2021版新高考数学人教B版一轮核心素养测评 四十二 空间直角坐标系、空间向量及其运算

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核心素养测评四十二
空间直角坐标系、空间向量及其运算
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=x-2a,则x等于( )
A.(0,3,-6)
B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6)
D.(6,6,-6)
【解析】选B.由b=x-2a,得
x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).
2.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足||=||,则P点坐标为( )
A.(3,0,0)
B.(0,3,0)
C.(0,0,3)
D.(0,0,-3)
【解析】选C.设P(0,0,z),
则有
=,解得z=3.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角θ为
( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.因为(2a+b)·b =0,所以2a·b+b2=0,
所以2|a||b|c os θ+|b|2=0,又因为|a|=|b|≠0,
所以c os θ=-,所以θ=120°.
4.已知点A,B,C不共线,对平面ABC外一点O,在下列条件下,点P与A,B,C共面的是( )
A.=2-2-
B. =++
C.+=3-
D.+=4+
【解析】选C.C项可变形为=++,因为++=1, 所以点P,A,B,C共面;其他项不可以.
5.在空间四边形ABCD中,·+·+· = ( )
A.-1
B.0
C.1
D.不确定
【解析】选B.如图,令=a,=b,=c,
则·+· +·
=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)
=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.
【秒杀绝招】选B.如图,在空间四边形ABCD中,连接对角线AC,BD,得三棱锥A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体,因为正四面体的对棱互相垂直,
所以· =0, ·=0, ·=0.
所以·+·+·=0.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,则
c=________.
【解析】因为a∥b,所以==,
解得x=2,y=-4,
此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),
又因为b⊥c,所以b·c=0,
即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).
★★★答案★★★:(3,-2,2)
7.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中
点,c os<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________. 世纪金榜导学号
【解析】设PD=a,则A(2,0,0),B(2,2,0),
P(0,0,a),E1,1,.
所以=(0,0,a),=-1,1,.
由cos<,>=,所以=a·,所以a=2,所以E的坐标为(1,1,1).
★★★答案★★★:(1,1,1)
8.如图,已知在一个60°的二面角的棱上,有两个点A,B,AC,BD分别是在这
个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段,且AB=4,AC=6,BD=8,则CD 的长
为________. 世纪金榜导学号
【解析】设=a,=b,=c,
由已知条件|a|=8,|b|=4,|c|=6,
<a,b>=90°,<b,c>=90°,<a,c>=60°,
||2=|++|2=|-c+b+a|2
=a2+b2+c2+2a·b-2a·c-2b·c=68,
则||=2.
★★★答案★★★:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,=a,=b,=c,点M,N分别是A1D,B1D1的中点.
(1)试用a,b,c表示;
(2)求证:MN∥平面ABB1A1.
【解析】(1)因为=-=c-a,所以==(c-a).
同理,=(b+c),
所以=-=(b+c)-(c-a)=(b+a)=a+b.
(2)因为=+=a+b,所以=,
即MN∥AB1,因为AB1⊂平面ABB1A1,MN⊄平面ABB1A1,所以MN∥平面ABB1A1.
10.已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值.
(2)若k a+b与k a-2b互相垂直,求实数k的值.
【解析】(1)因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以
a·b=(1,1,0)·(-1,0,2)=-1,
又|a|==,|b|==,
所以c os<a,b>===-,
即向量a与向量b的夹角的余弦值为-.
(2)方法一:因为k a+b=(k-1,k,2).
k a-2b=(k+2,k,-4),且k a+b与k a-2b互相垂直,所以
(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0,
所以k=2或k=-,所以当k a+b与k a-2b互相垂直时,实数k的值为2
或-.
方法二:由(1)知|a|=,|b|=,a·b=-1,
所以(k a+b)·(k a-2b)=k2a2-k a·b-2b2=2k2+k-10=0,得k=2或k=-.
(15分钟35分)
1.(5分)已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,设M,G分别是BC,CD的中点,则-+等于( )
A. B.3 C.3 D.2
【解析】选B.-+=-(-)==3.
2.(5分)已知非零向量与满足 +·=0且·=, 则△ABC为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
【解析】选D.由 +·=0知:∠A的平分线垂直于BC,所以△ABC为等腰三角形;由· =知∠A=60°,所以△ABC为等边三角形.
3.(5分)如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,有下列三个条件:①A1B⊥AC1;②A1B⊥B1C;③B1C1=A1C1.试利用①、②、③构造出一个正确的命题________.
【解析】设=a,=b,=c,由A1B⊥AC1⇔·=0⇔
(b-a+c)(-c-a)=0,
所以a·b=|a|2-| c|2,①
由A1B⊥B1C⇔·=0⇔(b-a+c)( c-b)=0,所以a·b=| b|2-| c|2,②
由B1C1=A1C1得| a|2=|b|2,③
由①②③不难看出①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.
★★★答案★★★:①②⇒③(或①③⇒②;②③⇒①)
4.(10分)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:
(1)·.
(2)·.
(3)EG的长.
(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.
【解析】设=a,=b,=c.
则|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,
==c-a,=-a,=b-c,
(1)·=c-a·(-a)
=a2-a·c=.
(2)·=(c-a)·(b-c)=(b·c-a·b-c2+a·c)=-.
(3)=++=a+b-a+c-b
=-a+b+c,||2=a2+b2+c2-a·b+b·c-c·a=,则||=.
(4)=b+c,=+=-b+a,
c os<,>==-,
由于异面直线所成角的范围是0,,
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
5.(10分)如图,在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是棱AB,BC上的动点,且AE=BF=x,其中0≤x≤a,以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz. 世纪金榜导学号
(1)写出点E,F的坐标.
(2)求证:A1F⊥C1E.
(3)若A1,E,F,C1四点共面,求证:=+.
【解析】(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0).
(2)因为A1(a,0,a),C1(0,a,a),
所以=(-x,a,-a),=(a,x-a,-a),
所以·=-ax+a(x-a)+a2=0,
所以⊥,所以A1F⊥C1E.
(3)因为A1,E,F,C1四点共面,
所以,,共面.
选与为在平面A1C1E上的一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2),使=λ1+λ2,
即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a)
=(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2),
所以解得λ1=,λ2=1.
于是=+.
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