教学设计5：6.1 数列的概念及简单表示法

6.1 数列的概念及简单表示法
[知识梳理]
1．数列的定义、分类与通项公式
(1)数列的定义：
①数列：按照排列的一列数．
②数列的项：数列中的．
(2)数列的分类：
分类标准类型满足条件
项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限
项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n
其中
n∈N*递减数列a n＋1<a n
常数列a n＋1＝a n
(3)数列的通项公式：
如果数列{a n}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
2．数列的递推公式
如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且与它的(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
3.对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．
(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．
4．数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．
[考点精析]
考点一由数列的前几项求数列的通项公式
典题导入
[例1] 下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝－1n ＋1
2
C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π
2
D ．a n ＝
－1
n －1
＋32
若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n }的一个通项公式为________．
由题悟法
1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n
＋1
来调整．
2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
以题试法
1．写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；
(2)12，34，78，1516，31
32，…； (3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1，32，－13，34，－15，3
6，….
考点二
由a n 与S n 的关系求通项a n
典题导入
[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1) S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n ＋1.
由题悟法
已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．
以题试法
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n n ＋1，则1a 5＝( )
A.5
6 B.65 C.1
30
D ．30
考点三
数列的性质
典题导入
[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？
在本例条件下，设b n ＝a n
n ，则n 为何值时，b n 取得最小值？并求出最小值．
由题悟法
1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．
2．前n 项和最值的求法
(1)先求出数列的前n项和S n，根据S n的表达式求解最值；
(2)根据数列的通项公式，若a m≥0，且a m＋1<0，则S m最大；若a m≤0，且a m＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.
以题试法
3．数列{a n}的通项a n＝n
n2＋90，则数列{a n
}中的最大值是() A．310 B．19
C.1
19 D.
10 60
答案
[知识梳理]
1．(1)①一定顺序 ②每一个数
(3)序号n
2．任一项a n 前一项a n －1 [例1]
【解析】 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π
2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，…. 【答案】 C
【答案】
a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
n 为奇数，1n 为偶数.⎝
⎛⎭⎫
或a n ＝
1＋－1
n
2或a n ＝
1＋cos n π2
1．
解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.
(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n
－1
2
n .
(3)将数列各项改写为93，993，9993，9999
3，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－
1,103－1,104－1，….
所以a n ＝1
3
(10n －1)．
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，
所以a n ＝(－1)n
·
2＋－1
n
n
，也可写为
a n
＝⎩⎨⎧
－1
n
，n 为正奇数，3
n ，n 为正偶数.
[例2]
【解析】 (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.
当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4， 当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －
1＋1)＝2×3n －
1. 当n ＝1时，2×31－
1＝2≠a 1，
故a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4， n ＝1，
2×3n －
1， n ≥2. 2．
【解析】选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n
n ＋1－n －1n ＝
1n n ＋1
，则a 5＝15×6＝1
30.
[例3]
【解析】 (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝21
2＝10.5.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.
(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．
解：b n ＝a n n ＝n 2－21n ＋20n ＝n ＋20
n
－21，
令f (x )＝x ＋20x －21(x >0)，则f ′(x )＝1－20
x 2，由f ′(x )＝0解得x ＝25或x ＝－25(舍)．而
4<25<5，故当n ≤4时，数列{b n }单调递减；当n ≥5时，数列{b n }单调递增．而b 4＝4＋20
4－
21＝－12，b 5＝5＋20
5
－21＝－12，所以当n ＝4或n ＝5时，b n 取得最小值，最小值为－12.
3．
【解析】选C a n ＝1
n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋
90n ≤1
290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝1
19
最大．。