四川省内江市威远中学2020-2021学年高三3月月考数学(文)试题

四川省内江市威远中学2020-2021学年高三3月月考数学（文）
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}
2
0A x x x =+≤，{}
ln(21)B x y x ==+，则A
B =（ ）
A ．1,02⎛⎤
-
⎥⎝⎦
B ．1,02⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
C ．1,02⎛⎤
⎥⎝⎦ D ．11,2
⎡
⎤--⎢⎥⎣
⎦
2．已知,R a b ∈，复数21i
a bi i
+=+，则a b += A ．-2
B ．1
C ．0
D ．2
3．如果角α的终边过点(1,，则sin α的值等于（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．
D ．4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．142
π+
B ．
51
22π+
C 14+
D ．4+
6．已知直线:l y m =+与圆22:(3)6C x y +-=相交于A ，B 两点，若
120ACB ∠=︒，则实数m 的值为
A ．3+3
B ．3+或3-
C ．9或3
-
D ．8或2-
7．执行下面的程序框图，如果输入1a =，1b =，则输出的S =
A ．7
B ．20
C ．22
D ．54
8．材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为
S 2
a b c
p ++=
．这个公式被称为海伦-秦九韶公式
材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆． 根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ）
A B ．3
C ．
D ．6
9．已知函数24,1()ln 1,1
x x a x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若方程()2f x =有两个解，则实数a 的取值范
围是 A ．(,2)-∞
B ．(,2]-∞
C ．(,5)-∞
D ．(,5]-∞
10．设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y
C a b a b
-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点，
过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若12PF =，则C 的离心率为（ ）
A B ．2
C D 11．已知函数()2ln x
z e f x k x kx x
=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k
的取值范围是（ ）
A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．,2
e ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(]0,2
D ．[
)2,+∞ 12．在ABC 中，2
A π
=
，2AB AC ==，有下述四个结论：
①若G 为ABC 的重心，则133
1AG AB AC =
+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2
③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且MN =
AM AN ⋅的最小值为
3
2
④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则λ的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④
二、填空题
13．已知向量a ，b 满足a b ⊥，||1a =，|2|22a b +=，则||b =__________．
14．已知变量x ，y 满足3040240x x y x y +≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3z x y =+的最小值为__________．
15．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若1
cos 4
C =
，3c =，且cos cos a b
A B
=，则ABC 的面积等于__________． 16．如图，等腰PAB △所在平面为α，PA PB ⊥，4AB =，点C ，D 分别为PA ，
AB 的中点，点G 为CD 的中点.平面α内经过点G 的直线l 将PAB △分成两部分，把
点P 所在的部分沿直线l 翻折，使点P 到达点P'（'P ∉平面α）.若点P'在平面α内的射影H 恰好在翻折前的线段AB 上，则线段'P H 的长度的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*
22,n n S a n N =-∈.数列{}n b 是首项为
1a ，公差不为零的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式． （2）若n
n n
b C a =
，数列{}n c 的前项和为,n n T T m <恒成立，求m 的范围． 18．在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标x 和y ，制成下图，其中“*”表示甲村贫困户，“+”表示乙村贫困户.若
00.6x <<，则认定该户为“绝对贫困户”，若0.60.8x ≤≤，则认定该户为“相对贫困
户”，若0.81x <≤，则认定该户为“低收入户”；若100y ≥，则认定该户为“
今年能脱贫户”，否则为“今年不能脱贫户”.
（1）从乙村的50户中随机选出一户，求该户为“绝对贫困户”的概率；
（2）从甲村所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中任选2户，求选出的2户均为“低收入户”的概率；
（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标y 的方差的大小（只需写出结论）. 19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，M 是AB 的中点.
（1）证明：1//BC 平面1MCA ；
（2）若122AB A M MC ===，BC =1C 到平面1MCA 的距离.
20．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .已知以F 为圆心，半径为4的圆与l 交于A ，B 两点，E 是该圆与抛物线C 的一个交点，∠EAB ＝90°. (1)求p 的值；
(2)已知点P 的纵坐标为－1且在抛物线C 上，Q ，R 是抛物线C 上异于点P 的另两点，且满足直线PQ 和直线PR 的斜率之和为－1，试问直线QR 是否经过一定点，若是，求出定点的坐标；否则，请说明理由．
21．已知()sin f x x =，()ln g x x =，()2
1=--h x x ax .
（1）若[]
0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ； （2）对任意(]0,1x ∈都有()
()()0+->f x e
h x g x ，求整数a 的最大值.
22．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的方程为224x y +=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos21ρθ=．
()1求圆O 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
()2已知M ，N 是曲线C 与x 轴的两个交点，点P 为圆O 上的任意一点，证明：
22||PM PN +为定值．
23．已知函数()1f x x =-．
()1解不等式()()246f x f x ++≥；
()2若a 、b R ∈，1a <，1b <，证明：()()1f ab f a b >-+．
参考答案
1．A 【分析】
先化简集合A ，B ，再利用集合的交集运算求解. 【详解】
因为集合{}{}2
010A x x x x x =+≤=-≤≤，{}
1ln(21)2B x y x x x ⎧⎫==+=>-⎨⎬⎩⎭
，
所以A B =1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦
，
故选：A 2．D
【详解】
分析：先利用复数的除法法则化简等式的右边，再利用复数相等的定义得到相关值． 详解：因为
2i 2i(1i)1i=+i 1i (1i)(1i)
a b -==+++-， 所以1,1a b ==， 即2a b +=.故选D ．
点睛：本题考查复数的除法法则、复数相等的概念等知识，意在考查学生的基本计算能力． 3．C 【分析】
利用三角函数的定义，直接求解. 【详解】
点(1,到原点的距离2r ==，
由定义知sin 2
y r α==-
. 故选：C 4．D 【详解】
对于A ，并无周期变化，故A 错，
对于B ，并不是不断减弱，中间有增强．故B 错，
对于C ，10月份的波动大小大于11月份，所以方差要大．故C 错，
对于D ，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．故D 正确， 故选：D ． 5．D 【分析】
根据三视图知几何体是一个四分子一圆锥与一个三棱锥的组合体，分别计算其表面积得解. 【详解】
四分子一圆锥表面积11111211442242
S π
π=
+⨯+⨯⨯=+ 1
2112ABD BCD S S ∆∆==⨯⨯= , 133
222
ACD S ∆==
所以组合体表面积为1131+1+1+=4+4224
+ 故选：D 【点睛】
本题考查三视图还原几何体求表面积问题.
几何体三视图还原其直观图时，要熟悉柱、锥、球、台的三视图，结合空间想象将三视图还原为直观图． 6．A 【详解】
由题意可得，圆心（0，3）到直线的距离为
2
所以3322m d m -===，选A ．
【点睛】直线与圆相交圆心角大小均是转化为圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式解
决． 7．B 【详解】
初始值a=1,b=1,s=0,k=0 s=2,a=2,b=3,k=2, s=7,a=5,b=8,k=4 s=20,a=13,b=21,k=6 输出s=20,选B. 8．C 【分析】
根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值. 【详解】
由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，
∴max 1
42
S =⋅=
故选：C. 【点睛】
本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力. 9．C 【详解】
当1≥x 时，()2f x =必有一解x e =，
所以只需1x <时()2f x =有一解即可，而()f x 在(,1)-∞是减函数， 只需(1)32f a =-+<，即5a <. 故选：C. 10．D 【分析】
双曲线的渐近线方程为b
y x a
=,则2PF b =，1OF c =，可得OP a =，在2OPF 和1∆OPF 中，分别求出2cos a
POF c
∠=和1cos POF ∠，利用12cos cos 0POF POF ∠+∠=，
可得222
13PF a c =+结合222b c a =-，c e a
=即可求解.
【详解】
由题可得双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，()2,0F c
2PF b =
=，1OF c =，OP a =，
因为12PF =，所以2
2
2121313PF PF b ==，
在2OPF 中，2cos a POF c
∠=
， 1∆OPF 中，2
221
1
cos a c PF POF c
+-∠=
，
因为12POF POF π∠+∠=，所以12cos cos 0POF POF ∠+∠=， 所以
2
221
0a c PF a
c
c
+-+
= 可得2
22
13PF a c =+，
所以222213133c a a c -=+，
所以
c a =
3
e =， 故选：D 【点睛】
本题主要考查了利用双曲线的性质求双曲线的离心率，属于中档题. 11．A 【分析】
由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．
【详解】
解：∵函数f x （）的定义域是
0（，）+∞
∴()()
()23
3
222'x x e kx x e x k f x k x x x
---=
+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点
∴2x =是导函数'0f x =（
）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点，
即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2x
e g x x
=，
因为()3
2'x e x g x x
（）-=
，
所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增
所以g x （）的最小值为2
24
e g =（）， 所以必须2
4
e k ≤，
故选A ． 【点睛】
本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 12．A 【分析】
根据题意，先得ABC 为等腰直角三角形；①取BC 中点为D ，连接AD ，得到2
3
AG AD =
，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到AD BC ⊥，由题意得到AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，进而可求出向量数量积；③以A 点为坐标原点，分别以
AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设()11,2M x x -，
()22,2N x x -且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结
果；④同③建立平面直角坐标系，设(),P x y ，根据题意，得到2
2x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，再设PBA θ∠=，
由题意，得到2cos x θ=-，sin y θ=，用θ
表示出λ，即可求出结果； 【详解】
因为在ABC 中，2
A π
=
，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；
①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心， 所以G 在AD 上，且2
3
AG AD =， 所以()
22111
33233
AG AD AB AC AB AC =
=⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，
因此2
2
1()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭
，故②错；
③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=； 因为M ，N 为BC 边上的两个动点，
所以设()11,2M x x -，
()22,2N x x -，且[]
12,0,2x x ∈，不妨令12x x <， 因为MN =
()()2212212x x x x -+-=，即()2
121x x -=，则211x x -=，
所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---
2
2111133
22
22222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；
④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =， 设(),P x y ，则(,)=AP x y ，
又AP AB AC λμ=+，所以22x y λμ=⎧⎨=⎩，即2
2x y
λμ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=， 则0,
4πθ⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==，
因此11cos sin 1226x y πλθθθ⎛⎫=
+=-+=-+ ⎪⎝
⎭， 因为0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，
所以,6612π
ππθ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭
无最值，
即λ无最值，故④错.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型
.
13．2 【详解】
由题意得222
|2|44842a b b a b b b +=+-⋅===，，
，填2. 14．0 【详解】
画出30
40240
x x y x y +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪+-≤⎩表示的可行域，如图，由304=0x x y +=⎧⎨-+⎩，可得()3,1A -平移直线
33
x z
y =-
+，由图知，当直线经过点()3,1A -，直线在以y 轴上截距最小，此时z 最小值为3130-+⨯=，故答案为0. 【方法点晴】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（
2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15
【分析】
先由正弦定理得a=b ，然后由余弦定理求得a 、b ，在用面积公式求得ABC ∆的面积. 【详解】
cos cos a b
A B = ∴ sin sinB cos cosB
A A =
化解得：()sinAcosB cosAsinB sin 0A B -=-= 即：A=B 又
1
cos 3
4
C c =
=， ∴ 2221
cos 24
a b c C ab +-==
解得：
ABC S ∆=
【点睛】
本题考查了正、余弦定理、三角形面积公式，解题中主要利用正、余弦定理对边角进行转化. 16．3(0,]2
【详解】
当l 与CD 重合时，'P H =0，由题意得P GH '为直角三角形，
且斜边2
52
PG =
为定值，所以要求最大值，只需GH 最小，GH 最小值为12，
所以max
3
2
P H ='=.
故答案为：30,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
．
【点睛】
折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理．
17．（1）n a 2n =，n b 31n =-；（2）m 5≥.
【分析】
（1）由n n n 1a S S -=-化简可得{}n a 成等比，求出{}n a 的通项，再由21113b b b =可求出{}
n b
的通项；（2）因为n n n b 31c a 2n n -==，用错位相减法求得n 35
T 552
n n +=-<，所以m 5≥. 【详解】
解：（1）因为n n S 2a 2=-，n 1n 1S 2a 2--=- 所以n n n 1n n 1a S S 2a 2a --=-=- 所以()n n 1a 2a 2n -=≥
所以{}n a 成等比，首项11a S 2==，公比q 2=
所以n a 2n
=
由题意知11b a 2==，设{}n b 公差为d
则2
1113b b b =，即()()2
221022d d +=+，
解得d 3=或d 0=（舍） 所以n b 31n =- （2）n n n b 31c a 2
n n -== 所以n 12325831T 2222n
n -=
+++⋯+ n 234112583431T 222222
n n n n +--=+++⋯++ 两式相减得1n 123111
31112333313153542T 1122222222212
n n n n n n n n -+++⎛⎫
- ⎪--+⎝⎭=+++⋯+-=+-=-- 所以n 35
T 552
n
n +=-< 所以m 5≥ 【点睛】
本题考查了数列的通项与求和，对等差乘等比的数列进行求和采用错位相减法求和，分列乘减算四步进行. 18．（1）
3
10；（2）15
；（3）甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.
【详解】
试题分析：（1）由图知，在乙村50户中，指标0.6x <的有15户，根据古典概型概率公式可得结果；（2）利用列举法可得，所有可能的结果组成的基本事件有15个，其中两户均为“低收入户”的事件共有5个，根据古典概型概率公式可得选出的2户均为“低收入户”的概率；(3) 由图可知，这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.. 试题解析：（1）由图知，在乙村50户中，指标0.6x <的有15户， 所以，从乙村50户中随机选出一户，该户为“绝对贫困户”的概率为153
5010
P =
=. （2）甲村“今年不能脱贫的非绝对贫困户”共有6户，其中“相对贫困户”有3户，分别记为1A ，
2A ，3A .“低收入户”有3户，分别记为1B ，2B ，3B ，所有可能的结果组成的基本事件有：
{}12,A A ， {}13,A A ， {}11,A B ， {}12,A B ， {}13,A B ， {}23,A A ， {}21,A B ， {}22,A B ， {}23,A B ， {}31,A B ， {}32,A B ， {}33,A B ， {}12,B B ， {}13,B B ， {}23,B B .
共15个，其中两户均为“低收入户”的共有3个， 所以，所选2户均为“低收入户”的概率31
155
P =
=. （3）由图可知，这100户中甲村指标y 的方差大于乙村指标y 的方差.
【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.
19．（1）详见解析（2【分析】
（1）由线线平行可证明线面平行，即易证1//MN BC ，又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂平
面1MCA ，所以1//BC 平面1MCA ；
（2）由1AC 的中点N 在平面1MCA 上，即点1C 到平面1MCA 的距离与A 到平面1MCA 的
距离相等，再由三棱锥1A AMC -的体积V =1MCA
∆的面积1S =，结合三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】
解：（1）连接1AC ，设1AC 与1AC 的交点为N ，则N 为1AC 的中点， 连接MN ，又M 是AB 的中点， 所以1//MN BC .
又MN ⊂平面1MCA ，1BC ⊂平面1MCA ， 所以1//BC 平面1MCA .
（2）由22AB MC ==，M 是AB 的中点， 所以90ACB ︒∠=，
在直三棱柱中，12A M =，1AM =，
所以1AA =
又BC =
所以AC =，1AC =， 所以1
90AMC ︒∠=. 设点1C 到平面1MCA 的距离为h ， 因为1AC 的中点N 在平面1MCA 上，
故A 到平面1MCA 的距离也为h ， 三棱锥1A AMC -
的体积11•3AMC V S AA ∆=
=
， 1MCA ∆的面积11
•12
S A M MC =
=，
则1133V Sh h =
==
，得h =， 故点1C 到平面1MCA
的距离为2
【点睛】
本题考查了由线线平行从而证明线面平行及等体积法求点到面的距离，重点考查了空间想象能力，属中档题. 20．（1）2（2）经过，7
(,3)4
-- . 【分析】
(1)由题意及抛物线定义得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，△AEF 为边长为4的正三角形，转化求解即可；
(2) 设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ，点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)．联立直线与抛物线方程，利用判别式以及韦达定理，求出PQ k ，PR k ，然后利用已知条件推出7
34
t m =-
列出2161607341
7(1)34
4m t t m m m ⎧
⎪=+>⎪
⎪
=-⎨
⎪
⎪≠⨯-+-⎪⎩，解得m 的范围，得到直线QR 的方程x ＝m (y ＋3)－74，可得直线经过定点7
(,3)4
--. 【详解】 (1) 如图：
由题意及抛物线定义，得|AF |＝|EF |＝|AE |＝4，
△AEF 为边长为4的正三角形，设准线l 与x 轴交于点D ， 因为90EAB ∠=，60EAF ∠=，所以30FAD ∠=， 则|FD |＝p ＝
12|AF |＝12
×4＝2. (2)设直线QR 的方程为x ＝my ＋t ， 点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)，
由24x my t
y x
=+⎧⎨=⎩，得y 2－4my －4t ＝0，则Δ＝16m 2＋16t ＞0，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ， 又点P 在抛物线C 上，则k PQ ＝1
1221
11144
144
p p p p p y y y y y x x y y y y --=
==
-+--，同理可得k PR ＝
24
1
y -， 因为k PQ ＋k PR ＝－1，
所以
12121212444()811()1y y y y y y y y +-+=---++ 1681441
m t m -==---+， 解得t ＝3m －
7
4
，
由21616073417(1)34
4m t t m m m ⎧⎪=+>⎪⎪=-⎨⎪⎪≠⨯-+-⎪⎩ ， 解得m ∈7
1(,)(,1)(1,)22
-∞-⋃⋃+∞， 所以直线QR 的方程为x ＝m (y ＋3)－74
， 则直线QR 过定点7(,3)4
-
-. 【点睛】 本题考查了利用抛物线的定义求抛物线方程，考查了斜率公式，考查了韦达定理，考查了直线经过定点问题，属于中档题.
21．（1）证明见解析；（2）2.
【分析】
（1）构造函数()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，利用二阶导数的方法证得
()()00F x F ≥=，由此证得结论成立.
（2）先求得1x =时，a 的取值范围，再结合（1）的结论，求得a 的最大值.
【详解】
（1）设()()()sin ln 101F x x x x =-+≤≤，()'1cos 1
F x x x =-+，注意到()'00F =. 设()()()()21
',sin 1x F x x x x μμ==-+'，
()x μ'在[]0,1上递减，()11sin104
μ=-<'，()010μ'=>，
所以存在唯一零点()00,1x ∈，使得()00x μ'=.
则()'F x 在()00,x 上递增，在()0,1x 上递减. ()'111cos1cos 0223
F π=-+>-+=，()'00F =， 所以()'
0F x >在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上递增.
所以()()00F x F ≥=，即()0F x ≥，
所以当[]
0,1x ∈时()()1≥+f x g x .
（2）因为对任意(]0,1x ∈，不等式()()()0+->f x e h x g x 恒成立， 即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立.
令1x =，则sin1sin10,e a e a ->>，
由（1）知sin1ln 2>，所以ln2sin1123e e e =<<<，
由于a 为整数，所以2a ≤.
因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---.
下证明()sin 221ln 0x H x e x x x =+--->在区间(]0,1恒成立即可.
由（1）知()sin ln 1x x >+在区间(]0,1恒成立，即sin 1x e x >+，
故()22
121ln ln H x x x x x x x x >++---=--， 设()(]2
ln ,0,1G x x x x x =--∈， 则()()()2'
211121210x x x x G x x x x x +---=--==≤， 所以()G x 在(]0,1上递减，
所以()()10G x G ≥=，
所以()0H x >在(]0,1上恒成立.
综上所述，整数a 的最大值为2.
【点睛】
本小题主要考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究不等式恒成立问题，属于较难题. 22．（1）圆O 的参数方程为{2cos 2sin x y α
α==，(α为参数)，；（2）曲线C 的直角坐标方程为221x y -=.
【分析】
()1首先利用转换关系把参数方程和极坐标方程和直角坐标方程进行转换．
()2利用三角函数关系式的恒等变换求出定值．
【详解】
()1圆O 的参数方程为
{2cos 2sin x y αα==，(α为参数)， 由2cos21ρθ=，
得：()222
cos sin 1ρθθ-=， 即2222cos sin 1ρθρθ-=，
所以曲线C 的直角坐标方程为221x y -=．
()2证明：由()1知()1,0M -，()1,0N ，
可设()2cos ,2sin P αα， 所以222222||(2cos 1)(2sin )(2cos 1)(2sin )PM PN αααα+=+++-+，
54cos 54cos 10αα=++-=， 所以22||PM PN +为定值10．
【点睛】
本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换．
23．（1）4{|2}3x x x ≤-≥或.（2）见解析.
【详解】
试题分析：（1）用分段讨论法解绝对值不等式．（2）由综合法证明不等式，注意因式分解的
应用22221a b a b --+= ()()
2211a b --． 试题解析：（1）由()()246f x f x ++≥得：2136x x -++≥，
当3x <-时，2136x x -+--≥，解得3x <-； 当132
x -≤≤时，2136x x -+++≥，解得32x -≤≤-；
当12x >
时，2136x x -++≥，解得43
x ≥； 综上，不等式的解集为4{|2}3x x x ≤-≥或. （2）证明：()()11f ab f a b ab a b >-+⇔--， 因为1a <，1b <，即21a <，21b <， 所以221||ab a b ---= 2222212a b ab a ab b -+-+-= 22221a b a b --+=
()()
22110a b -->， 所以221|||ab a b --，即1ab a b ->-，所以原不等式成立.
【点睛】
解绝对值不等式常用方法一是数形结合，二是分段讨论，也就是找到每个绝对值的零点再分段讨论．。