考点15 三角形及全等(精练)(解析版)

考点15.三角形及全等（精练）
限时检测1：最新各地模拟试题（50分钟）1．（2023·山西朔州·校联考模拟预测）如图是位于汾河之上的通达桥，是山西省首座独塔悬索桥，是连接二青会的水上运动、沙滩排球等项目及场馆的主要通道，被誉为“时代之门”．桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固．其中运用的数学原理是（）
A ．三角形具有稳定性
B ．两点确定一条直线
C ．两点之间，线段最短
D ．三角形的两边之和大于第三边
【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性进行求解即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，
∴桥身通过吊索与主缆拉拽着整个桥面，形成悬索体系使其更加稳固，故选A ．
【点睛】本题主要考查了三角形具有稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．
2．（2023·广东·中考模拟）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是5km 和3km ．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能．．．
是（）A ．1km
B ．2km
C ．3km
D ．8km
【答案】A
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a ，则根据题意有：5-353a +＜＜，即28a ＜＜，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，538a =+=或者532a =-=，
综上a 的取值范围为：28a ≤≤，据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km ，故选：A ．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
3．（2022·河北衡水·校考模拟预测）在数学拓展课上，有两个全等的含45︒角的直角三角板ADE ，ABC 重叠在一起．李老师将三角板ADE 绕点A 顺时针旋转（保持90)BAE ∠<︒，延长线段DE ，与线段CB 的延长线
A ．一直变小
B ．保持不变【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt Rt ABF ≅ 【详解】解：如图，在F
C 上截取FG 由题意得：90ABF ADF ∠=∠=︒，AB 在Rt ABF 和Rt ADF 中，AF AF AB A
D =⎧⎨=⎩
BF DF ∴=，CF EF BC BF EF ∴-=+-CF EF ∴-的值保持不变．故选：B ．
A ．1
B ．2
∠，∴AD
∵1
AD=，BD平分ABC
5．（2023·山东·校考期中）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（
A．2
∠的平分线，∴
∵BD是ABC
的面积为10
∵ABC
+的最小值是
∵CF E F'
7．（2023·广东广州·统考一模）在
【答案】240
【分析】由等边三角形的性质可得【详解】解：如图，
是等边三角形，∴
ABC
【答案】5
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积求解，过点点到角两边的距离相等得到
9．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在
AG=．
【答案】4
【分析】根据重心的性质，进行求解即可．
【答案】30
【分析】连接CF ，由点12，AEF CEF S S S S == ，由24S =，从而即可计算得解。

【详解】解：连接CF ∵BDF 的面积是3，∴∵2AE EC =，∴ABE S 2ABF ABE AEF S S S =-= ∴1221122S S S S +=+-∴248330()ABC S =++= 【点睛】本题主要考查三角形的面积，三角形中线等知识点，掌握等积变换是解答此题的关键．11．（2023·广东梅州·统考一模）如图，在边长为交CD 于点F ，连接EF ，
【答案】2
【分析】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握上述基本知识、灵活应用方程思想是解题的关键．
根据旋转的性质可得AG=
【答案】2
【分析】本题考查了直角三角形性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，点到直线的距离垂线段最短等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．可证得(SAS)BCF BDE ≌为DE 的最小值，即可得出【详解】解：取AB 的中点230A ∠=︒ ，4BC =由旋转得：BF BE =60EBC DBE ∠+∠=︒ 142
AD BD AB === ，当且仅当DE AC ⊥，即点CF ∴的最小值为2．故答案为：
下面是小东设计的尺规作图过程．
作法：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧②以点D 为圆心，BF 长为半径画弧③以点M 为圆心，GF 长为半径画弧，交弧④作射线DP 交AC 于点（2）证明：分别过点D 和点E ∵ABC ADE ∠∠=，∴DE BC ∵DK BC EH BC ⊥⊥，，∴DKC ∠
方法一：利用三角形的内角和定理的方法证明：
证明：
【答案】见解析【分析】方法一：A B ∠+∠+∠180ACD ACB +∠=︒，即可得出结论；方法二：由平行线的性质得ACE ∠=∠，再由ACD ACE DCE ∠=∠+∠【详解】证明：方法一： 180ACB +∠=︒，
∵180ACD ACB ∠+∠=︒，∴；
方法二：过点C 作CE AB ∥∵CE AB ∥∴ACE A ∠=∠，【点睛】本题考查三角形的内角和定理或平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和定理或平行线的性质是
解题的关键．
15．（2023·福建泉州·校考模拟预测）如图，在ABC 与BAD 中，90C D ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，BC AD =．(1)求证：CE DE =；(2)连接CD ，设线段AB 的中点分别为M ，线段CD 的中点分别为N ，直线AC 与BD 相交于点F ．求证：F ，N ，E ，M 四点共线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）证明()Rt Rt HL ADB BCA △≌△，由全等三角形的性质得出ABC DAB ∠=∠，得出AE BE =，
则可证出结论；（2）连接MF ，EM ，
FN ，由全等三角形的性质得出ABD BAC ∠=∠，AC BD =，证出AF BF =，可得CF DF =，由等腰三角形的性质可得FM 为AB 的垂直平分线，MF 平分AFB ∠，NF 平分CFD ∠，由AE BE =，EM 为AB 的垂直平分线，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：∵90C D ∠=∠=︒，
在Rt ADB 和Rt BCA 中，BC AD AB BA =⎧⎨=⎩
，∴()Rt Rt HL ADB BCA △≌△，∴ABC DAB ∠=∠，∴AE BE =，∵AD BC =，∴CE DE =；
（2）证明：连接MF ，EM ，FN ，
∵ADB BCA ≌△△，∴ABD BAC ∠=∠，AC BD =，∴AF BF =，
又∵M 为AB 的中点，则AM BM =∴FM 为AB 的垂直平分线，MF 平分AFB ∠，
∵AE BE =，∴EM 为AB 的垂直平分线，∴E ，M ，F 三点共线，
∵AF BF =，AC BD =，∴CF DF =，∵N 为CD 的中点，∴NF 平分CFD ∠，
∵MF 平分AFB ∠，∴N 在MF 上，∴F ，N ，E ，M 四点共线．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）利用ASA 证明ACB （2）证明BCF △是等边三角形，再想办法证明【详解】（1）证明：∵ACE BCF ∠=∠∵ACE DBE AEC DEB ∠=∠∠=∠，（2）解：∵ACB DCF ≌，∴CB
②若M 为BC 的中点，连接PM ，用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．
【答案】(1)BP CP '=，详见解析(2)①60︒；②2AP PM
=【分析】（1）利用SAS 证明ABP ACP ' ≌，即可得出答案；（2）①由三角形内角和定理知
8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，再利用角度之间的转化对P BP '∠进行转化，
475608606608P BP '∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠+︒-∠，从而解决问题；②延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，得出四边形PBNC 为平行四边形，则BN CP ∥且BN CP =，再利用SAS 证明P BP NBP ' ≌，得2PP PN PM '==．
【详解】（1）解：BP CP '=，理由如下：
ABC 是等边三角形，AB AC ∴=，60BAC ∠=︒，2360∴∠+∠=︒，
将线段AP 绕点A 顺时针旋转60︒得到'AP ，AP AP '∴=，60P PA '∠=︒，
1260∴∠+∠=︒，13∠∠∴=，(SAS)ABP ACP '∴ ≌，BP CP '∴=；
（2）解：①如图，当120BPC ∠=︒时，则8618060BPC ∠+∠=︒-∠=︒，ABP ACP ' ≌，45∴∠=∠，47P BP '∴∠=∠+∠5608=∠+︒-∠606608=︒-∠+︒-∠120(68)=︒-∠+∠12060=︒-︒60=︒；
②2AP PM =，理由如下：延长PM 到N ，使PM MN =，连接BN ，CN ，
M 为BC 的中点，BM CM ∴=，∴四边形PBNC 为平行四边形，
BN CP ∴∥且BN CP =，BN BP '∴=，96∠=∠，
又8660∠+∠=︒ ，8960∴∠+∠=︒，60PBN P BP '∴∠=︒=∠，
又BP BP = ，P B BN '=，∴(SAS)P BP NBP ' ≌，2PP PN PM '∴==，
(1)如图1，当点E落在线段AC上时，①直接写出BAD的度数______（可用α表示）
②直接用等式表示CE CD CB
、的数量关系：______；(2)当点E落在线段AC的延长线上时，请在图画出符合条件的图形，用等式表示CE CD CB
、、的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)①
1
45
2
︒-②
2
CD CB CE
=+(2)2
2
CB CE
=-，见解析
【分析】（1）①由旋转的性质得出α
=，由等腰三角形的性质得出
2
∵线段AD 绕点D 顺时针旋转α设BAD x ∠=，则45DAC ∠=︒-∴()90245x EDF x ︒++∠+︒-=∵90ABD DFE ==︒∠∠∴ABD
【答案】(1)BE CF =，证明见解析(2)2BE MN =，证明见解析(3)228AF BE +=，证明见解析
【分析】（1）由2AB BC ==，90ABC ∠=︒，BD 为斜边AC 上的中线，可得AD =90ADB CDB ∠∠==︒，即得FDC BDE ∠∠=，根据将ABD 绕点D 逆时针旋转(0α有ED AD FD BD CD ====，故()SAS EDB FDC ≌，从而BE CF =；
（2）连接CF ，BF ，取BF 中点K ，连接KM ，KN ，设BE 交CF 于T ，BD 交CF 知EBD FCD ∠∠=，可证BE CF ⊥，又M 为EF 中点，N 为BC 中点，K 为BF 中点，故
由（1）知EDB FDC ≌，CF =，EBD FCD ∠∠∴=90FCD CRD ∠∠+=︒ ，90EBD CRD ∠+=︒，
90EBD BRT ∠∠∴+=︒，90BTR ∴=︒，BE CF ∴⊥，
M 为EF 中点，N 为BC 中点，K 为BF 中点，
2CF KN ∴=，2BE KM =KN ∥CF ，KM ∥BE ，
KMN 是等腰直角三角形，
20．（2023·重庆·校考二模）（1）如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B ADC ∠=∠=︒，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且EF BE DF =+，探究图中BAE ∠、FAD ∠、EAF ∠之间的数量关系．
小明探究的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，可得出结论，他的结论是______．
（2）如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，
180B D ∠+∠=︒，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且EF BE DF =+，探究上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，若点E 在CB 的延长线上，点F 在CD 的
延长线上，仍然满足EF BE FD =+，请直接写出EAF ∠与DAB ∠的数量关系为______
．在ABE 和ADG △中，90AB AD B ADG BE DG =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
，
∴ABE ADG △≌△(，∴=BAE DAG ∠∠，AE ∵=EF BE DF +，DG BE ，∴==EF BE DF DG +∵AF AF =，∴AEF AGF ()SSS ，∴=EAF GAF 行
故答案为：=BAE EAF �
行；）仍成立，理由：如图2，延长FD 到点G ，使
∵180ABC ADC ∠+∠=︒又∵AB AD =，∴ADG ∵==EF BE DF DG ++∵FAE FAG GAE ��邪∴2FAE GAB ��邪（∴11802EAF DAB 邪-＝【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决
限时检测2：最新各地中考真题（50分钟）A ．2
B ．【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得【详解】解：在ACD 中，当4A
C BC ==时，ABC A ．7
8B ．【答案】C
【分析】过点D 作DH ⊥
在Rt ABC 中，3AC =，BC 根据作图可得AD 是BAC ∠设CD DH x ==，4BD =-【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，正弦的定义，勾股定理解直角三角形，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
3．（2022·四川资阳·中考真题）如图所示，在第一步：在AB AC 、上分别截取A ．CM MN
=B ．AC AN =【答案】C 【分析】根据题意可知，AM 平分
=B．
A．BC DE
【答案】B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
=，不能判断
【详解】A、BC DE
A．CAD BAD
∠=∠B．CD DE
=
【答案】C
【分析】由作图方法可知，AD是
6．（2022·江苏扬州·中考真题）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为ABC ∆，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（）
A ．,,A
B B
C CA
B ．,,AB B
C B ∠C ．,,AB AC B ∠
D ．,,∠∠A B BC
【答案】C 【分析】根据SSS ，SAS ，ASA 逐一判定，其中SSA 不一定符合要求．
【详解】A.,,AB BC CA ．根据SSS 一定符合要求；B.,,AB BC B ∠．根据SAS 一定符合要求；
C.,,AB AC B ∠．不一定符合要求；
D.,,∠∠A B BC ．根据ASA 一定符合要求．故选：C ．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS ，SAS ，ASA 三个判定定理．
7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（）
A ．2CD ME
=B ．//ME AB C ．BD CD =D ．ME MD
=【答案】A 【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅ ，从而证明ME 为CBF V 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证
()AGD ABD ASA ≅ ，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．
【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G
．∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，∴HC =HF ，∴AF =AC ．
∴在CAE V 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴()CAE FAE SAS ≅ ，
∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，∴C 、E 、F 三点共线，∴点E 为CF 中点．
∵M 为BC 中点，∴ME 为CBF V 中位线，∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；
∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，∴()AGD ABD ASA ≅ ，∴12GD BD BG ==，即D 为BG 中点．∵在BCG 中，90BCG ∠=︒，∴12
CD BG =，
∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；
∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∴HDM HCE ∠=∠．∵HF AB ⊥，//ME AB ，∴HF ME ⊥，∴90HEM EHF ∠+∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，∴EHC EHF ∠=∠．∵90EHC HCE ∠+∠=︒，∴HCE HEM ∠=∠，∴HDM HEM ∠=∠，∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；
∵假设2CD ME =，∴2CD MD =，∴在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．
∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在ABC 中，E 是中线AD 的中点．若AEC △的面积是1，则ABD △的面积是______．
【答案】2
【分析】根据ACE ∆的面积DCE =∆的面积，ABD ∆的面积ACD =∆的面积计算出各部分三角形的面积．
【详解】解：AD 是BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
根据等底同高可知，ACE ∆的面积DCE =∆的面积1=，
ABD ∆的面积ACD =∆的面积2AEC =∆的面积2=，故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算．【答案】25︒或115︒
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
②当B '在BC 上方时，如图，∵90ADB ADB '∠+∠=︒，∴12
ADB ∠=
⨯∴180115BAD B ADB ∠=︒-∠-∠=；
综上，BAD ∠的度数为25︒或115︒；故答案为：25︒或115︒．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．统考中考真题）如图，ABC 中，90,8,A AB ∠=︒=【答案】24
5
【分析】利用角平分线的性质构造辅助线，将以AD 为未知数的方程求出AD ．
【详解】如图：过点D 作DF BC ⊥
11．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在ABC 中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，20CAD ∠=︒，则BAC ∠是___________度．
【答案】40或80
【分析】根据题意，由于ABC 类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角形外部讨论求解．
【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：
①高在三角形内部，如图所示：
在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，
90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
20CAD ∠=︒，
602080BAC BAD CAD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒；
②高在三角形边上，如图所示：
可知0CAD ∠=︒， 20CAD ∠=︒，故此种情况不存在，舍弃；
③高在三角形外部，如图所示： 在ABD ∆中，AD 为边BC 上的高，30ABC ∠=︒，
90903060BAD ABC ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
20CAD ∠=︒，602040BAC BAD CAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒；
综上所述：80BAC ∠=︒或40︒，故答案为：40或80．
【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨论是解决问题的关键．
12．（2022·湖南株洲·中考真题）如图所示，点O 在一块直角三角板ABC 上（其中30ABC ∠=︒），OM AB ⊥于点M ，ON BC ⊥于点N ，若OM ON =，则ABO ∠=_________度．
【答案】15
【分析】根据ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =判断OB 是ABC ∠的角平分线，即可求解．
【详解】解：由题意，ON BC ⊥，OM AB ⊥，OM ON =，
即点O 到BC 、AB 的距离相等，∴OB 是ABC ∠的角平分线，
∵30ABC ∠=︒，∴1152
ABO ABC ∠=∠=︒．故答案为：15．【点睛】本题考查角平分线的定义及判定，熟练掌握“到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”是解题的关键．13．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，AB AE =，BC ED =，B E ∠=∠．(1)求证：AC AD =；(2)用直尺和圆规作图：过点A 作AF CD ⊥，垂足为F ．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据边角边证明ABC AED ≌△△即可证明结论成立；
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键．
．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形
=∠=∠．
B AED C
(1)求证：EAD EDA
∠=∠；(2)若
【答案】(1)见解析(2)43
【分析】（1）由B AED
∠=∠求出
边对等角得出结论；（2）过点E作
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
15．（2023·江苏·统考中考真题）如图，(1)求证：ABC DEF ≌△△；(2)点P 、Q ①用直尺和圆规作出点Q （保留作图痕迹，不要求写作法）②连接PQ ，则PQ 与BE 的关系是________
②因为ABC DEF ≌△△，所以DEF 可看作由ABC 平移得到，点Q ，点P 为对应点，点B ，点E 为对应点，根据平移的性质可知PQ BE ∥．故答案为：PQ BE ∥．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、图形的平移，牢记全等三角形的判定方法和图形平移的性质（连接各组对应点的线段平行或在同一条直线上）是解题的关键．
16．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE ．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．
（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，
ABE ∠．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．
【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．
在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，
CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．
（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．
理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，
CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠， 在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．
70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
17.（2023·湖北黄石·统考中考真题）如图，正方形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且BM CN =，AN 与DM 相交于点P ．(1)求证：ABN ≌DAM ；(2)求APM ∠的大小．
【答案】(1)见解析(2)90︒
【分析】（1）直接利用SAS 证明全等即可；（2）根据全等的性质，得出MAP ADM ∠=∠，再由
90MAP AMP ADM AMP ∠+∠=∠+∠=︒，从而求出90APM ∠=︒．
【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AB AD BC ∴==，90DAM ABN ∠=∠=︒，
BM CN = ，BC CN AB BM ∴-=-，即BN AM =，
在ABN 和DAM △中，,,,AB AD ABN DAM BN AM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
ABN ∴ ≌()SAS DAM ；（2）解：由（1）知ABN ≌DAM ，MAP ADM ∴∠=∠，
90MAP AMP ADM AMP ∴∠+∠=∠+∠=︒，180()90APM MAP AMP ∴∠=︒-∠+∠=︒．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握相关图形的性质和判定．18．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在等边三角形ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF ，连接CF ．
（问题解决）（1）如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE+CF ＝CD ；
（类比探究）（2）如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，
CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？
并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）FC＝CD+CE，见解析
【分析】（1）在CD上截取CH＝CE，易证△CEH是等边三角形，得出EH＝EC＝CH，证明△DEH≌△FEC（SAS），得出DH＝CF，即可得出结论；（2）过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，由平行线的性质易证∠GDC＝∠DGC＝60°，得出△GCD为等边三角形，则DG＝CD＝CG，证明△EGD≌△FCD（SAS），得出EG＝FC，即可得出FC＝CD+CE．
【详解】（1）证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，
∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，
在△DEH和△FEC中，
DE FE
DEH FEC
EH EC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，
∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；
（2）解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE
；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，
过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：
∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，
∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，
在△EGD 和△FCD 中，ED DF EDG FDC DG CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△EGD ≌△FCD （SAS ），
∴EG ＝FC ，∴FC ＝EG ＝CG+CE ＝CD+CE ．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等边三角形是解题的关键．
19．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E
．
(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥
，AB AC ==BD 、CE 和DE 的长；
(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．
【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2
(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析(3)258BFC S ∆=
【分析】（1）先根据得出90452
ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒，
即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；
（2）①DE =CE +BD ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt △AEC
中，根据勾股定理求出5AC ==，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF
=，代入数据
求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．
(1)解：∵90BAC ∠=︒，AB AC =，∴90452
ABC ACB ︒∠=∠==︒，∵l BC ∥，∴45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，
∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，∴90BDA CEA ∠=∠=︒，
∴904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，
∴45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，
∴sin 12
AD BD AB DAB ==⨯∠==，
sin 1
2
AE CE AC EAC ==⨯∠=，∴2DE AD AE =+=．(2)①DE =CE +BD ；理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，
∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，
∴DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；
②BD =CE +DE ，理由如下：∵BD ⊥AE ，CE ⊥DE ，
∴90BDA CEA ∠=∠=︒，∴90DAB DBA ∠+∠=︒，
∵90BAC ∠=︒，∴90DAB CAE ∠+∠=︒，∴DBA CAE ∠=∠，
∵AB =AC ，∴ABD CAE ∆∆≌，∴AD =CE ，BD =AE ，
∴BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．
(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，∴314AE AD DE =+=+=，
在Rt △AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，
∵BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴DF CE ∥，∴
AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ，∴155544CF AC AF =-=-
=，∵AB =AC =5，∴1152552248
BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．
20．（2022·北京·中考真题）在ABC 中，90ACB ∠= ，D 为ABC 内一点，连接BD ，DC ，延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF ，若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；
(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若222
AB AE BD
=+，用等式表示线段CD 与CH
的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析(2)CD CH
=；证明见解析
【分析】（1）先利用已知条件证明()
SAS
FCE BCD
≅
，得出CFE CBD
Ð=Ð，推出EF BD
∥，再由AF EF
⊥
即可证明BD AF
⊥；（2）延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，先证()
SAS
MEC BDC
≅
，推出ME BD
=，通过等量代换得到222
AM AE ME
=+，利用平行线的性质得出90
BHE AEM
Ð=Ð=°，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH
=．
(1)证明：在FCE
和BCD
中，
CE CD
FCE BCD
CF CB
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴()
SAS
FCE BCD
≅
，
∴CFE CBD
Ð=Ð，∴EF BD
∥，∵AF EF
⊥，∴BD AF
⊥．
(2)解：补全后的图形如图所示，CD CH
=
，证明如下：
延长BC到点M，使CM＝CB，连接EM，AM，
∵90
ACB
∠= ，CM＝CB，∴AC垂直平分BM，∴AB AM
=，
在MEC
和BDC
中，
CM CB
MCE BCD
CE CD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，∴()
SAS
MEC BDC
≅
，∴ME BD
=，CME CBD
Ð=Ð，
∵222
AB AE BD
=+，∴222
AM AE ME
=+，∴90
AEM
∠=︒，
∵CME CBD
Ð=Ð，∴BH EM
∥，∴90
BHE AEM
Ð=Ð=°，即90
DHE
∠=︒，
∵12
CE CD DE ==，∴12CH DE =，∴CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE ∠=︒是解题的关键．21．（2022·山东青岛·中考真题）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在ABC 和A B C '''V 中，,AD A D ''分别是BC 和B C ''边上的高线，且AD A D ''=，则ABC 和A B C '''V 是等高三角形．
【性质探究】如图①，用ABC S ，A B C S ''' 分别表示ABC 和A B C '''V 的面积．则11,22
ABC A B C S BC AD S B C A D '''=⋅=''⋅''△△，∵AD A D ''
=∴::ABC A B C S S BC B C ''=''△△．
【性质应用】(1)如图②，D 是ABC 的边BC 上的一点．若3,4BD DC ==，则:ABD ADC S S =△△__________；
(2)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点．若:1:2BE AB =，:1:3CD BC =，1ABC S =△，则BEC S =△__________，CDE S =△_________；
(3)如图③，在ABC 中，D ，E 分别是BC 和AB 边上的点，若:1:BE AB m =，:1:CD BC n =，ABC S a = ，则CDE S =△__________．
【答案】(1)3:4(2)12；16(3)a mn 【分析】（1）由图可知ABD △和ADC 是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；（2）根据:1:2BE AB =，1ABC S =△和等高三角形的性质可求得BEC S ，然后根据:1:3CD BC =和等高三角形的性质可求得CDE S △；（3）根据:1:BE AB m =，ABC S a = 和等高三角形的性质可求得S BEC ，然后根据:1:CD BC n =，和等高三角形的性质可求得CDE S △．
(1)解：如图，过点A 作AE ⊥BC ，
则12
ABD S BD AE =⋅ ，12ADC S DC AE =⋅V ∵AE =AE ，∴::3:4ABD ADC S S BD DC ==△△．
(2)解：∵BEC △和ABC 是等高三角形，
∴::1:2BEC ABC S S BE AB == △，∴1111222
BEC ABC S S =
=⨯= △；∵CDE △和BEC △是等高三角形，
∴::1:3CDE BEC S S CD BC == △，∴11113326CDE BEC S S ==⨯= ．(3)解：∵BEC △和ABC 是等高三角形，
∴::1:BEC ABC S S BE AB m == △，∴11BEC ABC a S S a m m m
=
=⨯= △；∵CDE △和BEC △是等高三角形，
∴::1:CDE BEC S S CD BC n == △，∴11CDE BEC a a S S n n m mn ==⨯= ．【点睛】本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．。