：一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域是指集合B＝{y|y＝f(x)，x∈A}；二是函数的定义域，对应法则及函数的性质是确定值域的依据．目前常用的方法有：图象法、配方法、分离常数法、换元法等．
2．求函数的定义域一般有三类问题：
(1)若已知函数解析式比较复杂，求定义域时通常根据各种条件列不等式组求解．
(2)由y＝f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域问题，实际上是已知中间变量u＝g(x)
的值域，求自变量x的取值范围问题．
(3)若是实际问题除应考虑解析式本身有意义外，还应使实际问题有意义．
一、基础达标
1．函数f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为()
A．{1}B．{－1}
C．{(－1,1)} D．{－1,1}
答案 D
解析由Error!得x＝±1.
2．函数y＝x＋1的值域为()
A．[－1，＋∞)B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
答案 B
解析∵x＋1≥0，∴y＝x＋1≥0.
2x
3．函数y＝的值域是()
3x－4
4 4 2 2
A．(－∞，)∪(，＋∞)B．(－∞，)∪(，＋∞)
3 3 3 3
5
2 4
C．R D．(－∞，)∪(，＋∞)
3 3
答案 B
2 8 8
2x 3 2 3
33x－4＋
解析∵y＝＝＝＋，
3x－4 3x－4 3 3x－4
2
∴y≠.
3
4．已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系式为y＝10－2x，此函数的定义域为()
A．R B．{x|x＞0}
5
C．{x|0＜x＜5} D．{x| ＜x＜5}
2
答案 D
解析△ABC的底边长显然大于0，即y＝10－2x＞0，
∴x＜5，又两边之和大于第三边，∴2x＞10－2x，
5 5
∴x＞，∴此函数的定义域为{x| ＜x＜5}．
2 2
x＋4
5．y＝的定义域为________________．
x＋2
答案{x|x≥－4，且x≠－2}
解析依题意知Error!∴x≥－4且x≠－2.
x＋5
6．若f(x)＝，则其值域为________．
3x＋1
1
答案{y|y∈R，且y≠}
3
1 14
33x＋1＋
3 1 1
4 1
解析f(x)＝＝＋≠.
3x＋1 3
3 33x＋1
k
7．若函数y＝(k＞0)在[2,4]上的最小值为5，则k的值为________．
x
答案20
k k
解析因为k＞0，所以函数y＝在[2,4]上是递减函数，所以当x＝4时，y＝最小，由题意
x 4 k
知，＝5，k＝20.
4
二、能力提升
1
8．函数y＝的值域是()
2＋3x2
6
1 1
A．(0，] B．(0，)
2 2
1
C．(0，＋∞)D．(－∞，]
2
答案 A
1 1
解析∵x2≥0，∴3x2≥0,2＋3x2≥2,0＜≤.
2＋3x2 2
1 ∴值域为
(0，]，选A.
2
9．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f(x＋a)的定义域为()
A．[2a，a＋b] B．[0，b－a]
C．[a，b] D．无法确定
答案 B
解析由a≤x＋a≤b得0≤x≤b－a，
∴f(x＋a)的定义域为[0，b－a]．
10．已知函数y＝mx2－6mx＋m＋8的定义域为R，则实数m的取值范围为________．
答案[0,1]
解析依题意，当x∈R时，mx2－6mx＋m＋8≥0恒成立．当m＝0时，x∈R；当m≠0时，Error!即Error!
解之得0＜m≤1，故0≤m≤1.
11．求下列函数的值域：
(1)y＝2－－x2＋4x；
x2＋2
(2)y＝；
x2－3
(3)y＝x2－3x＋16＋x－x2(x∈{0,1,2,3})．
解(1)∵y＝2－4－x－22，
而0≤4－x－22≤2，
∴0≤y≤2，故所求的值域为[0,2]．
x2＋2 3y＋2 3y＋2
(2)由y＝，得x2＝，而x2≥0，∴≥0，等价于(y－1)(3y＋2)≥0，且y－
x2－3 y－1 y－1
2 2
1≠0，解得y＞1或y≤－.故所求的值域为(－∞，－]∪(1，＋∞)．
3 3
(3)∵x＝0时，y＝4；x＝1时，y＝2；
x＝2时，y＝14－2；x＝3时，y＝10.
故所求的值域为{4,2，14－2，10}．
三、探究与创新
12．用长为30的铁丝弯成下部为矩形，上部为等边三角形的框架．若等边三角形的边长为x，
7
求此框架面积y与x的函数解析式，并写出其定义域．
3 1 3 解
由于等边三角形的边长为x，由勾股定理可求得其高为x，于是其面积y1＝·x·x＝
2 2 2
3
x2.
4
30－3x 3
又下部矩形的一边长为x，另一边长为＝15－x，
2 2
3 所
以其面积y2＝(15－x)x.
2
3 3 于
是框架面积y＝y 1＋y2＝x2＋(15－x)x
4 2
3－6
＝x2＋15x.
4
依题意知Error!所以0＜x＜10.
即该函数的定义域是(0,10)．
x＋3
13．若f(x)＝2－的定义域为A，g(x)＝x－a－12a－x(a＜1)的定义域为B，当B⊆A x＋1
时，求实数a的取值范围．
x＋3 x－1
解由2－≥0，得≥0，
x＋1 x＋1
∴Error!或Error!
∴Error!或Error!
∴f(x)的定义域A＝{x|x≥1，或x＜－1}
∵a＜1，∴a＋1＞2a. 由(x－a－1)(2a－
x)≥0，得
[x－(a＋1)](x－2a)≤0，
∴2a≤x≤a＋1.
即g(x)的定义域为B＝{x|2a≤x≤a＋1}．
又∵B⊆A，∴a＋1＜－1或2a≥1.
1
∴a＜－2或a≥.
2
1 又∵a＜
1.∴a＜－2或≤a＜1.
2
8
1 即实
数a的取值范围是(－∞，－2)∪[，1).
2
9。