2021年高三上学期12月测试数学试题 Word版含答案

2021年高三上学期12月测试数学试题 Word 版含答案
班级 姓名 得分______
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答
案写在答题纸的指定位置上.
1．已知复数满足（为虚数单位），则= ▲ ．2
2．已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{x |x 2－1＞0}，则A ∩B ＝▲________．{2} 3. 设点是角终边上一点，若，则 ▲ .
4．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为，则为整数的概率是 ▲ ．
5. 执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ▲ ．-1
6．直线截得的弦AB 的长为 ___8______
7. 已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为 2 8. 已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数 ▲ 9．设的内角的对边分别为，若，则 或3 ▲
10．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →
＝1，则BD →
·BE →
的值为▲________．3
11. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为线段的中点，若，则该椭圆的离心率的值为
12．过点作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线,切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点，则点的坐标为 ▲ ．
13．如图，点C 为半圆的直径AB 延长线上一点，AB=BC=2， 过动点P 作半圆的切线PQ ，若,则的面积的 最大值为
14．中，，．若椭圆以为长轴，且过点，则椭圆的离心率是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题纸的指定区域内.[ 15. (本小题满分14分)
在△ABC 中，，，点D 在BC 边上．
（1）若AD 为的平分线，且BD 1，求△ABC 的面积；
（2）若AD 为△ABC 的中线，且AD ，求证：△ABC 为等边三角形． 15．（1）在△ABD 中，，在△ACD 中，，
相除得：AC =2AB ． ………………………………………3分 在△ABC 中，2222π2cos 393BC AB AC AB AC AB =+-⋅==，
∴AB =，AC =2………………………………………6分 ∴……………………………7分
（2）∵，∴()()
22222112cos 44AD AB AC AB AC A AB AC AB AC =++⋅=++⋅
∴………………………………9分 又，
相减得，………………………………………11分 ∴，∴
即∶AB =AC ，又∠C =60°，∴三角形ABC 为等边三角形．………………14分
B C
P
Q
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥中，与交于点且平面
平面为棱上一点.
（1）求证：
（2）若求证：平面
（1）因为平面底面，平面底面，，
平面，所以平面，又因为平面，
所以．……………………6分
（2）因为，，与交于，所以，
又因为，所以，所以，又因为平面，平面，所以平面．……………………14分
17. (本小题满分14分)
平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F1（0，－c），F2（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中）的左、右顶点分别为D、B，
⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A 、B 、M 、O 、C 、D （O 为坐标原点）依次均匀分布在x 轴上，问直线MF 1与直线DF 2的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．
解：（1）设⊙M 的方程为，
则由题设，得解得2,0,.D E F c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=-⎪⎪⎩
………………………3分
⊙M 的方程为，
⊙M 的标准方程为． …………………………………5分 （2）⊙M 与轴的两个交点，，又，，
由题设 即 所以………………………7分 解得，即 ．
所以椭圆离心率的取值范围为．………………………………………10分 （3）由（1），得．由题设，得．
∴，．
∴直线MF 1的方程为， ①
直线DF 2的方程为． ②…………………………………13分 由①②，得直线MF 1与直线DF 2的交点，易知为定值，
∴直线MF 1与直线DF 2的交点Q 在定直线上．…………………14分
18．(本小题满分16分)
某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半
径. 假定拟建体育馆的高米.
（1）若要求米，米，求与的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；
（3）若，求的最大值.
（参考公式：若，则）
（1）因为，解得. …………… 2分
此时圆，令，得，
所以，将点代入中，解得. ………… 4分
（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，则由题意知对恒成立， 8分
所以恒成立，而当，即时，取最小值10，
故，解得. ………… 10分
（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，
从而，………… 12分
又因为
252)
()5(
2525
t t
f t
t t t t
-
'==
--⋅
，令，得，………… 14分
当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.
答：当米时，的最大值为25米. …………16分（说明：本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）
19. (本小题满分16分)
已知数列，满足，，，．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设数列满足，对于任意给定的正整数，是否存在正整数，()，使得，，成等差数列？若存在，试用表示，；若不存在，说明理由． 19．（1）因为，所以，
则14224
2221221n n
n n n n n n n n
a b b b a b a b b b +=-
=-=-=
++++， ………………………2分 所以，
又，所以，故是首项为，公差为的等差数列， ……4分 即，所以． ………………………6分 （2）由（1）知，所以， ①当时，，，，
若，，成等差数列，则（）， 因为，所以，，，，
所以（）不成立． …………………………9分 ②当时，若，，成等差数列， 则，所以，
即，所以， ………………………12分
欲满足题设条件，只需，此时， ………………14分 因为，所以，，
即． …………………………15分 综上所述，当时，不存在满足题设条件；
当时，存在，，满足题设条件．…16分
20. (本小题满分16分)
已知函数(其中是自然对数的底数)，，． ⑴记函数，当时，求的单调区间；
⑵若对于任意的，，，均有成立，求实数的取值范围． 解：⑴，
，
得或，…………………………………2分 列表如下：（，）
的单调增区间
为：，，减区间为； ……6分 ⑵设，是单调增函数，，
2112121221()()|()()|()()()()()()f x f x g x g x f x f x g x g x f x f x ∴->-⇒-<-<-；…8分
①由得：，
即函数在上单调递增， 在上恒成立，在上恒成立； 令，， 时，；时，； ，
； ………………………………12 ②由得：，
即函数在上单调递增，
在上恒成立， 在上恒成立；
函数在上单调递减，当时，， ，
综上所述，实数的取值范围为．…………………………16分Zr20543 503F 倿26709 6855 桕23753 5CC9 峉
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