高二下学期期中考试理科数学试卷

安徽省滁州中学-高二下学期期中考试理科数学试卷
（分值：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合，，则 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ）
（2）复数
（ ） （A ）i （B ） （C ）12-13 （D ） 12+13 （3） （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
（4）下列命题中的假命题．．．是 （ ） （A ）， （B ），
（C ）， （D ）， （5）函数的图像关于直线对称的充要条件是 （ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） （6）已知随机变量服从正态分布,若,则
（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ） （7）函数的零点所在的一个区间是
（A ） （B ） （C ） （D ） （8）已知与之间的一组数据：
7
必过
（A ）点 （B ）点 （C ）点 （D ）点
（9）函数的图像大致为
{}1,2,3M ={}2,3,4N =M N ⊆N M ⊆{}2,3M
N ={}1,4M N =3223i
i
+=-i -i i 552log 10
log 0.25
0124R x ∀∈1
2
0x -＞N x *∀∈()10x -2
＞R x ∃∈lg x ＜1R x ∃∈tan 2x =2()
1f x x mx 1x 2m =-2m =1m =-1m =Z ),0(2
σN (2)0.023p Z
=≤≤-)22(z p 0.4770.6250.9540.977()23x
f x x =+(2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)x y a ()2,2()0,5.1()2,1()4,5.1x x
x x
e e y e e --+=-
（A ） （B ） （C ） （D ）
(10) 在的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有
（A ） （B ） （C ） （D ）
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. （11）函数的定义域为 ；
（12）在展开式中，系数为有理数的项共有 项.
（13）已知集合，，若则实数的取值范围是
，则
（14）规定符号表示一种运算，即其中、；若，
则函数的值域
（15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。

先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事
件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。

①； ②； ③是两两互斥的事件； ④事件与事件相互独立；
⑤的值不能确定，因为它与中哪一个发生有关
三、解答题：本大题共6小题，共75分．写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分12分）
已知，设命题函数在上单调递减，命题设函数
1,2,3,4,5,6,71234567,,,,,,a a a a a a a 5767208641152234
x x y x
--+=
204
(3)x y +{}2|log 2A x x =
≤(,)B a =-∞A B ⊆a (,)c +∞c =""∆,b a ab b a ++=
∆a +∈R b 31=∆k x k x f ∆=)(12,A A 3A B ()25P B =
()15|11
P B A =123,,A A A B 1A ()P B 123,,A A A 0a
:p x y a R :q 1 x
y 1
O
x
y
O 1
1
x
y
O 1 1
x y 1 1
O
，且函数恒成立，若为假，为真，求的
范围.
（17）（本小题满分12分）
已知，求
(Ⅰ)的值
(Ⅱ)及的值； （Ⅲ）各项二项式系数和。

（18）（本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ)判断的奇偶性；
(Ⅱ)判断在内单调性并用定义证明； （Ⅲ）求在区间上的最小值．
（19）（本小题满分12分）
从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问： (Ⅰ)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (Ⅱ)上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？
（Ⅲ）在(Ⅰ)中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （IV ）在(Ⅰ)中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？ （20）（本小题满分13分）
设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为，购买乙种商品的概率为，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

(Ⅰ)求进入商场的位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (Ⅱ)求进入商场的位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （Ⅲ）记表示进入商场的位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求⎩⎨
⎧<≥-=a
x a a x a x y ,2;
2,221y q p ∧q p ∨a 7
722107)21(x a x a x a a x ++++=- 710a a a +++ 6420a a a a +++7531a a a a +++1()f x x x =+
)(x f )(x f [1,)+∞()f x [3,1]--0.50.611ξ3ξ
的分布列及期望。

（21）（本小题满分14分）
已知定义域为的函数对任意的，且，
(Ⅰ)求，并证明：
； (Ⅱ)若为单调函数，，向量，
是否存在实数，对任意的，恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
附加题（实验班做）
是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都 有成立？请给出结论，并加以证明．
滁州中学2019—2019学年度第二学期高二理科数学期中考试答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
10.【解析】：先让数字1，3，5，7作全排列，有种，再排数字6，由于数字
6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2，4，在剩下的4个空隙中排上
2，4，有种排法，共有种，故选C.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11 12. 6 13. 4
14.
15. 【答案】②③
【解析】易见是两两互斥的事件，而
R ()f x 0)(,,≠∈x f R y x ()()()f x y f x f y (0)f ()
()
()
f x f x
y f y ()f x (1)
2f )cos ,2
sin 2(),1,2cos 2(2
θθ
λθ==λ)2,0[πθ∈0)3()(≤-⋅f b a f )(x f k
5
555个k x =
5
2555)(个k x f =42
4A 42443864A A ⨯⨯=[4,0)(0,1]-c =[)1,+∞123,,A A A。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解：（本小题满分12分）
若是真命题，则，…………………………………………………………2分
若是真命题，则 …………………………………………………6分 为假，为真，则一真一假，
若真假，则，若假真，则，………………………………10分
可知 ………………………………12分 17．（本题满分12分）
(Ⅰ)令，则…………………………………………………2分 (Ⅱ)令，则，令，则 于是
； .........................................................5分 (8)
分
（Ⅲ）各项二项式系数和 …………………12分
18．（本题满分12分） (Ⅰ) 是奇函数 ……………………………………… 3分
(Ⅱ)在内是增函数 . 证明：设 且
则= 即
故在内是增函数. ………………………………………… 9分 （Ⅲ）由（1）知 是奇函数，由（2）知在内是增函数. 在上是增函数
当时，有最小值为 ……………………………… 12分
19．（本小题满分12分）
(Ⅰ)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有种情况；
第二步在5个奇数中取4个，可有种情况； 第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有种情况，
所以符合题意的七位数有个．……………………………3分
(Ⅱ)上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．……………………6分 （Ⅲ）上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有
个． ……………………………………………9分
()()()1235524349()|||10111011101122
P B P B A P B A P B A =++=
⨯+⨯+⨯=p 01a q 1
2
a
p q p q p q 1
02
a p q 1a 1
(0,][1,
)2
a 1=x 1710-=++a a a 1-=x 2187763210=-++-+-a a a a a a 0=x 10=a 27321-=+++a a a a 10947531-=+++a a a a 10936420=+++a a a a 12827
771707==+++C C C )()1
(1)(x f x
x x x x f -=+-=-+
-=-∴
)(x f )(x f ),1[∞+),1[,21∞+∈x x 21x x <211221221121)(1
1)()(x x x x x x x x x x x f x f -+-=--+
=-2
12121)1()(x x x x x x -- 1,02121><-x x x x ∴0)()(21<-x f x f )()(21x f x f <)(x f ),1[∞+)(x f )(x f ),1[∞+∴)(x f ]1,3[--∴3-=x )(x f 3
10-3
4C 45C 7
7A 34C 45C 1008007
7=A 34C 144003
35545=A A C 34C 57602224335545=A A A C C
（IV ）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个
空档，共有个. …………………………………12分
20．（本小题满分13分）
解：记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，
记表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，
记表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种， (Ⅰ)
……………………3分
(Ⅱ) ，
(6)
分
（Ⅲ），故的分布列
，
，
所以 …………………………………12分
21（本小题满分14分）
……………………………………………………………………4分
……………………………………………………………………6分
288003
53445=A C A A B C D C A B A B =⋅+⋅()()P C P A B A B =⋅+⋅()()
P A B P A B =⋅+⋅()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅0.50.40.50.6=⨯+⨯0.5=D A B =⋅()()P D P A B =⋅()()P A P B =⋅0.50.4=⨯0.2=()()10.8P D P D =-=()3,0.8B ξ
ξ()300.20.008P ξ===()1
2310.80.20.096P C ξ==⨯⨯=()22320.80.20.384P C ξ==⨯⨯=()330.80.512P ξ===30.8 2.4E ξ=⨯
=
……………………………………………………………………14分
附加题：
解：存在符合条件的二次函数． …5分
设，则当时有： ①；
②；③．
联立①、②、③，解得．于是，．10分 下面证明：二次函数符合条件．
c bx ax x f ++=2
)(3,2,1=k 55525)5(=++=c b a f 5555553025)55(=++=c b a f 555555
555308025)555(=++=c b a f 0,2,59===
c b a x x x f 259
)(2+=x x x f 25
9)(2
+=
因为， 同理：； …15分 ． 所以，所求的二次函数符合条件． ……20分
)110(9
5)10100101555515
-=++++=-k
k k
（个)110(9
555525
2-=k
k
个)110(95
2)]110(95[59))110(95()555(25
-⨯+-=-=k k k k f f 个)110(952)110(952-⨯+-=
k k )110)(110(95+-=k k 5
22555)110(95
个k k =-=x x x f 25
9)(2
+=。