矩形的判定

基础知识关
1、在判定一个四边形是矩形时： ⑴、若判定的对象是平行四边形，则还需有一个角是 直角 或 对角线相等 ； ⑵、若判定的对象是四边形，则需三个角是 直角 或需先判定这个 四边形为 平行四边形 ，再找一直角或对角线相等。 2、选择题 ⑴、具备条件____的四边形是矩形．【 D 】 A．两条对角线相等 B．对角线互相垂直 C．一组对角是直角 D．有三个角是直角 ⑵、能够判断一个四边形是矩形的条件是【 C 】 A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等
D
C
牛刀小试
2
判断下列命题是否正确。 • 对角线相等的四边形是矩形。 • 对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 • 有一个角是直角的四边形是矩形。 • 四个角都是直角的四边形是矩形。 • 四个角都相等的四边形是矩形。 • 对角线相等且有一个角是直角的四边形是 矩形。 • 对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
学以致用关
工作师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： (1)先截同两对符合规格的铝合金窗料，使AB＝CD，EF＝GH 平行四边 (2)摆放成如图所示的四边形，则这时窗框的形状____________ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 形，数学原理是_______________________________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图所示)，调整窗框的边框， 当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗 矩 形，数学原理是_________________________________ 有一个角为直角的平行四边形是矩形 框是_____
运用知识关
1、在⊿ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，ＤＥ∥ＡＣ交ＡＢ于Ｅ， ＤＦ∥ＡＢ交ＡＣ于Ｆ，当⊿ＡＢＣ满足条件 ∠BAC=900 时， 四边形ＡＥＤＦ是矩形。 2、如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为 什么？
A 1 2 B C O D
解：四边形ABCD是矩形。 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AO=CO DO=BO(平行四 边形的对角线互相平分) 又∵ ∠1= ∠2 ∴AO=BO ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形(对角线 相等的平行四边形是矩形
驶向胜利 的彼岸
△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线 MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外 角平分线于点F. （1）试说明EO=OF的理由。 （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说 明你的结论。
A
M
E O F
N
B
C
D
A C E G
B D
F H
已知MN//PQ，直线L分别交MN、PQ于点A、C，同旁内角 的平分线AB、CD相交于点B，AD、CD相交于点D,试说明 四边形ABCD是矩形。
证明：∵ MN ∥ PQ ∴ ∠NAC=∠ACP ∵ AD、CB分别平分∠NAC、∠ACP ∴ ∠2=∠NAC，∠1=∠ACP ∴ ∠1=∠2 ∴ AD∥BC 同理：AB∥CD ∴ 四边形ABCD是平行四边形 ∵ AD、AB分别平分∠NAC、∠MAC 1 ∴ ∠2= 1 ∠NAC，∠1= ∠MAC 2 2 ∴ ∠2+∠4= 1 2 (∠NAC+∠MAC) ∵ ∠NAC+∠MAC=180° ∴ ∠BAD=90° ∴ 四边形ABCD是矩形
∴∠BAD +∠CDA=180°（两 直线平行，同旁内角互补）
C
又∵AB=DC,BD=CA,AD=DA ∴△BAD≌△CDA(S.S.S.) ∴∠BAD=∠CDA ∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角
的平行四边形是矩形）
八年级 数学
矩形判定3
有三个角是直角的四边பைடு நூலகம்是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. A 证明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD.(同旁内角 B 互补，两直线平行。) ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠A=900 ∴四边形ABCD是矩形.（有一个内角是直角 的平行四边形是矩形）
矩形的判定
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2、 边 矩 形 的 性 质 矩形的对边平行且相等
角
矩形的四个角都是直角
对角线
矩形的 两条对角线相等且互相平分
猜想：矩形有哪些判定方法？ 依据定义： 有一个角是直角的平 行四边形是矩形。
A
B
几何语言： ∵在 ABCD中，∠C=900 ∴ ABCD是矩形
D E H
O F G C
1.本节课你学会了几种矩形的判定方法？ 矩形的判定口诀： 任意一个四边形， 三角直角定矩形。 对于平行四边形， 一个直角即可定； 对线相等也矩形。 2.本节课所学的解决问题的思路是什么？ 解决一个数学问题，常要通过“ 猜想”----“验 证猜想(证明)”-----“得出结论”
例：已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
E、F、G 、 H分别是AO 、BO 、 CO 、 DO上的一点 ,且 AE=BF=CG=DH. 若变为：E、F、G、H分别是AO、 求证:四边形EFGH是矩形 BO、CO、DO的中点，你会吗？
证明： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等) A AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分） ∵ AE=BF=CG=DH ∴OE=OF=OG=OH ∴四边形EFGH是平行四边形（对角 线互相平分的四边形是平行四边形） ∵EO+OG=FO+OH B 即EG=FH ∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。
M A N D 13 C
42
B P
Q
挑战中考关
已知:如图在平行四边形ABCD中,AE.BF.CG.DH分别是 它的四个内角的平分线. 求证:四边形EFGH是矩形.
A 1 2 B H E3
4 6 5
F G C
证明: D ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC(平行四边形的对边平行) ∴ ∠DAB+ ∠ABC=1800 (两直线 平行,同旁内角互补) ∵AE.BF分别是它的内角的平分线 ∴ ∠1+ ∠2=900 ∴ ∠3=90 0 （三角形的内角和 为1800） ∴ ∠4= 90 0 （对顶角相等） 同理: ∠5= ∠6=900 ∴四边形EFGH是矩形(有三个角是 直角的四边形是矩形)
C
D
猜想1：对角线相等的平行 四边形是矩形
猜想2：有三个角是直角的四 边形是矩形
八年级 数学
验证猜想
矩形判定2 对角线相等的平行四边形是矩形
已知: 四边形ABCD是平行四边形,AC=BD 求证: 四边形ABCD是矩形 证明：在 ABCD中， ∴AB CD（平行四边形的
A O B
D
对边平行且相等）