镇江市统一高考数学第一轮复习学案(解析答案版)：学案9 函数综合2教师版 彭姚鲜

函数综合2
一、知识梳理
（一）函数的单调性
1．一般地，设函数)(x
f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，若果对于区间I 内任意两个值 ，
当 时，
⑴若 ，则)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y = ⑵有 ，则)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y = 2. 熟练掌握以下基本初等函数的单调性：
)0(≠+=a b ax y 单调区间，单调性 ；
)0(2≠++=a c bx ax y 单调区间，单调性 ；
)0(≠=
a x
a
y 单调区间，单调性 ； x y =单调区间，单调性 ；
)10(≠>=a a a y x 且单调区间，单调性 ； )10(l o g ≠>=a a x y a 且单调区间，单调性 . 3.在相同区间上，(),()f x g x 单调性如下表，请填表：
3．证明单调性的方法：①定义法；②导数法.
（二）函数的奇偶性
1.函数奇偶性的定义
对于定义域关于原点对称的函数()f x ，如果在定义域内任取x ，
①总有()()f x f x -=，则()f x 是_______；②总有()()f x f x -=-，则()f x 是________. 2.奇(偶)函数的性质：
①定义域关于______对称；
②奇函数的图象关于__________对称；偶函数的图象关于__________对称； ③若奇函数()f x 在0x =处有意义，则(0)f =______；
④奇函数在对称的单调区间内有______的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性.
3.确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：
①定义法；
②利用等价形式：()()0f x f x -±=或()
1()
f x f x -=±（()0f x ≠）
； ③图像法.
4.熟悉下列函数的奇偶性：
（1）()n
f x x =，1()n
f x x =； （2）()sin ,()cos ,()tan f x x f x x f x x === （3）()f x x =，()f x x a x a =-±+ （4）()x x f x a a -=±
（5）()log )a f x x = （6）()log a x b
f x x b
-=+ 5.在相同定义域上，(),()f x g x 的奇偶性如下，请填表：
（三）函数的对称性与周期性
1．函数的周期性
若()()
f x T f x
+=(0)
T≠⇔()
f x是周期函数，T是它的一个周期.
(1)若()()
f x a f x b
+=+，则()
f x是周期函数，b a
-是它的一个周期.
(2)若()()
f x a f x
+=-；
1
()
()
f x a
f x
+=；
1
()
()
f x a
f x
+=-；则()
f x是周期函数，2a是
它的一个周期.
2. 函数的对称性
若函数()
y f x
=对定义域内一切x；
(1) ()()
f x f x
-=⇔函数()
y f x
=图象关于______对称；
()()
f x f x
-=-⇔函数()
y f x
=图象关于______对称；
(2) 函数()
y f x
=图象关于______对称⇔()()
f x a f a x
+=-
⇔()(2)
f x f a x
=-⇔()(2)
f x f a x
-=+；
函数()
y f x
=图象关于______对称⇔()()
f x a f a x
+=--
⇔()(2)
f x f a x
=--⇔()(2)
f x f a x
-=-+；
(3)满足条件()()
f x a f b x
+=-的函数的图象关于直线____________对称.
（四）基本初等函数的图象与性质
基本初等函数有：正比例、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数、幂函数等. 1．定义：一般地，函数叫做正比例函数；
函数叫做反比例函数；
函数叫做一次函数；
函数 叫做二次函数； 函数 叫做指数函数； 函数 叫做对数函数； 函数 叫做幂函数； 2．指数函数)0,0(≠>=a a a y x
的图象与性质
3.对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且的图象和性质
二、基础训练
1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()3x f x m =+(m 为常数)，则3(l o g 5)f -的值为 ．
【解析】由()f x 是定义在R 上的奇函数，得(0)10f m =+=，于是1m =-， 所以3log 533(log 5)(log 5)(31)4f f -=-=--=-．
2．已知偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，(2)0f =，若(1)0f x ->，则x 的取值范围是 ．
【解析】由题可知，当22x -<<时，()0f x >，(1)f x -的图象是由()f x 的图象向右平移1个单位得到的，于是若(1)0f x ->，则13x -<<．
3.已知函数)1(log 2-=ax y 在)2,1(单调递增，则a 的取值范围为 ．1a ≥
4. 设函数()(e e )(R)x x f x x a x -=+∈是偶函数，则实数a 的值为____________ 1-
5.若函数()1
=21
x
f x a -
-是定义在(][),11,-∞-+∞上的奇函数，则()f x 的值域为
3113[,)
(,]2222
-- 6.函数()f x 是周期为4的偶函数，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，则不等式()0xf x >在[1,3]-上的
解集为 ． 【解析】 ()f x 的图象如图.
当(1,0)x ∈-时，由()0xf x >得(1,0)x ∈-； 当(0,1)x ∈时，由()0xf x >得x ∈∅；
当(1,3)x ∈时，由()0xf x >得(1,3)x ∈． 综上：(1,0)
(1,3)x ∈-．
三、典型例题
例 1 已知函数⎩
⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠都有1212()()
f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是
【解析】由题意知()0
01,
30,304,a a a a a ⎧<<⎪-<⎨⎪≥-⋅+⎩
解得1
04a <≤，
所以a 的取值范围是1
(0,]4
.
变式 已知函数lg(3)
()1
ax f x a -=
-在区间](0,1上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是
【解析】当1a >时，10a ->，3ax -递减，∴()f x 递减，由30ax ->在（0，1]内恒成立得
3
1,13a a
>∴<<； 当01a <<时，10a -<，3ax -递减，∴()f x 递增，不合题意；
当0a <时，10a -<，3ax -递增，∴()f x 递减，此时30ax ->在（0，1]内恒成立； 当0a =或1a =时，均不合题意； 故a 的取值范围是0a <或13a <<.
小结：函数单调性是函数的重要性质，是必考知识点之一，其中分段函数的单调性又是一个
难点，容易对单调性的定义理解不透彻，尤其是对分段函数各个单调区间之间的关系，认为分段函数在各段上递减，则函数()f x 在R 上就是单调减函数，即将两个减区间取了并集；如本例，会出现如下错误解法：由12x x ≠都有1212
()()
0f x f x x x -<-成立，得函数()f x 在R 上是
单调减函数，所以01
30a a <<⎧⎨-<⎩
，解得01a <<.
例2 已知函数()33()x x
f x λλ-=+⋅∈R
（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集； （2）若不等式()6f x ≤对[0,2]x ∈恒成立，求实数λ的取值范围． 【解析】（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R ．
∵()f x 为奇函数，∴()()0f x f x -+=对x ∀∈R 恒成立， 即3
333(1)(33)0x
x x x x x λλλ---+⋅++⋅=++=对x ∀∈R 恒成立，∴1λ=-．
此时()331x x f x -=->即2
(3)310x
x -->，解得33)
x x >
<舍去， ∴解集为{|log x x >． （2）由()6f x ≤得336x x λ-+⋅≤，即363x x
λ
+≤，
令3[1,9]x t =∈，原问题等价于6t t
λ
+
≤对[1,9]t ∈恒成立，
亦即26t t λ-+≤对[1,9]t ∈恒成立， 令2()6,[1,9]g t t t t =-+∈， ∵()g t 在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减， ∴当9t =时，()g t 有最小值(9)27g =-，∴27λ-≤．
例3.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-<⎧⎪
=⎨-<⎪⎩
≤≤ 其
中R a ∈，若59
()()22
f f -= ，则(5)f a 的值是 .
【解析】 5191()()()()2222f f f f -=-==，则112225a -+=-，得3
5a =，
因此32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ===-=-+=-．
变式1设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间]1,1[-上，⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,12
,
01,1)(x x bx x ax x f 其中.,R b a ∈若)2
3()21
(f f =，则b a 3+的值为________．－10
变式2 已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22
f x x x =-+
，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 . 【解析】 作出函数21()22f x x x =-+
,[)0,3x ∈的图象，可见1
(0)2
f =， 当1x =时，1()2f x =
极大，7
(3)2
f =，方程()0f x a -=在[]3,4-上有 10个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]3,4-上有10个公共点， 由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()22
f x x x =-+, [)0,3x ∈的公共点数为4，则有1
(0,)2
a ∈．
小结：函数图象的载体主要是基本初等函数及其复合函数、组合函数．考查的形式主要有（1）对函数图象的理解识别；（2）利用函数图象考查函数的性质（单调性、奇偶性、值域等）；（3）函数图象的基本变换；（4）构造图形数形结合．
例4 设12()2x x a f x b
+-+=+（,a b 为实常数）．
（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；
（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，
都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：3a ≤，23a ≤≤，所以(1)(1)f f -≠-，所以()f x 不是奇函数．
（2）()f x 是奇函数时，()()f x f x -=-，
即11
2222x x x x a a b b
--++-+-+=-++对定义域内任意实数x 都成立 即2(2)2(24)2(2)0x x a b ab a b -⋅+-⋅+-=，对定义域内任意实数x 都成立 所以20,240a b ab -=⎧⎨
-=⎩所以12a b =-⎧⎨=-⎩或1
2a b =⎧⎨=⎩
．
经检验都符合题意
（2）当12
a b =⎧⎨=⎩时，12111
()22221x x x
f x +-+==-+++， 因为20x >，所以211x +>，1
0121
x
<<+， 所以1
1()2
2
f x -<<
而223
3333()244
c c c -+=-+≥对任何实数c 成立；
所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有2()33f x c c <-+成立
当12a b =-⎧⎨=-⎩
时，12111()0)22212x x x
f x x +--==-+≠--（， 所以当0x >时，1
()2f x <-；当0x <时，1()2
f x >
1）因此取(0,)D =+∞，对任何x 、c 属于D ，都有2()33f x c c <-+成立． 2）当0c <时，2333c c -+>，解不等式113212x -+
≤-得：2
5
l o g 7
x ≤．所以取25
(,lo g
]7
D =-∞，对任何属于D 的x 、c ，都有2a =成立． 小结：考查函数的性质主要从两个层次上进行，一是对函数的性质如单调性、奇偶性等概念较为单一的再现，其主要载体是指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为基础题；二是对函数性质的综合运用，此类问题对恒等变形、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的思想方法通常会有所体现，多为中档题，甚至是难题．
例5例 5.已知集合M 是满足下列性质的函数()x f 的全体：在定义域内存在0x ，使得
()()()0011f x f x f +=+成立。

（Ⅰ）函数()x
x f 1
=
是否属于集合M ？说明理由； （Ⅱ）设函数()M x a
x f ∈+=1
lg
2
，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，证明：函数()M x x f x
∈+=2
2。

【解析】（Ⅰ）若()1
f x x
=
M ∈，在定义域内存在0x ，则
20000111101x x x x =+⇒++=+， ∵方程20010x x ++=无解，∴()1
f x x
=
M ∉。

（Ⅱ）()()()()2222
lg
lg lg lg 22210112
11a a a a f x M a x ax a x x x =∈⇒=+⇒-++-=++++， 2a =时，12
x =-
；2≠a 时，由
0≥∆，得)(264032,35a a a ⎡-+≤⇒
∈-⋃
+
⎣。

∴3a ⎡∈+⎣。

（Ⅲ）()()()()()0000
2
1
1
200000011212322(1)221x x
x
x f x f x f x x x x +-⎡⎤+--=++---=+-=+-⎣⎦，
∵函数x
y 2=图象与函数x y -=的图象有交点，设交点的横坐标为a ，
则()012
0201
0=-+⇒=+-x a x a
（其中10+=a x ），即()()()0011f x f x f +=+，
于是()M x x f x
∈+=2
2。

例6 已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体：○1()f x 在其定义域上是单调函数；○2在()f x 的定义域内存在闭区间[],a b ，使得()f x 在[],a b 上的最小值是2
a
，最大值是
2
b。

请解答以下问题：（1）判断函数()3g x x =-是否属于集合M ？并说明理由，若是，请找出满足○2
的闭区间[],a b ；（2）若函数()h x t M =∈，求实数t 的取值
范围。

【解析】()g x 的定义域是R ，
()23g x x '=-，当x R ∈时，恒有()0g x '≥（仅在0
x =时取等号），故()g x 在其定义域上是单调减函数；若()g x M ∈，当[],x a b ∈时，
()(),2,2.b g a a g b a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪<⎪⎪⎩即33,2,2.b a a
b a b ⎧-=⎪⎪
⎪-=⎨⎪
<⎪⎪⎩
解得
22a b =-
=故满足○2的闭区间是22⎡-⎢⎣⎦。

至此可知，()g x 属于集合M 。

（2）函数()h x 的定义域是
[)1,+∞，当1x >时，()0h x '=
>，故函数()h x 在
[)
1,+∞上是增函数，若()h x M ∈，则存在[),1,a b ∈+∞，且a b <，使得
()()
,22
a b
h a h b =
=，即
20,a t -=且
20,b t -=()1y x =≥，则0y ≥，于是关于y 的方程2
2120y y t -+-=在[)0,+∞上有两个不等的实根，记
()2
212u y y y t =-+-，()0,00.
u ∆>⎧⎪∴⎨
≥⎪⎩10,2t ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦。

小结：对函数的性质的考查一直是热点，而函数的性质往往“隐藏”在函数的表达式或者结构中，而学生往往被现象迷惑，不能透过现象发现问题的本质，本组题就是针对此种现象选题，教师在讲解时应鼓励学生多观察、比较、辨析，发现函数性质，使思维能力提升
四、课堂小结
1．判断函数单调性的常用方法
(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．
(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．
(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用
函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．
利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性
(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．
(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称． 4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．
比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．
五、课后作业
1．已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2
3()(+-=x f x f ，且2)1(=f ，则)2017(f 的值为 ．
【解析】∵)23()(+-=x f x f ，∴)()2
3(]23)23[()3(x f x f x f x f =+-=++=+ ∴)(x f 是以3为周期的周期函数，则2)1()13672()2017(==+⨯=f f f
2.若函数2)1(2)(2
+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______3-≤a ）
3.已知偶函数)(x f 在),0[+∞上单调递增，则使得)12()(->x f x f 成立的x 的取值范围是 ．
【解析】 由)(x f 为偶函数，)12()(->x f x f 可化为)12()(->x f x f ，又)(x f 在
),0[+∞上单调递增，
所以|x |＞|2x －1|.解得1
3＜x ＜1. 4．已知函数1()2ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____1
(,)2
+∞
5．已知⎩⎨⎧≥<--=1,log 1
,)3()(x x x a x a x f a
，在(－∞，＋∞)上是增函数，那么实数a 的取值范围是
________.)3,2
3[
6．已知函数)0)((≠x x h 为偶函数，且当0>x 时，,4,244
0,4)(2
⎪⎩
⎪⎨⎧>-≤<-=x x x x x h 若)2()(h x h >，
则实数t 的取值范围为________.)2,0()0,2( -
7.设奇函数()f x 在()0,+∞上为增函数，且()4=0f ，则不等式
()()
<0f x f x x
--的解集为
【解析】因为函数()f x 是奇函数，且函数()f x 在()0,+∞递增，()40f =，所以在(),0-∞递减，且()40f -=，所以
()20f x x
<
()()004x f x f >⎧⎪⇔⎨<=⎪⎩或()
()004x f x f <⎧⎪⎨
>=-⎪⎩， 解得()()4,00,4x ∈-.
8.已知函数2
()(,,R 0)1bx c f x a b c a >ax +=
∈+,是奇函数,若()f x 的最小值为12-,且2
(1)5
f >,则b 的取值范围是_____. 【解析】由函数2()(,,R 0)1bx c f x a b c a >ax +=∈+,是奇函数得c =0，所以2
()(0)1bx
f x a >ax =+，当x <0时，
()1b f x ax x
=
+
0)
a >≥
，所以()f x 1
2
-
2=a b ⇒， 所以22
21
(1)=25+2<0<<2+152
b f b b b b >⇒-⇒.
9.已知函数,若在上为减函数,则
的取值范围为 ．
【解析】令，对称轴为.另一方
面，，综上所述，. ()()2
12
log 2218,f x x a x a R ⎡⎤=--+∈⎣⎦()f x [),a +∞a ()()()2
2218,0g x x a x g x =--+>21,1x a a a =-≤≤()()2
422180,,23g a a a a a ⎛⎫=--+>∈-
⎪⎝⎭4,13a ⎛⎤
∈- ⎥⎝⎦
10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x ).当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是 ．
【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一 个周期内的图象如图所示.显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0，2]内恰有两个不 同的公共点.另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同的公共
点,由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝1
2.∴)4
1,21(A ，又A 点在y ＝x ＋a 上，
∴a ＝－1
4．
11．()f x 在区间上[],4m 的值域为[]
1,2-，则实数m 【解析】 作出函数()f x 的图象，
当1x -≤时，函数2()log ()2
x
f x =-单调递减，
且最小值为(1)1f -=-，则令2log ()22
x
-=，解得8x =-，
当1x >-时，函数()2142
333
f x x x =-
++在()12-，上单调递增， 在[
)2+∞，上单调递减，则最大值为2，且()2423f =<，()1
13
f -=， 综上得所求实数m 的取值为[]
81--，.
12.设函数,则使得
成立的的取值范围是 ．
13
1
<<x
21
()ln(1||)1f x x x
=+-
+()(21)f x f x >-x
13.已知)(x f 为R 上的奇函数，且
，设 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .
【解析】 由题意()()0f x f x -+=，从而22220
x x x x
m m --+++=
，得1m =-，故1()22x
x f x =-，从而22,1()22,1x x
x x
x g x x --⎧->⎪=⎨-⎪⎩
≤，记2x
t =，则1()h t t t =-在(2,)+∞上单调递增，故当1x >时，()g x 为单调递增函数，3
()(,)2
g x ∈+∞；同理，当1x ≤时，()g x 为单调递减
函数，3()[,)2g x ∈-+∞，由于函数()y g x =与y t =有且只有一个公共点，所以33
[,]22
t ∈-.
14.已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且1
()()()2
x
f x
g x +=，若存在
01
[,1]2
x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取值范围是 .
【解析】11()()()()()()
()()22
2
x
x
x f x g x f x g x f x g x -+=⇒-+-=⇒-+=，
所以11()2()222
(),()22
x x x x
f x
g x -+==，
所以0000
00
22200(2)22223,22[]()2222
x x x x x x g x t a t t f x t t ---++=-===+=-∈-， 所以min max 22
t a t a =
==
=即实数的取值范围是 15.已知函数)1(52)(2
>+-=a ax x x f .
(1)若)(x f 的定义域和值域均是],1[a ，求实数a 的值；
(2)若)(x f 在区间]2,(-∞上是减函数，且对任意的]1,1[,21+∈a x x ，总有
4)()(21≤-x f x f ，求实数a 的取值范围.
()22x
x m f x =+
(),1,()(),1,
f x x
g x f x x >⎧=⎨-≤⎩()y g x t =-t
【解析】(1)因为)1(52)(2
>+-=a ax x x f ，
所以)(x f 在],1[a 上是减函数.又定义域和值域均为],1[a ，
所以即解得a=2. (2)因为f (x )在区间(-∞，2]上是减函数，所以a ≥2. 又x=a ∈[1，a+1]，且(a+1)-a ≤a-1， 所以f (x )max =f (1)=6-2a ，f (x )min =f (a )=5-a 2.
因为对任意的x 1，x 2∈[1，a+1]，总有4)()(21≤-x f x f ， 所以f (x )max -f (x )min ≤4，得-1≤a ≤3.又a ≥2， 所以2≤a ≤3.
所以实数a 的取值范围为[2，3].
16.（1）定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，若(1)(13)0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围．
（2）设定义在[]2,2-上的偶函数)(x f 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，求实数m 的取值范围.
【解析】（1）原不等式化为(13)(1)f a f a -<--，∵)(x f 是奇函数，∴(1)(1)f a f a --=-， ∴原不等式化为(13)(1)f a f a -<-，∵)(x f 是减函数， ∴131a a ->-，∴1
2
a <
． ① 又)(x f 定义域为)1,1(-，∴111,1131,
a a -<-<⎧⎨-<-<⎩∴2
03a <<，②
由①和②得实数a 的取值范围为1
(0,)2
．
（2）∵)(x f 是偶函数，∴()()()()11,f m f m f m f m -=-=，∴()()1f m f m -<即为
(1)()1f a f a =⎧⎨=⎩，，221-25-251a a a a +=⎧⎨+=⎩，，
()()1f m f m -<，又∵)(x f 在区间[]0,2上单调递减，∴012021m m m m ⎧≤-≤⎪≤≤⎨⎪
->⎩
，解得1
12m -≤<.
17.已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，其中(0a >且1a ≠)，设()()()h x f x g x =-．
（1）求函数()h x 的定义域，判断()h x 的奇偶性，并说明理由； （2）若()32f =，求使()0h x <成立的x 的集合．
【解析】(1)∵()()log 1a f x x =+的定义域为{}1x x >-，
()()log 1a g x x =-的定义域为{}1x x <，
∴()()()h x f x g x =-的定义域为{}11x x -<<． ∵()()()h x f x g x =-＝()log 1a x =+-()log 1a x -，
∴()h x -=()log 1a x --()log 1a x +=-[()log 1a x +-()log 1a x -]()h x =-， ∴()h x 为奇函数．
(2)∵()3f =()log 13a +=log 42a =，∴2a =. ∴()h x =()2log 1x +-()2log 1x -， ∴()0h x <等价于()2log 1x +<()2log 1x -， ∴11,
10,10,x x x x +<-⎧⎪
+>⎨⎪->⎩
解得10x -<<. 故使()0h x <成立的x 的集合为{}10x x -<<．
18.已知函数()f x 的定义域是0x ≠的一切实数，对定义域内的任意12,x x 都有
1212
()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时()0,(2)1f x f >=，
（1）求证：()f x 是偶函数；（2）()f x 在(0,)+∞上是增函数；（3）解不等式2
(21)2f x -<．
【解析】（1）令121x x ==，得(1)2(1)f f =，∴(1)0f =，
令121x x ==-，得∴(1)0f -=， ∴()(1)(1)()()f x f x f f x f x -=-⋅=-+=，∴()f x 是偶函数．
（2）设210x x >>，则
221111()()()()x f x f x f x f x x -=⋅
-221111
()()()()x x
f x f f x f x x =+-= ∵210x x >>，∴
211x x >，∴21
()x
f x 0>，即21()()0f x f x ->，∴21()()f x f x > ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数．
（3）
(2)1f =，∴(4)(2)(2)2f f f =+=，
∵()f x 是偶函数∴不等式2
(21)2f x -<可化为2
(|21|)(4)f x f -<，
又∵函数在(0,)+∞上是增函数，∴2
|21|4x -<，解得：22
x -
<<，
即不等式的解集为()22
-
．
函数综合2前置作业
1.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为
．()()+∞-,50,5
2.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，
则x 的取值范围是_
．)3,1(-
3.若函数满足，且在单调递增，
则实数的最小值等于
．．
4.已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记
()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为 ．c a b <<
5.已知函数()()log 31a f x a x a =-++⎡⎤⎣⎦在[]1,2上是减函数，则实数的范围是 【解析】设()()31u x a x a =-++，当01a <<时，30a ->，()()10,20u u >>，则函数()f x 是[]1,2上的减函数；当1a >时，要使函数()f x 是[]1,2上的减函数，则30a -<，
()()10,20u u >>，解得37a <<，综上，01a <<或37a <<。

6.已知函数()f x 为定义[]2,3a -在上的偶函数，在[]0,3上单调递减，并且
()22225a f m f m m ⎛
⎫-->-
+- ⎪⎝
⎭，则m 的取值范围是_______________．112m ≤<
()2
()x a
f x a R -=∈(1)(1)f x f x +=-()f x [,)m +∞m 1a。