人教版数学高一A版必修4预习学案 2.4平面向量的数量积(第1课时)

预习导航
1．平面向量的数量积
cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，
如果是实数，如何确定它的符号？
提示：向量的数量积是实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦之积．当a，b为非零向量时，由a·b＝|a||b|cos θ，a·b的符号由a与b的夹角θ的余弦值来确定．当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0，当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.
思考2根据投影的定义，如何利用两向量的数量积求向量a在向量b上的投影？
提示：根据向量数量积的定义可知，向量a在向量b上的投影为|a|cos θ，又a·b＝|a||b|cos
θ，所以cos θ＝
·
||||
a b
a b
，所以向量a在向量b上的投影为|a|cos θ＝|a|×·
||||
a b
a b
＝·
||
a b
b
.
2．运算律
思考3
提示：数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，不适合乘法结合律，即(a·b)c
不一定等于a(b·c)，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
3．向量数量积的性质
设a，b为两个非零向量，a与b的夹角为θ.
提示：不一定垂直．当两向量都不为零时，若数量积为零，则两向量垂直．。