高考数学新课标A版必修4课件2-2-3

解析 由B→D＝2D→C，知B→D＝23B→C.又∵B→C＝b－c， ∴B→D＝23(b－c)， ∴A→D＝A→B＋B→D＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.
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第二章 2.2 2.2.3
高考调研
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2．已知 O，A，B 是平面上的三点，直线 AB 上有一点 C，
满足 2A→C＋C→B＝0，则O→C为( )
【解析】 记 3m＋2n＝a.① m－3n＝b.② 3×②得 3m－9n＝3b.③ ①－③得 11n＝a－3b. ∴n＝111a－131b.④ 将④代入②有 m＝b＋3n＝131a＋121b.
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第二章 2.2 2.2.3
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探究 3 在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它 所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法 与解实数的二元一次方程组的方法一致．
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第二章 2.2 2.2.3
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(3)真命题．由数乘定义可知； (4)假命题． ∵a－b 与 b－a 是相反向量， ∴a－b 与－(b－a)是相等向量．
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第二章 2.2 2.2.3
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探究 1 (1)易把 b－a 与－(b－a)混淆． (2)对数乘运算的理解，关键是对数的作用的认识，λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向，模是|a|的|λ|倍； λ＝0 时，λa＝0.
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第二章 平面向量
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第二章 平面向量
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2．2 平面向量的线性运算
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第二章 平面向量
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2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
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第二章 平面向量
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授人以渔
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第二章 2.2 2.2.3
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【解析】 (1)真命题，∵ 2>0，∴ 2a 与 a 同向． 又| 2a|＝ 2|a|，∴ 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)真命题．∵－3<0， ∴－3a 与 a 方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a 与 a 方向相同且|6a|＝6|a|. ∴－3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的12；
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探究 4 解决与中点相关的问题，要注意到中点分线段为相 等两段后成相反向量这一特点，然后利用向量加减法的三角形法 则，进行适当的变形就能使问题得以解决，还要注意重心的性质 的应用．
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例 3 若 3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中 a、b 是已知向量， 求 m、n.
【思路分析】 此题可以把已知条件看作向量 m、n 的方程， 通过方程组的求解获得 m、n.
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第二章 2.2 2.2.3

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第二章 2.2 2.2.3
高考调研
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思考题 1 已知 λ∈R，则下列命题正确的是( )
A．|λa|＝λ|a|
B．|λa|＝|λ|·a
C．|λa|＝|λ|·|a|
D．|λa|>0
【答案】 C
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例 2 将112[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为( )
课后巩固
课时作业
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第二章 2.2 2.2.3
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要点 1 向量的数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa ，它的模与方向 规定如下： ①|λa|＝ |λ|·|a| .
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②λa(a≠0)的方向当 当
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思考题 3 (1)已知 3(x－a)＋2(x＋2a)－4(x＋a－b)＝0，则 x ＝________.
(2)求 x、y，其中 a、b 是已知向量：12xx－－12yy＝ ＝ab， . 【答案】 (1)3a－4b (2)x＝43b－23a；y＝23b－43a
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第二章 2.2 2.2.3
高考调研
∴A→B＋A→C＝A→E. 又∵A→G＝23A→D＝23(12A→E)＝13A→E， ∴A→G＝13(A→B＋A→C)．
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课后巩固
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第二章 2.2 2.2.3
A．2O→A－OB B．－O→A＋2O→B
C.23O→A－13O→B
D．－13O→A＋23O→B
答案 A
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解析 由 2A→C＋C→B＝0，知点 C 在 BA 的延长线上，且点 A 是线段 BC 的中点，如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， O→C＋O→B＝2O→A，∴O→C＝2O→A－O→B.
λ>0 λ<0
时，与a方向相同 时，与a方向相反
特别地，当 λ＝0 或 a＝0 时，0a＝ 0 ，或 λ0＝ 0 .
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第二章 2.2 2.2.3
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要点 2 向量数乘的运算律 设 a，b 为任意向量，λ、μ 为任意实数，则有 (1)λ(μa)＝(λμ)a ； (2)(λ＋μ)a＝ λa＋μa ； (3)λ(a＋b)＝ λa＋λb . 要点 3 共线向量定理 向量 b 与非零向量 a 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使 得 b＝ λa .
思考题 4 在△ABC 中，G 是△ABC 的重心． 试证明：A→G＝13(A→B＋A→C)．
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第二章 2.2 2.2.3
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【证明】 ∵G 是△ABC 的重心，
∴延长 AG 交 BC 于点 D，再延长 AD 到 E，使A→D＝D→E. ∵D 是 BC 的中点， ∴四边形 ABEC 是平行四边形．
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思考题 2 (1)计算： 12[(3a－2b)＋23a－b]－76[12a＋37(b＋76a)]． (2)在△ABC 中，已知B→C＝3B→D，则A→D等于( ) A.13(A→C＋2A→B) B.13(A→B＋2A→C) C.14(A→C＋3A→B) D.14(A→C＋2A→B) 【答案】 (1)23a－2b (2)A
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1．(2013·衡水市联考)在△ABC 中，A→B＝c，A→C＝b，若点 D
满足B→D＝2D→C，则A→D＝( )
A.23b＋13c
B.53c－23b
C.23b－13c
D.13b＋23c
答案 A
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第二章 2.2 2.2.3
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∴A→C∥A→B.∴A，B，C 三点共线．
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课时作业（十九）
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第二章 2.2 2.2.3
题型一
向量数乘的定义及运算律
例 1 已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假， 并说明理由．
(1) 2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)－3a 的方向与 6a 的方向相反，且－3a 的模是 6a 的模的12； (3)－4a 与 4a 是一对相反向量； (4)a－b 与－(b－a)是一对相反向量．
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第二章 2.2 2.2.3
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探究 2 向量的加法、减法以及实数与向量的积，统称为向 量的线性运算，又称为向量的初等运算，它们的运算法则在形式 上很像实数加减法与乘法满足的运算法则，当然向量的运算与实 数的运算在具体含义上是不同的，但是由于它们在形式上相类 似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形手段 在向量的线性运算中都可以使用．
A．2a－b
B．2b－a
C．a－b
D．b－a
【思路分析】 关于实数与向量的积的有关运算问题，只须
按照实数与向量的积所满足的运算律进行运算即可．
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【解析】 原式＝112(4a＋16b－16a＋8b) ＝112[(4－16)a＋(16＋8)b] ＝－a＋2b＝2b－a. ∴应选 B.
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【解析】 解法一 ∵D 是 AB 的中点，∴B→D＝12B→A， ∴C→D＝C→B＋B→D＝－B→C＋12B→A. 解法二 由C→D＝12(C→B＋C→A)＝12[C→B＋(C→B＋B→A)]＝C→B＋12B→A ＝－B→C＋12B→A. 【答案】 B
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第二章 2.2 2.2.3
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1．向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？ 答：不能，如 λ＋a，λ－a 无意义．
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2．λa＝0⇔λ＝0 或 a＝0 对吗？
答：正确． 3．数乘可以伸缩向量的模，同时也可以改变向量的方向吗？ 答：当 λ>0 时，不改变方向，当 λ<0 时，所得向量与原向量 反向．
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第二章 2.2 2.2.3
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题型二 共线向量定理的应用 例 4 如图所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量C→D ＝( )
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第二章 2.2 2.2.3
高考调研 A.B→C－12B→A B．－B→C＋12B→A C．－B→C－12B→A D.B→C－12B→A
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第二章 2.2 2.2.3
高考调研 3.
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如图，以点 O 为起点的三个向量 a，b，c 的终点分别为 A， B，C，若 c＝α a＋β b 且实数 α＋β＝1，求证：A，B，C 三点共 线．
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第二章 2.2 2.2.3
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证明 A→B＝b－a，A→C＝c－a＝α a＋β b＝(α－1)a＋β b＝β b －β a＝βA→B.
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第二章 2.2 2.2.3
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4．①a＝λb⇒a 与 b 共线，对吗？ 答：正确． ②若 a 与 b 共线，一定有 a＝λb 吗？
答：不一定，当 b＝0，a＝0 时，λ 有无数个值；当 b＝0，a≠0 时，λ 无解；只有当 b≠0 时，才有 a＝λb.
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第二章 2.2 2.2.3
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5．若 a，b 不共线，则 a，b 中任何一个均不为 0，对吗？
答：正确，因为 0 和任意一个向量共线．
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第二章 2.2 2.2.3
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第二章 2.2 2.2.3
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