湖北省恩施州2019-2020学年八年级第二学期期末统考数学试题含解析

湖北省恩施州2019-2020学年八年级第二学期期末统考数学试题 一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．﹣2018的倒数是（ ）
A ．2018
B ．12018
C ．﹣2018
D ．12018
- 2．对于一次函数24y x =-+，下列结论①y 随x 的增大而减小；②函数的图象不经过第三象限；③函数的图象向下平移4个单位得2y x =-；④函数的图象与x 轴的交点坐标是(0,4).其中，错误的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．我们知道方程x 2+2x ﹣3=0的解是x 1=1，x 2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是
A ．x 1=1，x 2=3
B ．x 1=1，x 2=﹣3
C ．x 1=﹣1，x 2=3
D ．x 1=﹣1，x 2=﹣3
4．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A ．221 0x x +=
B ．20ax bx c ++=
C ．223 2 53x x x --=
D ． 1 2()()1x x -+=
5．如果p(2，m)，A （1，1）,B （4，0）三点在同一条直线，那么m 的值为（ ）
A ．2
B ．-23
C ．23
D ．1
6．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．关于函数y=﹣x ﹣2的图象，有如下说法：
①图象过点（0，﹣2）
②图象与x 轴的交点是（﹣2，0）
③由图象可知y 随x 的增大而增大
④图象不经过第一象限
⑤图象是与y=﹣x+2平行的直线，
其中正确说法有（ ）
A ．5个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
8．如图，将一个含30角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，得点B ，A ，'C ，在同一条直线上，则旋转角'BAB ∠的度数是（ ）
A ．60
B ．90
C ．120
D ．150
9．八年级甲、乙、丙三个班的学生人数相同，上期期末体育成绩的平均分相同，三个班上期期末体育成绩的方差分别是：，，，教体育的杜老师更喜欢上体育水平接近的学生，若从这三个班选一个班上课，杜老师更喜欢上课的班是（ ）
A ．甲班
B ．乙班
C ．丙班
D ．上哪个班都一样
10．某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为（ ）
A ．6cm
B ．12cm
C ．24cm
D ．36cm 二、填空题
11．在□ABCD 中，已知∠A=110°，则∠D=__________.
12．如果在五张完全相同的纸片背后分别写上平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，打乱后随机抽取其中一张，那么抽取的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率等于_____．
13．如图，正方形ABCD 的边长为1，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第三个正方形AEGH ，如此下去⋯记正方形ABCD 的边为1a 1=，按上述方法所作的正方形的边长依次为2a 、3a 、4a 、n a ⋯，根据以上规律写出2
n a 的表达式______．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 从点E 出发，沿EF 方向匀速运动，速度为1cm/s ，同时动点Q 从点B 出发，沿BF 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ ，设运动时间为ts （0＜t ＜1），则当t ＝___时，△PQF 为等腰三角形．
边形AECF的面积为________.
16．已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是____．
17．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E. F，连接CE，则△DCE的面积为___.
三、解答题
18．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min 速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min 时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象。

（1）求s2与t之间的函数关系式；
（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
19．（6分）八年级教师对试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价调查，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名八年级学生的参与情况，绘制成如图所示的频数分布直方图和扇形统计图均不完整），请根据图中所给信息解答下列问题：
（1）在这次评价中，一共抽查了多少名学生？
（2）求扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数；
（3）请将条形统计图补充完整.
20．（6分）我市进行运河带绿化，计划种植银杏树苗，现甲、乙两家有相同的银杏树苗可供选择，其具体销售方案如下：
甲：购买树苗数量不超过500棵时，销售单价为800元/棵；超过500棵的部分，销售单价为700元/棵．乙：购买树苗数量不超过1000棵时，销售单价为800元/棵；超过1000棵的部分，销售单价为600元/棵．设购买银杏树苗x棵，到两家购买所需费用分别为y甲元、y乙元.
(1)该景区需要购买800棵银杏树苗，若都在甲家购买所要费用为______元，若都在乙家购买所需费用为______元；
(2)当1000
x>时，分别求出y甲、y乙与x之间的函数关系式；
(3)如果你是该景区的负责人，购买树苗时有什么方案，为什么？
21．（6分）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在CD的延长线上，且PC PE
=，PE交AD于点F．
()1求证：PA PC
=；
()2求APE
∠的度数；
()3如图②，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其它条件不变，当ABC120
∠=，连接AE，试探究线段AE与线段PC的数量关系，并给予证明．
228
1
2
y x
=+与x轴，y轴的交点分别为,A B，直线212
y x
=-+
E，连接BP.
()1求DAC
△的面积；
()2在线段DC上是否存在一点P，使四边形BOEP为矩形，若存在，求出P点坐标：若不存在，请说明理由；
()3若四边形BOEP的面积为S，设P点的坐标为(),x y，求出S关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.
23．（8分）如图①，四边形ABCD为正方形，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=45°，易证：AE+CF=EF （不用证明）．
（1）如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=120°，DA=DC，∠DAB=∠BCD=90°，点E，F分别在AB与BC上，且∠EDF=60°．猜想AE，CF与EF之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）如图③，在四边形ABCD中，∠ADC=2α，DA=DC，∠DAB与∠BCD互补，点E，F分别在AB与BC 上，且∠EDF=α，请直接写出AE，CF与EF之间的数量关系，不用证明．
24．（10分）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个四边形的面积？
25．（10分）（1）如图甲，从边长为a的正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四
验证因式分解公式成立的是________；
（2）根据下面四个算式：
5232＝（5+3）×（53）＝8×2；
11252＝（11+5）×（115）＝16×6＝8×12；
15232＝（15+3）×（153）＝18×12＝8×27；
19272＝（19+7）×（197）＝26×12＝8×1．
请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；
（3）用文字写出反映（2）中算式的规律，并证明这个规律的正确性．
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．D
【解析】
【分析】
根据倒数的概念解答即可.
【详解】
﹣2018的倒数是：﹣
1 2018
．
故选D．
【点睛】
本题考查了倒数的知识点，解题的关键是掌握互为倒数的两个数的乘积为1.
2．A
【解析】
【分析】
根据一次函数的性质对①②进行判断；根据一次函数的几何变换对③进行判断．根据一次函数图象上点的坐标特征对④进行判断；
②k ＝−2，b ＝4，函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，正确；
③函数的图象向下平移4个单位长度得y ＝−2x 的图象，正确；
④函数的图象与y 轴的交点坐标是（0，4），故错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：当k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；当k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．也考查了一次函数图象的几何变换．
3．D
【解析】
【分析】
将x 1=1，x 2=﹣3代入到方程中，对比前后的方程解的关系，即可列出新的方程.
【详解】
将x 1=1，x 2=﹣3代入到x 2+2x ﹣3=0得
12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0
对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得
2x+3=1或﹣3
解得：x 1=﹣1，x 2=﹣3
故选D.
【点睛】
此题考查的是方程的解，掌握前后方程解的关系是解决此题的关键.
4．D
【解析】
【分析】
只含有一个未知数，并且未知数的项的最高次数是2，且等号两边都是整式的方程是一元二次方程，根据定义依次判断即可得到答案.
【详解】
A 、221 0x x
+=等式左边不是整式，故不是一元二次方程； B 、20ax bx c ++=中a=0时不是一元二次方程，故不符合题意；
C 、223 2 53x x x --=整理后的方程是2x+5=0，不符合定义故不是一元二次方程；
D 、 1 2()()1x x -+=整理后的方程是230x x +-=，符合定义是一元二次方程，
故选：D.
此题考查一元二次方程的定义，正确理解此类方程的特点是解题的关键.
5．C
【解析】
【分析】
先设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），再把A（1，1），B（4，0）代入求出k的值，进而得出直线AB的解析式，把点P（2，m）代入求出m的值即可．
【详解】
解：设直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（1，1），B（4，0），
∴
1
04
k b
k b
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，解得
1
3
4
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线AB的解析式为y=
1
3
-x+
4
3
，
∵P（2，m）在直线上，
∴m=（
1
3
-）×2+
4
3
=
2
3
．
故选C．
“点睛”本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．B
试题分析:根据一次函数的性质和图象上点的坐标特征解答．
解：①将（0，﹣2）代入解析式得，左边=﹣2，右边=﹣2，故图象过（0，﹣2）点，正确；
②当y=0时，y=﹣x﹣2中，x=﹣2，故图象过（﹣2，0），正确；
③因为k=﹣1＜0，所以y随x增大而减小，错误；
④因为k=﹣1＜0，b=﹣2＜0，所以图象过二、三、四象限，正确；
⑤因为y=﹣x﹣2与y=﹣x的k值（斜率）相同，故两图象平行，正确．
故选B．
考点：一次函数的性质．
8．D
【解析】
【分析】
根据题中“直角三角板ABC绕点A旋转”可知，本题考查图形的旋转，根据图形旋转的规律，运用旋转不改变图形的大小、旋转图形对应角相等，进行求解.
【详解】
AB C是由三角形ABC旋转得到.
解：三角形''
∴''30
∠=∠=
B A
C BAC
∴'180''18030150
∠=-∠=-=
BAB B AC
故应选D
【点睛】
本题解题关键：理解旋转之后的图形与原图形对应角相等.
9．B
【解析】
【分析】
先比较三个班方差的大小，然后根据方差的意义进行判断．
【详解】
解：∵S2甲=6.4，S2乙=5.6，S2丙=7.1，
∴S2乙＜S2甲＜S2丙，
∴乙班成绩最稳定，杜老师更喜欢上课的班是乙班．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解析】
【分析】
设y与x之间的函数关系式为y=kx2，由待定系数法就可以求出解析式，当y=72时代入函数解析式就可以求出结论．
【详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx2，由题意，得
18＝9k，
解得：k＝2，
∴y＝2x2，
当y＝72时，72＝2x2，
∴x＝1．
故选A．
【点睛】
本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，根据解析式由函数值求自变量的值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
二、填空题
11．70°
【解析】
在□ABCD中，∠A+∠D=180°，因为∠A=110°，所以∠D=70°.
故答案：70°.
12．3 5
【解析】
【分析】
先从平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形找出既是轴对称图形又是中心对称图形的图形，然后根据概率公式求解即可.
【详解】
∵五张完全相同的卡片上分别画有平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有矩形、菱形、正方形，
∴现从中任意抽取一张，卡片上所写的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为3
5
，
故答案为3
5
．
【点睛】
种结果，那么事件A 的概率P （A ）=
m n
． 13．n 12-
【解析】
【分析】
倍得出规律即可．
【详解】
由题意得，a 1=1，
a 2a 1，
a 3a 2=）2，
a 4a 3=）3，
…，
a n a n-1=（）n-1．
2
n a =[）n-1]2=n 12
- 故答案为：n 12-
【点睛】
的指数的变化规律．
14．2． 【解析】
【分析】
由勾股定理和含30°角的直角三角形的性质先分别求出AC 和BC ，然后根据题意把PF 和FQ 表示出来，当△PQF 为等腰三角形时分三种情况讨论即可.
【详解】
解：∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝2cm ，
∴AC ＝2AB ＝4cm ，BC ＝
∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，
∴EF ＝12BC ，BF ＝12
AC ＝2cm ， 由题意得：EP ＝t ，BQ ＝2t ，
∴PF t ，FQ ＝2﹣2t ，
分三种情况：
①当PF＝FQ时，如图1，△PQF为等腰三角形．
则3﹣t＝2﹣2t，
t＝2﹣3；
②如图2，当PQ＝FQ时，△PQF为等腰三角形，过Q作QD⊥EF于D，∴PF＝2DF，
∵BF＝CF，
∴∠FBC＝∠C＝30°，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，
∴∠PFQ＝∠FBC＝30°，
∵FQ＝2﹣2t，
∴DQ＝1
2
FQ＝1﹣t，
∴DF＝3（1﹣t），
∴PF＝2DF＝23（1﹣t），∵EF＝EP+PF＝3，
∴t+23（1﹣t）＝3，
t＝6+3
；
③因为当PF＝PQ时，∠PFQ＝∠PQF＝30°，
∴∠FPQ＝120°，
而在P、Q运动过程中，∠FPQ最大为90°，所以此种情况不成立；
综上，当t＝2﹣3或6+3
时，△PQF为等腰三角形．
故答案为：2﹣3或6+3
．
【点睛】
勾股定理和含30°角的直角三角形的性质及等腰三角形的判定和性质都是本题的考点，本题需要注意的是分类讨论不要漏解.
15．5
【解析】
【分析】
由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出
∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S
AEB =S AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°,∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
=S AFD，
∴S
AEB
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=5.
故答案为：5.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于掌握判定定理.
16．10
【解析】
试题分析：由题意可知这组数据的众数为10，再根据平均数公式即可求得x的值，最后根据中位数的求解方法求解即可.
解：由题意得这组数据的众数为10
∵数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等
∴，解得
∴这组数据为12，10，10，8
∴这组数的中位数是10.
考点：统计的应用
点评：统计的应用是初中数学的重点，是中考必考题，熟练掌握各种统计量的计算方法是解题的关键. 17．6
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算，再利用三角形面积公式解答即可．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，AD=BC=8，
∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD−AE=8−x，
在Rt△CDE中,CE2=CD2+ED2，
即x2=42+(8−x) 2，
解得：x=5，
即CE的长为5，
DE=8−5=3，
所以△DCE的面积=1
2
×3×4=6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解题关键在于得出AE=CE.
三、解答题
18．(1)s2=-96t+2400（2）小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m 【解析】
【分析】
（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案；
（2）首先求得直线BC的解析式，然后求直线BC与EF的交点，即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，
∴小明的爸爸用的时间为：2400
96
=25（min），
即OF=25，
如图：设s2与t之间的函数关系式为：s2=kt+b，
∵E（0，2400），F（25，0），
∴
2400 250 b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
a240 {
c5280
=-
=
，
∴s2与t之间的函数关系式为：s2=-96t+2400；
（2）如图：小明用了10分钟到邮局，
∴D点的坐标为（22，0），
设直线BD即s1与t之间的函数关系式为：s1=at+c（12≤t≤22），
∴
122400
220
a c
a c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得：
240
5280
a
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴s1与t之间的函数关系式为：s1=-240t+5280（12≤t≤22），
当s1=s2时，小明在返回途中追上爸爸，
即-96t+2400=-240t+5280，
解得：t=20，
∴s1=s2=480，
∴小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m．19．（1）560人；（2）54°；（3）补图见解析.
【解析】
分析：（1）由“专注听讲”的学生人数除以占的百分比求出调查学生总数即可；（2）由“主动质疑”占的百分比乘以360°即可得到结果；
（3）求出“讲解题目”的学生数，补全统计图即可；
详解：（1）根据题意得：224÷40%=560（名），
则在这次评价中，一个调查了560名学生；
故答案为：560；
（2）根据题意得：84
560
×360°=54°，
则在扇形统计图中，项目“主动质疑”所在的扇形的圆心角的度数为54度；故答案为：54；
（3）“讲解题目”的人数为560-（84+168+224）=84，补全统计图如下：
点睛：此题考查了频率（数）分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键．
20． (1)610000元，640000元;(2)
70050000y x =+甲，600200000y x =+乙;(3)见解析. 【解析】
【分析】
（1）由单价x 数量及可以得出购买树苗需要的费用；
（2）根据当>1000x ，由单价x 数量就可以得出购买树苗需要的费用表示出y 甲、y 乙与x 之间的函数关系式；
（3）分类讨论，当0500x ≤≤，5001000x <≤时，1000x >时，表示出y 甲、y 乙的关系式，就可以求出结论.
【详解】
解：()1由题意，得．
500800300700610000y =⨯+⨯=甲元，
800800640000y =⨯=乙元；
故答案为()1610000；640000
()2当1000x >时，70050000y x =+甲，600200000y x =+乙，x 为正整数，
()3当0500x ≤≤时，到两家购买所需费用一样；
5001000x ≤≤时，甲家有优惠而乙家无优惠，所以到甲家购买合算；
100150000y y x -=-甲乙
当y y =甲乙时，1001500000x -=，解得1500x =，当1500x =时，到两家购买所需费用一样； 当y 甲y <乙时，1500x <，
∴当5001500x <<时，到甲家购买合算；
当y 甲y >乙时，1500x >，
∴当1500x >时，到乙家购买合算．
综上所述，当0500x ≤≤时或1500x =时，到两家购买所需费用一样；当5001500x <<时，到甲家购买合算；当1500x >时，到乙家购买合算．
【点睛】
本题考查了运用一次函数的解析式解实际问题的运用，方案设计的运用，单价×数量=总价，解答时求出一次函数的解析式是关键.
21．() 1证明见解析()2证明见解析()3AE PC =，
【解析】
【分析】
()1由正方形性质知BA BC =、45ABP CBP ∠=∠=，结合BP BP =可证ABP ≌CBP ，据此得出
答案； ()2由()1知PAD PCD ∠=∠，由PE PC =知PCD PED ∠=∠，从而得出PAD PED ∠=∠，根据PFA DFE ∠=∠可得90APF EDF ∠=∠=；
()3先证ADP ≌CDP 得PA PC =、PAD PCD ∠=∠，
由PE PC =知PE PA =、PCD PED ∠=∠，进一步得出PED PAD ∠=∠，同理得出60APF EDF ∠=∠=，据此知PAE 是等边三角形，从而得出答案．
【详解】
解：()1四边形ABCD 是正方形，
BA BC ∴=、ABP CBP 45∠∠==，
在ABP 和CBP 中
BA BC ABP CBP BP BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABP ∴≌()CBP SAS ，
PA PC ∴=；
()2ABP ≌CBP ，
BAP BCP ∠∠∴=，
DAB DCB 90∠∠==，
PAD PCD ∠∠∴=，
PE PC =，
PCD PED ∠∠∴=，
PAD PED ∠∠∴=，
PFA DFE ∠∠=，
APF EDF 90∠∠∴==；
()3AE PC =，
四边形ABCD 是菱形，
AD CD ∴=、ADP CDP ∠∠=，
又DP DP =，
ADP ∴≌()CDP SAS ，
PA PC ∴=，PAD PCD ∠∠=，
又PE PC =，
PE PA ∴=，PCD PED ∠∠=，
PED PAD ∠∠∴=，
PFA DFE ∠∠=，
APF EDF 180ADC 60∠∠∠∴==-=，
PAE ∴是等边三角形，
AE PA PC ∴==，即AE PC =．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确寻找全等三角形的条件是解题的关键．
22．（1）20；（2）存在；（3）S ()2
746x x x =-+≤< 【解析】
【分析】
（1）想办法求出A 、D 、C 三点坐标即可解决问题；
（2）存在．根据OB=PE=2，利用待定系数法即可解决问题；
（3）利用梯形的面积公式计算即可.
【详解】
解：()1在122y x =+中，令0y =，得1202
x += 解得4x =-，∴点A 的坐标为()4,-0
在212y x =-+中，令0y =得2120x -+=
解得6x =，∴点C 的坐标为()6,0
解方程组1
2 2
22
y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
，得
4
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴点D的坐标为()
4,4
1
10420
2
DAC
S
∴=⨯⨯=
()2存在，四边形为矩形，BO PE
∴=
对于
1
2
2
y x
=+，当0
x=时，2
y=，∴点B的坐标为()
0,2
把2
y=代入212
y x
=-+，解得5,
x=∴点P的坐标是()
5,2
()()
1
3
2
S BO PE OE
=+•
()()
11
22212
22
S y x x x
∴=+•=-+=()
2746
x x x
=-+≤<
【点睛】
本题考查一次函数综合题、二元一次方程组、矩形的判定和性质、梯形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
23．（1）AE+CF=EF，证明见解析；（2）AE CF EF
+=，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由题干中截长补短的提示，再结合第（1）问的证明结论，在第二问可以用截长补短的方法来构造全等，从而达到证明结果．
（2）同理作辅助线，同理进行即可，直接写出猜想，并证明．
【详解】
（1）图2猜想：AE+CF=EF，
证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，
∵∠DAB=∠BCD=90°，
∴∠DAB=∠DCA'=90°，
又∵AD=CD，AE=A'C，
∴△DAE≌△DCA'（SAS），
∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，
∵∠ADC=120°，
∴∠EDA'=120°，
∵∠EDF=60°，
∴∠EDF=∠A'DF=60°，
又DF=DF，
∴△EDF≌△A'DF（SAS），
则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE；
（2）如图3，AE+CF=EF，
证明：在BC的延长线上截取CA'=AE，连接A'D，
∵∠DAB与∠BCD互补，∠BCD+∠DCA'=180°
∴∠DAB=∠DCA'，
又∵AD=CD，AE=A'C，
∴△DAE≌△DCA'（SAS），
∴ED=A'D，∠ADE=∠A'DC，
∵∠ADC=2α，
∴∠EDA'=2α，
∵∠EDF=α，
∴∠EDF=∠A'DF=α
又DF=DF，
∴△EDF≌△A'DF（SAS），
则EF=A'F=FC+CA'=FC+AE．
【点睛】
本题是常规的角含半角的模型，解决这类问题的通法：旋转（截长补短）构造全等即可，题目所给例题的
思路，为解决此题做了较好的铺垫．
24．14cm 1
【解析】
【分析】
连接AC ，利用勾股定理求出AC 的长，在△ABC 中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD 的面积．
【详解】
解：连接AC ，
∵AD=4cm ，CD=3cm ，∠ADC=90°，
∴22CD AD +2234+（cm ）
∴S △ACD =12
CD •AD=6（cm 1）． 在△ABC 中，∵51+111=131即AC 1+BC 1=AB 1，
∴△ABC 为直角三角形，即∠ACB=90°，
∴S △ABC =12
AC •BC=30（cm 1）． ∴S 四边形ABCD =S △ABC -S △ACD
=30-6=14（cm 1）．
答：四边形ABCD 的面积为14cm 1．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC ，说明△ABC 是直角三角形是解决本题的关键．
25．（1）a 2-b 2＝（a ＋b ）（ab ）；（2）72-52＝8×3；92-32＝8×9等；（3）规律：任意两个奇数的平方差是8的倍数，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用两个图形，分别求出阴影部分的面积，即可得出关系式；
（2）任意写出两个奇数的平方差，右边写出8的倍数的形式即可；
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；任意写一个即可，如：（2n+1）2-（2n-1）2=8n ．
【详解】
解：（1）图甲的阴影部分的面积为：a 2-b 2，图乙平行四边形的底为（a+b ），高为（a-b ），因此面积为：（a+b ）
（a-b），
所以a2-b2=（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）32-12=（3+1）×（3-1）=4×2=8×1，
172-52=（17+5）×（17-5）=22×12=8×33，
（3）两个奇数的平方差一定能被8整除；
设较大的奇数为（2n+1）较小的奇数为（2n-1），
则，（2n+1）2-（2n-1）2=[（2n+1）+（2n-1）][（2n+1）-（2n-1）]=8n，
∴（2n+1）2-（2n-1）2=8n．即：任意两个奇数的平方差是8的倍数
【点睛】
本题考查平方差公式及其应用，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．。