广东省广州市普通高中2020届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(9)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题09
直线、圆锥曲线
一、选择题
1 若抛物线x y =2
上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（ ）
A 1(,44±
B 1(,84±
C 1(,)44
D 1(,84
2 椭圆
124
4922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为（ ） A 20 B 22 C 28 D 24
3 若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在 抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为（ ） A ()0,0 B ⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C ()
2,1 D ()2,2 4 与椭圆14
22
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A 1222=-y x B 1422=-y x C 13
322=-y x D 1222
=-y x 5 若直线2+=kx y 与双曲线62
2
=-y x 的右支交于不同的两点，
那么k 的取值范围是（ ） A （315,315-
） B （315,0） C （0,315-） D （1,3
15
--）
6.直线x =2
2
12
y x +=的位置关系为
A.相离
B.相切
C.相交
D.不确定 7.抛物线2y x =的切线中，与直线240x y -+=平行的是
A.230x y -+=
B.230x y --=
C.210x y -+=
D.210x y --=
8.若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为
A.2
B.3
C.4
D.
9.过椭圆22
221(0)4x y a a a
+=>的一个焦点F 作直线交椭圆于,P Q 两点，若线段FP 和FQ 的长分
别为,p q ，则11
p q
+=
A.
4a B.1
2a
C.4a
D.2a 10.若直线:1(0)l y kx k =+≠被椭圆22
:14
x y E m +=截得的弦长为d ，
则下列被椭圆E 截得的弦长不是d 的直线是
A.10kx y ++=
B.10kx y --=
C.10kx y +-=
D.0kx y += 11.直线1y kx =+与椭圆22
15x y m
+=恒有公共点，则m 的取值范围是
A.(0,1]
B.(0,5)
C.[1,5)(5,)+∞U
D.[1,5) 12.设1F ，2F ，
为双曲线2
214
x y -=的两焦点，点P 在双曲线上，且满足122F PF π∠=，则△12F PF 的面积是
52 C.2 D 5 二、填空题
13AB 是抛物线2y x =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 . .
14．设双曲线22
1916
x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过F 且平行于双曲线的一条渐近线
的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 . .
15.过椭圆22
143
x y +=的一个焦点且与它的长轴垂直的弦长等于 .
16.过抛物线24y x =的焦点F 做垂直于x 轴的直线，交抛物线,A B 两点，则以AB 为直径的12.若直线y kx =与双曲线22
194
x y -=相交，则k 的取值范围为 ..
三、解答题
17．已知抛物线x y 42
=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是
FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）
18.P 为椭圆19
252
2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若
︒=∠6021PF F
（1） 求△21PF F 的面积； （2） 求P 点的坐标．
19．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．
20．已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两
切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
21.已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝20
3
，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为
2
2
，若圆与椭圆
相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．
22．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，
已知抛物线与双曲线的交点为
3
2
⎛
⎝
，．求抛物线与双曲线的方程．
参考答案
BDDAD ADCAD CA
13.
52 14.3215
15. 3 16.23()32-， 17．[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42
=的焦点F 的坐标为（1，0）
∵M 是FQ 的中点，∴
2
2122
y y x x =
+=⇒y
y x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴ 2
21
212y y x
x =
=⇒y
y y x x x 422422121==-==，
∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为2
12-=x y .
18. [解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①
2212
221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t
332
3
122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=
∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||2212
1y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将
433±
=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)
4
33,4135(-P 或)433,4135(-P 或)
4
33,4135(--
P
19、解：法一：设点M 的坐标为(x ，y)，
∵M 为线段AB 的中点，
∴A 的坐标为(2x,0)，B 的坐标为(0,2y)． ∵l 1⊥l 2，且l 1、l 2过点P(2,4)， ∴PA⊥PB，k PA ·k PB ＝－1.
而k PA ＝4－02－2x ，k PB ＝4－2y 2－0，(x≠1)，
∴
21－x ·2－y 1
＝－1(x≠1)． 整理，得x ＋2y －5＝0(x≠1)．
∵当x ＝1时，A 、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x ＋2y －5＝0.
综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.
法二：设M 的坐标为(x ，y)，则A 、B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM ， ∵l 1⊥l 2，∴2|PM|=|AB|.
而
∴=
化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程． 法三：设M 的坐标为(x ，y)，
由l 1⊥l 2，BO ⊥OA ，知O 、A 、P 、B 四点共圆， ∴|MO|=|MP|，即点M 是线段OP 的垂直平分线上的点． ∵k OP =
40
20--=2，线段OP 的中点为(1,2)， ∴y-2=-
1
2
(x-1)， 即x+2y-5=0即为所求．
20、解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L ：y ＝－2为准线的抛物线．
因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x 2
＝8y.
(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直， 设AB ：y ＝kx ＋2. A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋2，y ＝18
x 2
，
可得x 2
－8kx －16＝0，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16. 抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y′＝14
x.
所以过抛物线上A 、B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1k 2＝14x 1·14x 2＝1
16x 1·x 2
＝－1. 所以AQ⊥BQ. 21.解：∵e＝c
a
＝
a 2
－b 2
a 2
＝22
，∴a 2＝2b 2
. 因此，所求椭圆的方程为x 2
＋2y 2
＝2b 2
，
又∵AB 为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB 的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
(2－m)2＋2(1－n)2＝2b 2
，
(2＋m)2
＋2(1＋n)2
＝2b 2
，|AB|＝2 203
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
8＋2m 2＋4＋4n 2＝4b 2
，
8m ＋8n ＝0，
2m 2
＋n 2
＝2
20
3
⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
2b 2＝6＋m 2＋2n 2
，m 2＝n 2
＝103，得2b 2
＝16.
故所求椭圆的方程为x 2
＋2y 2
＝16.
22解．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线22
221x y a b
-=的一个焦点，且与双曲线实轴
垂直，已知抛物线与双曲线的交点为32⎛ ⎝．求抛物线与双曲线的方程．
解：由题意知，抛物线焦点在x 轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为22(0)y px p =>， 将交点32⎛ ⎝，代入得2p =，
故抛物线方程为24y x =，焦点坐标为(10)，， 这也是双曲线的一个焦点，则1c =． 又点32⎛ ⎝，也在双曲线上，
因此有
22
96
14a b -=． 又221a b +=，因此可以解得2213
44a b ==，，
因此，双曲线的方程为2
2
4413
y x -=．。