课件8：2.5 指数与指数函数

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4．有理数指数幂的运算性质
(1)ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
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2.5 指数与指数函数
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(3)对可化为a2x＋b·ax＋c＝0或a2x＋b·ax＋c≥0(a2x＋b·ax＋c≤0)的 指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新 元”的范围.
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1个重要关系——分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互 化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．
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时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？
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[解析] (1)方法一：当 a>1 时，函数 y＝ax－1a在 R 上单调递
增，而当 x＝0 时，y＝a0－1a＝1－1a，因为 a>1，所以 0<1a<1，故
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[填一填] (1)函数 f(x)＝ 1－2x的定义域为 (－∞，0]，值域
为 [0,1) ．
(2)若 4x＋2x－6>0，则 x 的取值范围为(1，＋∞) ．
考点 1 指数与指数运算
1.根式的概念
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2.两个重要公式
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n (1)
an＝a|a，|，
n＝2k－1k∈Z， n＝2kk∈Z.
n (2)(
a)n＝
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(2)函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一 个单位长度后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方 得到的，函数图象如图所示．
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方法二：当 x＝－1 时，y＝1a－1a＝0，所以函数 y＝ax－1a的
图象必过定点(－1,0)，结合选项可知选 D.
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提示：图中直线 x＝1 与它们图象交点的纵坐标即为它们各
自底数的值，即 c1>d1>1>a1>b1，所以，c>d>1>a>b，即无论在 y
轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．
[解] ＋53－1＝－45.
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指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
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2个必知应用——指数函数单调性的应用 (1)比较指数式的大小 若两个指数式的底数相同、指数不同，则根据底数与1的大小， 利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系判断相应函数 值的大小；若两个指数式的底数不同、指数也不同，则常借助 1,0等中间量进行比较．
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考向一 指数化简与求值
例 1 [2014·杭州段考]化简下列各式：
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(3)若 2x≤(12)x－2，则 y＝(12)x2－2x 的值域为 (0,2] ．
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02突破3个热点考向
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当 k<0 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象无交点，即方
程无解；
当 k＝0 或 k≥1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有唯一
的交点，所以方程有一解；
当 0<k<1 时，直线 y＝k 与函数 y＝|3x－1|的图象有两个不同
交点，所以方程有两解. [答案] (1)D (2)见解析
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考点 2 指数函数及其性质
1.指数函数的概念 函数 y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，
函数的定义域是 R，a 是底数．
说明：形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函
数叫做指数型函数．
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[填一填] (1) 3－π 2＝π－3 ；3 －5 －35＝
.
(2)若 a2－2a＋1＝1－a，则 a 的取值范围是(－∞，1．]
(3)计算：
614－ 3 338＋3 0.125＝
3 2.
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01抓住2个必备考点
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2．指数函数的图象和性质
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[想一想] 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系如何？你能得到什么 规律？
0<1－1a<1，即函数图象与 y 轴的交点在坐标原点和(0,1)之间，显
然可排除 A、B 两项；当 0<a<1 时，函数 y＝ax－1a在 R 上单调递
减，而当 x＝0 时，y＝a0－1a＝a－a 1<0，即函数图象与 y 轴交点在
x 轴下方，故可排除 C 项．综上选 D.
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指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点： (1，a)，(0,1)，－1，1a. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数 函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． (3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数 型函数图象数形结合求解．
5运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母
又含有负指数，形式力求统一.
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[学以致用]
1．化简下列各式(其中各字母均为正数)：
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a
(a必须使n a有意义)．
3．分数指数幂的意义
(1)a
m n
＝
n
am
1
(a>0，m1 、n∈N*，n>1)；
－
(2)a
m n
＝
m
an
＝ n am (a>0，m、n∈N*，n>1)．
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[奇思妙想] 本例(1)中 B、C 改为下图，A、D 不变，则函
数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是？
解：C 由 f(1)＝0 可知选 C.
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(2)解指数不等式 形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论，而形如ax>b的不 等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式．
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例2
(1)[2012·四川高考]函数y＝ax－
1 a
(a>0，且a≠1)的图象
可能是( )
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(2)画出函数y＝|3x－1|的图象，并利用图象回答：k为何值
1．了解指数函数模型的实际背景．
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2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂 的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函 数图象通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
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3个必须注意——指数及指数函数应用需注意的问题 (1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并 且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含 有负指数． (2)指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要 特别注意区分a>1与0<a<1来研究．
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3底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底
数是带分数的，先化成假分数.
4若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，
运用指数幂的运算性质来解答.
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指数函数的图象及应用
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