2023-2024学年安徽省芜湖市芜湖市南陵区春谷中学八年级(上)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年安徽省芜湖市芜湖市南陵区春谷中学八年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如图，在中，画出AC边上的高，正确的图形是()
A. B.
C. D.
2.下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是()
A.3cm，4cm，8cm
B.8cm，7cm，15cm
C.13cm，12cm，20cm
D.5cm，5cm，11cm
3.下列四个图形中，是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
4.根据下列已知条件，能画出唯一的的是()
A.，
B.，，
C.，，
D.，
5.下列说法中正确的是()
A.三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部
B.三角形中至少有一个内角不小于
C.直角三角形仅有一条高
D.三角形的外角大于任何一个内角
6.如图，在中，，AB的垂直平分线DE交AC于点D，垂足为
E，若，，则AC的长为()
A.5cm
B.6cm
C.7cm
D.8cm
7.在中，的平分线与的外角平分线相交于点D，，
则等于()
A.
B.
C.
D.
8.如图，在中，，D为BC上的一点，在AD的右侧作，
使得，，DE交AC于点O，连接CE，若，
则的度数为()
A.
B.
C.
D.
9.定义：当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中称为“友好角”.如果一个“友好三角形”的一个内角为，那么这个三角形的“友好角”的度数为() A. B. C.或 D.或或
10.如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分，，下列结论
正确的是()
A.
B.
C.
D.与的大小关系无法确定
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。

11.如图，，若想用三角形判定条件“边边边”来证明
≌，则需要添加的条件是______.
12.如图，在中，E为AB中点，D为边AC上的动点，连接DE，
交DE的延长线于点F，若，则的值是______.
13.如图，在中，，点D在AB上，将沿CD折叠，
点B落在边AC的点E处.若，则的度数为______
14.如图，已知，AD平分，且于点D，则
______
15.如图，在中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延
长交AC于点F，若，，，则CF的长为
______.
三、解答题：本题共8小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题8分
一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形是几边形.
17.本小题8分
如图，在中，点D是BC的中点，过点D作交AB于点E，连接若的周长为26，，求的周长.
18.本小题8分
如图，，，点D在AC边上，求证：≌
19.本小题8分
已知a，b，c是的三边长.
若a，b，c满足，试判断的形状；
化简：
20.本小题8分
在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上小正方形的顶点称为格点，请解答下列问题：
画出关于y轴对称的，并写出点为______，______
求出的面积为______.
在y轴上存在一点P使得最小，在图中画出点P的位置，则P点的坐标为______，______，的最小值为______.
21.本小题8分
如图，点D是内部的一点，，过点D作，，垂足分别为E、F，且求证：为等腰三角形．
22.本小题10分
小明在做数学作业时，遇到这样一个问题：如图，，，请说明的道
理.小明动手测量一下，发现确实相等，但不能说明道理，请你帮助说明其中的理由.
23.本小题12分
如图，在中，，，点P从点B出发沿线段BA向点A移动，点Q同时从点C出
发沿线段AC的延长线移动，点P与点Q移动的速度相同，线段PQ与线段BC相交于点
如图①，当，时，求证：；
如图②，过点P 作
于点E ，在PQ 移动的过程中，DE 的长是否发生变化，若改变，请说明理
由；若不变，请求出其值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．
根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．
【解答】
解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线，垂足为D，
纵观各图形，A、B、C都不符合题意，
D符合高线的定义．
故选
2.【答案】C
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．解：A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，能够组成三角形；
D、，不能组成三角形．
故选：
此题考查了三角形的三边关系．
判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形，故A选项错误，不符合题意；
B、不是轴对称图形，故B选项错误，不符合题意；
C、不是轴对称图形，故C选项错误，不符合题意；
D、是轴对称图形，故D选项正确，符合题意；
故选：
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴，根据定义，结合图形即可求解．
本题主要考查轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念，数形结合是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：
A选项中，，，
两边对应相等，不能判定两三角形全等，
故A选项不符合题意；
B选项中，，，，
边边角不能判定两三角形全等，
故B选项不符合题意；
C选项中，，，，
根据ASA可判定两三角形全等，
故C选项符合题意；
D选项中，，，
一个角和一条边不能判定两三角形全等，
故D选项不符合题意，
故选：
根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误；
B、如果三角形中每一个内角都小于，那么三个角的和小于，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确；
C、直角三角形有三条高，故本选项错误；
D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本选项错误，
故选
【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高的定义及性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
根据三角形的角平分线、中线、高的定义及性质判断A；
根据三角形的内角和定理判断B；
根据三角形的高的定义及性质判断C；
根据三角形外角的性质判断
6.【答案】B
【解析】解：，，，
，
垂直平分AB，
，
，
故选：
根据线段垂直平分线的性质求出，求出，根据三角形外角的性质求出
，根据含角的直角三角形的性质求出
BD，即可求出
本题考查了含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：中，的平分线与的外角平分线，
，
又，
，
，
故选
根据角平分线的性质及三角形内角与外角的关系解答．
此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
8.【答案】A
【解析】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
由，得，由，可推导出，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明≌，得，由，得，所以
，则，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质、三角形内角和定理等知识，证明≌是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：当的角为友好角时，则友好角为；
当不是友好角，而是友好角的一半时，则友好角为：；
当既不是友好角，也不是友好角的一半时，则有：，
解得：，
综上所述，这个三角形的友好角为：或或
故选：
分角进行讨论，根据友好角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．10.【答案】B
【解析】解：如图，在AD上截取，
平分，
，
在和中，
，
≌，
，
在中：，
故选：
在AD上截取，≌，由即可求解．
本题考查了三角形中三边的关系，三角形全等的判定及性质，掌握性质，并根据题意作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定有关知识，根据全等三角形的判定即可求解．
【解答】
解：，，
当时，≌，
故答案为
12.【答案】5
【解析】解：，
，
为
AB中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：
由平行线的性质可得，由
ASA证明≌，得到，最后由
即可得到答案．
本题主要考查了平行线的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行线的性质、三角形全等的判定与性质是解题的关键．
13.【答案】38
【解析】解：在中，，
，
将沿CD折叠，点B落在边AC的点E处，
，
是的一个外角，，
，
即，
解得：
故答案为：
由三角形的内角和定理可得，由折叠的性质可得
，再由是的一个外角，则有，从而可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角，折叠的性质，解答的关键是结合图形明确清楚角与角之间的关系．
14.【答案】12
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E，
平分，，
，，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
故答案为：12；
延长BD交AC于点E，则可知为等腰三角形，则，，可得出
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，由得到，是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图，延长AD至G，使，连接BG，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
延长
AD至G，使，连接BG，可证明≌，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和
差即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
16.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
依题意得，
，
这个多边形是7边形．
【解析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．
17.【答案】解：点D是BC的中点，，
是线段BC的中垂线，
，
的周长为26，
，
的周长
【解析】由题意可知，DE是线段BC的中垂线，进而得到，从而得到的周长等于
的周长加上BC的长，即可得解．
本题考查中垂线的性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18.【答案】证明：和BD相交于点O，
在和中，
，
又，
，
在和中，
，
≌
【解析】根据全等三角形的判定即可判断≌
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定．
19.【答案】解：为等腰三角形或等边三角形；理由如下：
，
或或，，
或或，
为等腰三角形或等边三角形；
，b，c是的三边长，
，，，
原式
【解析】根据非负数的性质，可得出或或，进而得出结论；
利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
此题考查因式分解的应用，多项式乘多项式，三角形三边关系，解答本题的关键是利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
20.【答案】
【解析】解：如图所示：
，
故答案为：，2；
的面积为；
如图所示，连接交y轴于点P，此时的值最小，
设的解析式为，将点，代入得：
，
解得：，
的解析式为，
当时，，
，
，
，
的最小值为：，
故答案为：0，2；；
根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的，进而可得点；
根据长方形减去3个三角形的面积即可求解．
连接交y轴于点P即可；
本题考查了作轴对称图形，轴对称求线段最值问题，勾股定理求两点距离，坐标与图形，数形结合是解题的关键．
21.【答案】证明：，，
在和中，
，
，
，
，
，
即，
为等腰三角形．
【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
先证明，再结合即证
.
22.【答案】解：连接BC，
，，
又，
在和中，
，
≌，
【解析】连接BC，则，又已知，，可以判定≌，即可求解．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，需要把相等的线段，通过转化，放在两个三角形中求全等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
23.【答案】证明：，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
点P与点Q移动的速度相同，
设，
，，
，
，
，
，，
；
解：DE的长不变，理由如下，
过P点作交BC于F，
，
，
，
，
，
，
由题意，，
，
，
，
又，
≌，
，，
，
，
【解析】根据等边三角形的性质得到，根据垂直的定义得到
，推出，设，得到，，列方程即可得到结论；
过
P点作交BC于F，根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到求得，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。