上海市闵行区八校2015届高三上学期期末联考数学(文理)试题 Word版含答案

闵行区2014学年第一学期期末考试八校联考 高三年级 数学 学科 试卷答案（文、理科）
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分． 1. 方程2log (34)1x -=的解x .2
2．不等式2(1)40x k x +-+>的解集为R ,则k 的范围为 .()3,5- 3．已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若
0(0)1
z iz z z
=≠（i 是虚数单位），则z i -
4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三
角形式表示).1
arcsin
3
5. 已知n
的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则n 8 6.已知将函数sin y x =的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向左平
移
4π个单位,可得到函数()y f x =的图象,则()f x = .sin 312x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为________．
1
5
8.已知过点(0,1)的直线:tan 3tan 0l x y αβ--=的一个法向量为(2,1)-，则tan()αβ+= 1
9. 若对任意实数x ,都有1()log (2)1x a f x e -=+≤-,则实数a 的取值范围是 1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：
正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续．若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为
2
，则最小正方形的边长为__________．1
32
11. 设0P 是抛物线2
2y x =上的一点,12,M M 是抛物线上的任意两
点,123,,k k k 分别是01122,,P M M M M P 的斜率,若1234k k k -+=,则0P 的坐标为
(1,2)
.
12．（理） 求函数()f x =
（文）求函数2()23f x x
x =-++
的最小值 3
13.已知,αβ是平面上两个互相垂直的单位向量，且()
(3)40αγβγ-⋅-=,则γ的最大值为 5
14（理）.已知函数()sin
,2
f x x π
=任取,t R ∈记函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为,t M 最
小值为,(),t t t m h t M m =-则函数()h t 的值域为
1⎡⎢⎣ 14.（文）已知公差为d 等差数列{}n a 满足0d >,且2a 是14,a a 的等比中项。

记
*2()n n b a n N =∈,则对任意的正整数n 均有12
11
1
2n
b b b +++
<,则公差d 的取值范围是 1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分．
15.已知数列{} {}n n a b 、，
“lim lim n n n n a A b B →∞
→∞
==，”是“l i m ()n n n a b A B →∞
+=+”成立的（ A ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件
16．某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人．为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（ D ）
(A) 20． (B) 18． (C) 15． (D) 10．
17. 函数121111
1
(),(),,(),
,()
()
n n f x f x f x x x f x x f x +=
==
++则函数2015()f x 是（ A ）
（A ）奇函数但不是偶函数 （B ）偶函数但不是奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数又不是偶函数
18. （理）若曲线C 在顶点
O 的角α的内部,A 、B 分别是曲线C 上相异的任意两点，且AOB α≥∠，我们把满足条件的最小角α叫做曲线C 相对点O 的“确界角”。

已知O 为坐标
原点，曲线C 的方程为2y ⎧⎪=⎨⎪⎩(0)(0)x x ≥<，那么它相对点O 的“确界角”等于（ B ）
（A ）3
π （B ）512π （C ）712π （D ）23π
（文）已知M 是椭圆2
213
x y +=上任意一点,P 是线段OM 的中点,则12PF PF ⋅有( D ) (A ) 没有最大值,也没有最小值 (B) 有最大值,没有最小值 (C) 有最小值,没有最大值 (D) 有最大值和最小值
三、解答题
19、（本题满分12分，第一小题满分5分，第二小题满分7分） 已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点． （1）求异面直线AE 与1DD 所成角的大小（结果用反三角表示）； （2）求四面体D AED 1的体积. 解：（1）由11//CC DD 知,
AEC ∠就是异面直线AE 与1DD 所成角.
（2分）
连接AC ，在ACE Rt ∆中，22,1==AC EC ，
所以22tan ==∠EC
AC
AEC 22arctan =∠⇒AEC . 即异面直线AE 与1DD 所成的角为22arctan ；（5分）
（利用空间向量同样给分） （2）算出1ADD ∆的面积2=S
（7分）
E 到平面1ADD 的距离就是三棱锥的高，2==CD h .
（9分） 该四面体D AED 1
的体积3
4
311=⋅=-h S V ADD E . （12分） 20、（本题满分14分，第一小题满分9分，第二小题满分5分）
如图，一个水轮的半径为()4m ，水轮圆心O 距离水面()2m ，已知水轮每分钟转动5圈， 如果当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间。

（1）将点P 距离水面的高度米）(z 表示为时间秒）(t 的函数，求其解析式； （2）求点P 第一次到达最高点时所需要的时间。

解：（1）如图建立直角坐标系，设角φ)02
(<<-
φπ
是以ox 为始边，0OP 为终边的角，OP 每分钟内所转过的角为 t 6
)6025(
π
π＝⨯，（3
分）
得4sin(
)26
z t π
φ=++，
（5分）
当0t =时，0z =, 得1sin 2φ=-
，即6
π
φ=-，（8分）
故所求的函数关系式为4sin()2
6
6
z t π
π
=-
+（9分）
（2）令4sin()266
6z t π
π
=-
+=，得sin()166
t ππ
-=，
（11分）
取
2
6
6
π
π
π
=
-
t ，得4t =，故点P 第一次到达最高点大约需要4秒
（14分）
21、（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分）
A
1
已知()11
3
x f x -=，()22
3
x f x a -=⋅，（x R ∈，0a >）．函数()f x 定义为：对每个给定
的实数x ，()()()()()
()()112212,,
,.f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧⎪=⎨
>⎪⎩
（1）若()()1f x f x =对所有实数x 都成立，求a 的取值范围；
（2）设()223g x x bx =-+．当2a =时，若对任意m R ∈，存在[]1,2n ∈，使得
()()f m g n ≥，求实数b 的取值范围；
解：（1）“(
)()1f x f x =
对所有实数都成立”等价于“()()12f x f x ≤恒成立”，（1分）
1
2
3
3
x x a --≤⋅，即312log x x a ---≤恒成立，，
（3分）
()
max
121x x ---=，所以3log 1a ≥，，
（6分）
a 的取值范围是[)3,+∞．
，（7分）
（2） 当2a =时，()1
323
313,log 2,22
3123,log 2,
22
x x x f x x --⎧≤+⎪⎪=⎨⎪⋅>+⎪⎩
对任意m R ∈，存在[]1,2n ∈，使得()()f m g n ≥⇔()()min min f x g x ≥，，
（9分）
()min 1f x = ，
（10分）
()()223g x x b b =-+-，当[]1,2x ∈时，()2min 42,1
3,1274,2b b g x b b b b -<⎧⎪
=-≤≤⎨⎪->⎩
，
（12
分）
由1
421b b <⎧⎨
-≤⎩ 或
2
12
31b b ≤≤⎧⎨-≤⎩ 或 2
741
b b >⎧⎨
-≤
⎩)b ⇒∈+∞ ，（14分）
22、（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）
（理）如图已知椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右两
个焦点分别为1F 、2F ，设),0(b A ，若21F AF ∆为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知垂直于x 轴的直线交椭圆G 于不同的两点,B C ，且12,A A 分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线1AC 与2A B 交于点00(,)P x y ，求点00(,)P x y 的轨迹方程； （3）在(2)的条件下，过点P 作斜率为0
34x y 的直线l ，设原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.
解：（1）由题设得⎪⎩
⎪
⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a
（2分）
解得： 3,2=
=b a ，1=c
故C 的方程为13
42
2=+y x .
（4分）
（2）证明：111112(,),(,),(2,0),(2,0)B x y C x y A A --设则
1
11(2)2
y AC y x x -∴=
++直线的方程为 ①（5分）
直线2A B 的方程为1
1(2)2
y y x x =
-- ②（6分）
①×②，得2
2
2121(4)4
y y x x -=-- ③
222222
1111113(4)1,3412,434x y x x y y --+=∴+=∴=， 代入③得2
2
3(4)4y x =-，即
22143
x y -=，（8分）
因为是不同的两点,B C 两点所以0y ≠
所以点00(,)P x y 的轨迹方程为双曲线
22
1(0)43
x y y -=≠上（9分）
（3）设直线:l 0
000
3(),4x y y x x y -=
- （10分）
结合第（2）问的结论
2200
143
x y -=，整理得：004120x x y y --=3 （12分）
d =
=
于是 （14分）
22003412x y -=且00y ≠2
04
x ∴
>(0,2)d ∴=
所以d 的取值范围是(0,2)
（16分）
（文）如图已知椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，设
),0(b A ，若21F AF ∆为正三角形且周长为6.
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知垂直于x 轴的直线交椭圆G 于不同的两点,B C ，且12,A A 分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线1
AC 与2A B 交于点00(,)P x y ，求证：点00(,)P x y 在双曲线22
143
x y -
=上； （3）在(2)的条件下，过点P 作斜率为0
34x y 的直线l ，设原点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.
解：（1）由题设得⎪⎩
⎪
⎨⎧+==++=222622c b a c a a c a
（2分）
解得： 3,2=
=b a ，1=c
故C 的方程为13
42
2=+y x .
（4分）
（2）证明：111112(,),(,),(2,0),(2,0)B x y C x y A A --设则
1
11(2)2
y AC y x x -∴=
++直线的方程为 ①（5分）
直线2A B 的方程为1
1(2)2
y y x x =
-- ②（6分）
①×②，得2
2
2121(4)4
y y x x -=-- ③
222222
1111113(4)1,3412,434
x
y x x y y --+=∴+=∴=，
代入③得2
2
3(4)4y x =-，即
22143
x y -=，（8分）
因为点00(,)P x y 是直线1AC 与2A B 的交点，所以
22
00
143
x y -= 即点00(,)P x y 在双曲线
22
143
x y -=上（9分） （3）设直线:l 0
000
3(),4x y y x x y -=
- （10分）
结合第（2）问的结论
2200
143
x y -=，整理得：004120x x y y --=3 （12分）
d =
=
于是 （14分）
22003412x y -=且00y ≠2
04
x ∴
>(0,2)d ∴=
所以d 的取值范围是(0,2)
（16分）
23、（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分） （理）已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列}{n c 对任意*
n N ∈，都有12
1222
2
n
n n c c c a ++++
=成立，求122015c c c +++的
值． （3）若1
n n n
a b a +=
*()n N ∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积． 解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >
1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2
214=a a a ⋅
（2分）
由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ∴(*)n a n n N =∈ （4分）
（2）∵11n a n +=+，12
2122
2
n n c c c n +++
=+ 对*
n N ∈都成立 当1n =时，
1
22c =得14c = （5分）
当2n ≥时，由12
2122
2n n c c c n +++
=+①，及1
12
21
22
2
n n c c c n --+++
=② ①－②得
12
n
n c =，得2n n c = （8分）
∴4(1)
2(2)
n n
n c n =⎧=⎨
≥⎩ （9分）
∴2201423
2015
2016
1220152(12)4222
4212
c c c -++
+=+++
+=+=-（11分）
（3）对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t b b b =⋅
（12分）
∵1n n b n +=
，只需111
n k t n k t +++=⋅， （14分）
即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt
=++（15分）
即kt nt nk n =++，(1)
n k t k n
+=- 取1k n =+，则(2)t n n =+
（17分）
∴对数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在12
1n n b n ++=+和2222212n n n n b n n
+++=+
使得212n n n n b b b ++=⋅ （18分）
(文)将各项均为正数的数列{}n a 排成如图所示的三角形数阵(第n 行有n 个数,同一行下标小的
排在左边).n b 表示数阵中第n 行第1列的数.
12
345
67
8
9
10
a a a a a a a a a a
已知数列{}n b 为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为d 的等差数列,1121,17a a ==,1834a =.
(1)求数阵中第m 行第n 列),3,(m n m N n m ≤≥∈*
且的数mn A (用,m n 表示)； (2) 试问2015a 处在数阵中第几行第几列？
(3)试问这个数列中是否有2015这个数？有求出具体位置，没有说明理由. 解:(1)由已知可得:1
45112181,,17,234n n b b q a q d a q d -===+==+= …2分
解得:1
2,1,2n n q d b -=== ，12
)1(1
-+=-+=-n d n b A m m m n …4分
(2)由123621953+++
+=,…6分
123632016+++
+=,则2015195362-=…8分
知2015a 为数阵中第63行第62列的数. …10分
(3)假设2015为数阵中第m 行第n 列的数.由第m 行最小的数为1
2
m -,最大的数为
121m m -+-,
（12分）
知1
12
201521m m m --≤≤+-,…14分
当11m ≤时, 1
102
121010342013m m -+-≤+=<;…16分 当12m ≥时, 1
112
220482015m -≥=>
于是,不等式整数解.从而,2015不在该数阵中. …18分。