人教新课标版数学高二-1.7定积分的应用要点讲解

定积分的应用要点讲解
一、要点精析 1.定积分的概念
教材上详细地给出了定积分的概念，对定积分的内涵可抓住以下几点进行理解： (1)“分割、近似代替、求和、逼近”是定积分定义的核心，体现了“化整为零、以不变代变、积零为整、以逼近代准确”的辨证思考方法，促使近似向精确转化，这种无限分割（微分）与无限求和（积分）的方法，是微积分的基本思想方法.
(2)定积分
()b
a
f x dx ⎰
的值与被积函数()f x 在积分区间[]a b ，有关，而与积分变量用什
么字母表示无关,即
()()()b
b b
a
a
a
f x dx f u du f t dt ===
⎰
⎰⎰（称为积分形式的不变性）．
(3)定积分的定义已假定下限a 小于上限b ，为方便起见，规定a b ≤时，交换定积分上、下限的位置，定积分改变符号，即
()()b
a
a
b
f x dx f x dx =-⎰
⎰，当a b =时，()0a
a
f x dx =⎰.
2.定积分的几何意义与物理背景 (1)几何意义:当()0f x ≥时,()b
a
f x dx ⎰
表示的是()y f x =与,x a x b ==和x 轴所围曲
边梯形的面积.
(2)物理背景:当()f x 表示速度关于时间x 的函数时,
()b
a
f x dx ⎰
表示的是运动物体从
x a =到x b =时所走过的路程.
3.定积分的性质
(1)1的定积分等于积分的上限与下限之差,即
1b
a dx
b a =-⎰.
(2)被积函数的常系数可提到积分号之前, 即()()b b
a
a
kf x dx k f x dx =⎰⎰
（k 为常数）.
(3)两个(可推广到有限个)函数的和(差)的定积分等于它们定积分的和(差),即
[()()]b
a
f x
g x dx ±=
⎰()()b
b
a
a
f x dx
g x dx ±⎰
⎰；
(4)定积分的积分区间具有可加性，即不论c b a ,,三点的相互位置如何，恒有
()()()b c
b a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+⎰
⎰⎰．
4.微积分基本定理
定理:如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()()f x F x '=,则有
()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-⎰
(*),式子*叫作牛顿-莱布尼茨公式，通常称()F x 是
()f x 的一个原函数.
剖析:(1)微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系———求导数与求积分互为逆运算,同时它也提供了计算定积分的一种简单有效方法．
(2)用微积分基本定理求定积分的关键是找到满足'
()()F x f x =的一个原函数()F x ，通常我们运用基本函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出()F x .
(3)根据导数知识，连续函数()f x 的原函数)(x F 不惟一，如()F x C +(C 为常数)也是函数()f x 的原函数,求定积分可以选取任意一个原函数，这对于定积分的求解没有影响.
(4)由定理易得：若()f x 在[,]a a -上连续,且为偶函数,则有0
()2();
a
a
a
f x dx f x dx -=⎰
⎰若()f x 在[,]a a -上连续,且为奇函数,则有
()0a
a
f x dx -=⎰
.
二、方法归纳
1.用定义求定积分的一般步骤
(1)分割：将区间[]a b ，分成n 份;(2)近似代替：取点i ξ(i ζ), 1[,]i i i x x ξ-∈(或
1[,]i i i x x ζ-∈;(3)求和：S 或s;(4)逼近:当最大的小区间的长度趋于0,S 与s 的差也趋于0,则S
与s 同时趋于某一个常数A,A 就是所求的定积分，即
⎰
b
a
dx x f )(=A.
2.求两曲线围成的平面图形面积
(1)求解步骤:①画出图形;②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限;③确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置;④写出平面图形面积的定积分表达式;⑤运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.
(2)面积公式:设由曲线(),()y f x y g x ==以及直线x a =,x b =所围成的平面图形的面积为S,则()()b
b
a
a
S f x dx g x dx =
-⎰
⎰()a b <.
3求简单几何积的体积
(1)求解步骤：①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形;②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限;③确定被积函数; ④确定旋转体体积的表达式（用定积分表示）；⑤求出定积分，即旋转体的体积.
(2)体积公式：设曲线()y f x =以及直线x a =,x b =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为V ，则V=2[()]()b
a
f x dx a b π
<⎰
三、友情提示
1.根据定积分定义求定积分比较繁琐，故一般利用微积分基本定理求定积分.
2.利用定积分求面积或体积时,要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
3.要特别注意，当()0f x ≤时,
()b
a
f x dx ⎰
不是()y f x =与,x a x b ==和x 轴所围曲边
梯形的面积S ，而是S 的相反数，即S =－
⎰
b
a
dx x f )(或()b
a
S f x dx =
⎰
．
4.利用微积分基本定理计算时，通常把求原函数()F x 与计算的定积分值用一串等式表示出来，注意,把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误．。