西工大附中高高三数学第5次模拟考试(理科)

西工大附中高2008届第5次模拟考试2008.3.12
数学试题（理科）
一、选择题：（每小题5分，共12⨯5＝60分）
1、两集合{}1,,M x x y x y R =+=∈，{}
221,,N y x y x y R =+=∈则M N ⋂＝（ ）
（A ）{}(0,1);(1,0) （B ）{}0,1 （C ）∅ （D ）[]1,1-
2、若110b a <<，则下列结论不正确的是（ ）
（A ）22a b < （B ）2ab b < （C ）a b a b +>+ （D ）2a b a
b +>
3、设复数1212,1z i z i =+=+，则复数12
z
z z =在复平面内所对应的点位于（ ）
（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
4、在ABC ∆中，若对任意k R ∈，有BA k BC AC -≥，则ABC ∆一定是（ ） （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定
5、若
)1n
x
的展开式中的第5项为常数项，则展开式中系数最大的项是（ ）
（A ）第8或10项 （B ）第9项 （C ）第8项 （D ）第7或9项
6、地球半径为R ，在北纬30的圆上，A 点经度为东经120，B 点的经度为西经60，则,A B 两点的球面距离为（ ）
（A)3R π R (C)12R
π (D)23R π
7、已知函数()cos()f x A x ωφ=+(0)A ≠，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ）条件.
(A)充要条件 (B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)非充分非必要条件
8、三个不相等的实数1a b 、
、依次成等差数列，且221b a 、、依次成等比数列，则 11a b
+的值是（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ）2或－2 （D ）不确定
9、已知四面体ABCD 中，2,1,AB CD AB ==与CD 间的距离与夹角分别为3与30，则四面体ABCD 的体积为（ ）
（A ）12 （B ）1 （C ）2 （D
10、定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是
π，且当20,x π⎡⎤∈⎣⎦时()sin f x x =，则53
()f π=（ ） (A)12- (B)12
(C)
11、复数z
满足2z i z -++=z 的最小值时（ ） （
A) (B)2 (C)1
(D)
12、若点(3,1)p -在双曲线
222
2
1(0,0)y x a b a b =>>-
的左准线上，过点p 且方向为
(2,5)a =的光线，经直线2y =-反射后通过双曲线的左焦点，则这个双曲线的离心率为（ ）
(A)
(D)43
二、填空题：（每小题4分，共16分）
13、函数131
()2x x f x a x b --⎧⎪=⎨⎪+⎩
(1)(1)(1)x x x <=>在R 上连续，则a = ，b = 。

14、已知椭圆2
2
891y x a +=+的离心率为12，则a = 。

15、已知55015(1)x a a x a x +=+++，则123452345a a a a a -+-+= 。

16、设集合A={(x,y)|x ，y ，1-x-y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域（不
含边界的阴影部分）的面积是 。

三、解答题：（本题满分74分） 17、（本题满分12分）已知向量(1tan ,1)a x =-，(1sin 2cos2,1)b x x =++-，记
()f x a b =⋅.
（1）求()f x 的定义域、值域；
（2）若224
()()f f ααπ-=+()20,πα∈，求α.
18、（本题满分12分）编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的个数为ξ.
（1）求随机变量ξ的概率分布;
（2）求随机变量ξ的数学期望和方差. 19、（本题满分12分）如图四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，,E F 分别是,AB PD 的中点.
（1）求证：AF //平面PEC ；
（2）若2,AD CD ==P CD B --为45，求F 到平面PEC 的距离.
20、（本题满分12分）已知函数53()1f x x ax bx =+++，仅当1,1x x =-=时取得极值且极大值比极小值大4，求,a b 的值.
21、（本题满分12分）已知椭圆1C ：2
2
22
1y x a
b +
=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，
右顶点为A ，M 为1C 上任一点，且12MF MF ⋅的最小值为2
34
a . （1）求椭圆1C 的离心率；
（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的顶点为焦点，焦点为顶点。

P 为第一象限内2C 上 的任意一点，问是否存在正常数m ，使得11PAF m PF A ∠=∠恒成立？证明你的结论.
22、（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：
(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥；
(2)(1)3f =
(3)若120,0x x ≥≥且121x x +≤，则有1212()()()2f x x f x f x +≥+-. (I)求(0)f 的值；
(II)求()f x 的最大值；
(III)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*
12(3),n n S a n N =--∈.
求证：1231
1
2332()()()()2n n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.
西工大附中高2008届第5次模拟考试
数学试题答案（理科）答案
一、选择题：DCABB;DABAD;AA 二、填空题：（13）3,1a b == （14）4a =或54a =- （15）0 （16）18 三、解答题：
（17）（I ）
2cos sin cos 22()(1tan )(1sin 2cos 2)1(2cos 2sin cos )1
2(cos sin )12cos 21,x x
x
f x x x x x x x x x x -=-++-=
+-=--=-
∴定义域为：{}2,x x k k Z ππ≠+∈
值域为：(]3,1- （6分）
（II ）2242()()2cos 2cos()2(cos sin )
f f ααππαααα-+=-+=+
4s i n (6πα=+ （8分）
4sin()π
α∴+=
()324440(,)
ππππ
αα∈∴+∈ 43
ππα∴+=或243ππα+= 12πα=或512
πα= （12分） （18）（I ）
（6分）
（II ）1,1E D ξξ== （12分） （19）（I ）略 （5分） （II ）AF //平面PEC
∴F 到平面PEC 的距离转化为
A 到平面PEC 的距离，故设A 到平面PEC 的距离为h
AEC PEC S S ∆∆==P AEC A PEC V V --=1h ∴= （12分）
（20）解：42'()53f x x ax b =++且1x =±是极值点
∴530a b ++= （2分）
则'422()5353(553)(1)(1)f x x ax a x a x x =+--=++-+ （4分） 仅有极值1x =±∴530a +≥且1x =-为极大值点，1x =为极小值点 （8分） 故530
(1)(1)4530
a f f a
b +≥⎧⎪
--=⎨⎪++=⎩
12a b =-⎧⇒⎨
=-⎩ （12分）
（21）（I ）解：设1MF x =（a c x a c -≤≤+）则22MF a x =-， 则1MF ⋅2MF 22(2)()x a x x a a =-=--+
∴当x a c =±时，1MF ⋅2MF 的最小值为22a c -
由已知知1MF ⋅2MF 的最小值为234a
12e ∴= （5分） （II ）假设存在，由已知知椭圆的方程为
2
2
431y x c c +=，
双曲线的方程为2
2
22
31y x
c c -= 由特殊位置PA x ⊥轴猜知2m = （8分）
现给于证明：设11(,)P x y 则2
2
11
2
231y x c c -= 要证112PAF PF A ∠=∠11tan tan(2)PAF PF A ⇐∠=∠ 111
111222
11222
331(
)
y x c
y x c
y x c
x y c +-+⇐
=-⇐-=-显然成立。

（12分）
（22）、解：（I ）令120x x ==，由(3),则(0)2(0)2,(0)2f f f ≥-∴≤
由对任意[]0,1x ∈，总有()2,(0)2f x f ≥∴= （2分） （II ）任意[]12,0,1x x ∈且12x x <，则212101,()2x x f x x <-≤∴-≥
22112111()()()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+≥-+-≥
max ()(1)3f x f ∴== （6分）
(III)*
12(3)()n n S a n N =--∈1112(3)(2)n n S a n --∴=--≥ 1111133(2),
10n n n n a a n a a --∴=≥=≠∴= (8分) 1
1
1112113333333()(
)()()()23()4n n n n n n n
n f a f f f f f -∴==+≥+-≥-+ 1
111
43
333()()n n f f -∴≤+，即11433
())(n n f a f a +≤+。

2211221
14144144441
12133333333333()()()()2n n n n n n n f a f a f a f a ------∴≤+≤++≤≤+++++=+ 故1
13()2n n f a -≤+ 1213
1
3
1()1()()()2n n
f a f a f a n --∴++
+
≤+即原式成立。

（14分）。