高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》全集汇编附答案

新数学《不等式选讲》高考知识点
一、14
1．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．
37
200
B ．
200
7
C ．36
D ．40
【答案】B 【解析】 【分析】
根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】
根据柯西不等式得到
()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()()()2
222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦
进而得到最小值是：200
7
故答案为B. 【点睛】
这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.
2．已知函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数,且当0x >时,()f x 单调递增，则关于x 的不等式(1)()f x f a ->的解集为 （ ） A ．45[,)33
B ．2112(,][,)3333
-
-⋃ C ．12
[,)33⋃45(,]33
D ．随a 的值而变化
【答案】C 【解析】
试题分析：∵函数()f x 是定义在[1,2]a a -上的偶函数，∴1-a=2a ，∴a=1
3
，故函数()f x 的定义的定义域为22[,]33-
，又当2
03
x <≤时,()f x 单调递增，∴11113
(1)()(1)(){23313
x f x f f x f x ->
->⇔->⇔-≤
，解得1233x ≤<或4533x <≤，所以
不等式(1)()f x f a ->的解集为12[,)33⋃45(,]33
，故选C
考点：本题考查了抽象函数的运用
点评：此类问题往往利用偶函数的性质()()f x f x =避免了讨论，要注意灵活运用
3．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞U D ．(][),04,-∞+∞U
【答案】B 【解析】 【分析】
利用绝对值三角不等式确定()f x 的最小值；把()2f x ≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a 的范围。

【详解】
根据绝对值三角不等式，得
1(1)()1x x a x x a a ++-≥+--=+
∴()1f x x x a =++-的最小值为1a +
()2f x ≥Q 恒成立，∴等价于()f x 的最小值大于等于2，即12a +≥ ∴12a +≥或12a +≤-，1a ≥或3a ≤-，故选B 。

【点睛】
本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a 的取值范围。

4．若集合{}
2
540A x x x =-+<，{}
1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的
（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】
解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}
14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，
{}11B x a x a ∴=-<<+.
B A ⊆Q ，则有11
14a a -≥⎧⎨+≤⎩
，解得23a ≤≤.
因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】
本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
5．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x „时，2()4f x x x =+，则(2)5f x +>的解集为（ ）
A ．(,5)(5,)-∞-+∞U
B ．(,5)(3,)-∞-+∞U
C ．(,7)(3,)-∞-+∞U
D ．(,7)(2,)-∞-+∞U
【答案】C 【解析】 【分析】
根据偶函数以及当0x „时，2
()4f x x x =+,可得0x ≥时的表达式,由此求得
(2)(|2|)f x f x +=+,再代入可解得.
【详解】
∵()f x 是定义域为R 的偶函数，
∴当0x ≥时，0x -≤,所以22
()()()4()4f x f x x x x x =-=-+-=-. 由()25f x +>以及()f x 为偶函数，得(|2|)5f x +>，
∴2
|2|4|2|5x x +-+>，
所以(|2|5)(|2|1)0x x +-++>, 因为|2|10x ++>, 所以|2|5x +>,
所以25x +>或25x +<-, 解得7<-x 或 3.x > 故选C 【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求函数解析式,绝对值不等式的解法,属于中档题.
6．2018年9月24日, 英国数学家M.F 阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动. 黎曼猜想来源于一些特殊数列求和, 记
222
1111.........,23S n 则（）=+
++++
A ．413
S << B ．4332
S << C ．
3
22
S << D ．2S > 【答案】C 【解析】 【分析】
由题意利用不等式放缩后裂项确定S 的范围即可. 【详解】
由题意可知：222111123S n =+++++L L
()111123341n n >+++++⨯⨯+L L 11111
1123341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L L 13122>+=， 且222111123S n =+++++L L
()111112231n n <+++++⨯⨯-⨯L L 1111
1112231n n L L ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
122n L =-+<，
综上可得：
3
22
S <<. 本题选择C 选项. 【点睛】
本题的核心是考查裂项求和的方法，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
7．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则2221
4a b a b
-+-的最小值为（ ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】
a ，
b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21
a b
+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值
即可． 【详解】
∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴
21
a b
+=1． 则22214a b a b
-+- 24
a =+
b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b
=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．
∴（24
a +
b 2
）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． ∴2
4
a +
b 2≥8， ∴224a a
-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．
故选：B ． 【点睛】
本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．1[,+)6
∞ B ．1[,+)3
∞ C ．1[,+)2∞ D ．1
[
,+)12
∞ 【答案】C 【解析】 【分析】
先将不等式2
130ax x a -++≥变形为213
x a x +≥
+，由不等式2
130ax x a -++≥的解集
是(),-∞+∞，可得2
13
x a x +≥+恒成立，因此只需求出
2
13
x x ++的最大值即可.
【详解】
解：不等式2
130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，
即x R ∀∈，2
130ax x a -++≥恒成立，
∴2211
3
3
x x a x x ++≥
=
++， 令()21
3
x g x x +=
+， 当1x =-时，()0g x =；
当1x ≠-时，
()2
1
143
121
x g x x x x +=
=+++
-+， 若10x +>，则()
4
1221
x x ++-≥=+， 当且仅当4
11
x x +=+，即x 1＝时上式“＝”成立； 若x 10+＜， 则()()()
441212611x x x x ⎡⎤++
-=--++-≤-=-⎢⎥+-+⎢⎥⎣
⎦， 当且仅当()()
4
11x x -+=
-+，即3x =-时上式“＝”成立．
()()
][()4
12,62,1x x ∴++
-∈-∞-⋃+∞+． ()10,2g x ⎛⎤
∴∈ ⎥⎝⎦
．
12
a ∴≥
． 则实数a 的取值范围是1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
． 故选C ． 【点睛】
本题主要考查不等式恒成立的问题，由不等式恒成立求参数的范围，通常用分离参数的方法，将不等式转化为参数与一个函数比较大小的形式，只需求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型.
9．已知1a >，且函数()2
2
24f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式
()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]4,25
B ．(]1,25
C ．(]1,16
D ．[]4,16
【答案】C 【解析】
【分析】
由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】
当25a =时，()2
2
252425f x x x x x =-++-+
且22
250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()2
3975f x x x =-+，
此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，
即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；
当3a =时，()2
2
3243f x x x x x =-++-+，
当()1,3x ∈时，2
2
30,430x x x x -+>-+<，
所以()()
2
2
2
324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，
此时()()1f x a x ≥-化成()2
7331x x x -+-≥-，
即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】
本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.
10．在平面内，已知向量(1,0)a =v ，(0,1)b =v ，(1,1)c =v
，若非负实数,,x y z 满足
1x y z ++=，且23p xa yb zc =++v v v v
，则（ ）
A ．p v
B ．p v
的最大值为
C ．p v
D ．p v
的最大值为【答案】A 【解析】 【分析】
求出p v 的坐标，表示p v ，即：p v
柯西不等式即可求得其最小值，问题得解． 【详解】
因为()1,0a =v ，()0,1b =v ，()1,1c =v
，
所以23p xa yb zc =++v v v v
=()3,23x z y z ++，
又非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，所以01z ≤≤，
所以p v =
=
5
≥
=
=
≥
=， 当且仅当()()31232,0x z y z z +⨯=+⨯=时，等号成立． 即：当且仅当41
,,055
x y z =
==时，等号成立．
所以p v
， 故选A. 【点睛】
本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题．
11．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，若实数m 满足
321
(log (211))(log )2
f m f -+>，则m 的取值范围是( )
A ．13
(,)(,)22-∞-+∞U ）
B ．3
(,)2
-∞ C ．1(,)2-+∞ D ．13(,)22
-
【答案】D 【解析】 【分析】
不等式等价于(
)(
)()3log 211
1f m f -+>，利用函数是偶函数和其单调性可知
()3log 2111m -+<，转化为解对数和含绝对值的不等式.
【详解】
()f x Q 是偶函数，()()21log 112f f f ⎛
⎫∴=-= ⎪⎝
⎭，
即不等式等价于(
)(
)()3log 211
1f m f -+>
()3log 2110m -+≥Q ，
Q ()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(],0-∞上单调递增，
()f x ∴在[)0,+∞单调递减， ()3log 2111m ∴-+<，
即2113m -+<，整理为：212m -< ，
2212m ∴-<-<，
解得：13
22
m -<<.
故选：D 【点睛】
本题考查利用函数的性质解不等式，主要考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型，一般利用函数是偶函数，并且已知函数在区间上的单调性时，
()()()()1212f x f x f x f x >⇒>，然后利用()0,∞+或[)0,+∞的单调性解不等式.
12．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(]
,1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】
先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】
由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，
由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】
本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
13．下列四个不等式：①log 10lg 2(1)x x x +>…
；②a b a b -<+；③
2(0)b a
ab a b
+≠…；④121x x -+-≥，其中恒成立的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①1
log 10lg lg 2(1)lg x x x x x
+=
+>…，当10x =时等号成立，正确 ②a b a b -<+，0b =时不成立，错误 ③
，a b =时等号成立.正确
④12(1)(2)1x x x x -+-≥---=，12x ≤≤时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】
本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.
14．若，则不等式
的解集为 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
由绝对值三角不等式的性质得出，由
，得出
，借助正弦函数
图象可得出答案。

【详解】 因为成立，所以
，
又，所以
，
，故选：D 。

【点睛】
本题考查绝对值三角不等式的应用，再利用绝对值不等式时，需要注意等号成立的条件，属于基础题。

15．已知()()31f x x x R =+∈，若()4f x a -<的充分条件是()1,0x b a b -<>，则
a 、
b 之间的关系是（ ）
A ．3
b a ≤
B ．3
a b ≤
C ．3
a b >
D ．3
b a >
【答案】B 【解析】 【分析】
解出不等式()4f x a -<和1x b -<，根据题中充分条件关系得出两解集之间的包含关系，然后得出不等式组，即可得出a 、b 之间的关系. 【详解】
()31f x x =+Q ，且0a >，0b >，
解不等式()4f x a -<，即33x a -<，解得1133
a a x -
<<+， 解不等式1x b -<，得11b x b -<<+. 由于()4f x a -<的充分条件是1x b -<，则()1,11,13
3a a b b ⎛⎫-+⊆-+ ⎪⎝⎭， 113113a b a
b ⎧-≥-⎪⎪∴⎨⎪+≤+⎪⎩，可得3a b ≤. 故选：B.
【点睛】
本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用充分条件关系求参数之间的关系，一般转化为集合的包含关系来处理，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
16．已知函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，则不等式()2f x ≥的解集为（ ）
A ．[]0,3
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．(][),03,-∞⋃+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
首先不等式等价于()2f x ≥或()2f x ≤-，然后再根据函数的单调性解不等式.
【详解】
不等式()()22f x f x ≥⇒≥或()2f x ≤- Q 函数()f x 是R 上的增函数，它的图像经过点()0,2A -，()3,2B ，
()23f x x ∴≥⇒≥，()20f x x ≤-⇒≤
∴不等式的解集是(][),03,-∞⋃+∞.
故选：D
【点睛】
本题考查根据函数的单调性解不等式，意在考查含绝对值不等的解法，考查基本计算能力，属于基础题型.
17．设不等式3412
x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．15a <-或47a > B ．15a <-
C ．47a >或01a <<
D ．15a <-或1064a << 【答案】A
【解析】
【分析】 根据不等式3412x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立,取2x =时,可得2
431a ->,解得15a <-或47a >,利用换元法把不等式换为281t a t ->-,分47a >和15a <-两种情况
讨论2
()81h t t t =+-的最大值即可求得实数a 的取值范围. 【详解】
解:因为不等式3412
x x a +->-对所有的[1,2]x ∈均成立, 当2x =时,312
x +-有最大值31,不等式显然要成立, 即2431a ->,解得15a <-或47a >,
当[1,2]x ∈时,令2[2,4]x t =∈,
则24[4,16]x t =∈,32
8[16,32]x t +=∈, 所以3412x x a +->-等价于281t a t ->-,
①当47a >时,即281a t t ->-在[2,4]t ∈恒成立,
即2
81()a t t h t >+-=,
即求2()81h t t t =+-的最大值,max ()(4)47h t h ==,所以47a >; ②当15a <-时,281t a t ->-在[2,4]t ∈恒成立,
即2
81()a t t f t <-+=,
即求2()81f t t t =-+的最小值,min ()(4)15f t f ==-; 综上:15a <-或47a >.
故选:A
【点睛】
本题考查利用二次函数的最值求绝对值不等式中的参数问题,利用换元法是关键,属于中档题.
18．不等式2
30x x -<的解集为（ ） A ．{
}03x x <<
B ．{}3003x x x -<<<<或
C ．{}30x x -<<
D ．{}33x x -<< 【答案】B
【解析】
【分析】 将不等式表示为2
30x x -<，得出03x <<，再解该不等式可得出解集.
将原不等式表示为2
30x x -<，解得03x <<，解该不等式可得30x -<<或03x <<. 因此，不等式230x x -<的解集为{
}3003x x x -<<<<或，故选：B. 【点睛】
本题考查二次不等式的解法与绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中等题.
19．不等式||x x x <的解集是（ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|11}x x -<<
C ．{|01x x <<或1}x <-
D ．{|10x x -<<或1}x >
【答案】C
【解析】
【分析】 原不等式即()||10x x -<，等价转化为①010x x >⎧⎨-<⎩，或 ②010x x <⎧⎨->⎩
．分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
【详解】
解：不等||x x x <，即()||10x x -<，
∴①010x x >⎧⎨-<⎩或 ②010x x <⎧⎨->⎩
． 解①可得01x <<，解②可得1x <-．
把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{|01x x <<或1}x <-，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论和等价转化的数学思想，属于中档题．
20．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜
想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的各项的和222111123S n L L =+
++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S <<
B ．5443S <<
C ．322S <<
D ．2S >
【答案】C
【解析】
由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论.
【详解】
由2n ≥时，()2111111n n n n n
<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n
=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ， 由22111341123363
+
+=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】 本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.。