2019年高三数学下期中模拟试卷(含答案)

2019年高三数学下期中模拟试卷(含答案)
一、选择题
1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S
B ．5S
C ．6S
D ．7S
2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
3．若变量x ，y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
，，
，则2
y
z x =
-的取值范围是（ ） A ．113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，
B ．11115⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
，
C ．111153⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦， D ．3153
⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
4．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117
D ．
11
6
6．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22
a a a 成等差数列，则
8967a a a a +=+ A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
7．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为
2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．(,7]-∞-
B ．[3,1]-
C ．[1,)+∞
D ．[7,3]--
8．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
．
3
B
C
D
．3
-
9．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ）
A ．49
B ．91
C ．98
D ．182
10．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 km
B ．3 km
C ．105 km
D
．107 km
11．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16
B ．26
C ．8
D ．13
12．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且
2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B ．2
C ．
22
D ．4
二、填空题
13．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()
*
12n n n a a n N +=∈，则20a =________．
14．已知数列{}n a 中，45n a n =-+，等比数列{}n b 的公比q 满足1(2)n n q a a n -=-≥，且12b a =，则12n b b b +++=L __________．
15．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 的面积为6
2
，则BC 的长为______．
16．已知二次函数f （x ）=ax 2+2x+c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则11
a c c a
+++的最小值为_____．
17．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．
18．设变量,x y 满足约束条件：21y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，则3z x y =-的最小值为__________．
19．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．
20．设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________．
三、解答题
21．解关于x 的不等式()2
22ax x ax a R -≥-∈.
22．已知实数x 、y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为
33a -，求实数a 的取值范围.
23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，
(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r
，BC =（1）求角B ；
（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形
ABCD 的面积．
24．若数列{}n a 的前n 项和n S 满足*231?
(N )n n S a n =-∈,等差数列{}n b 满足113233b a b S ==+，.
(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式; (2)设3n
n n
b c a =
,求数列{}n c 的前n 项和为n T . 25．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤
13
； （Ⅱ）222
1a b c b c a
++≥.
26．
已知函数()sin (0)f x m x x m =+>的最大值为2. （Ⅰ）求函数()f x 在[0,]π上的单调递减区间； （Ⅱ）ABC ∆中
,()()sin 44
f A f B A B π
π
-
+-=,角,,A B C 所对的边分别是
,,a b c ，且060,3C c ==，求ABC ∆的面积．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
先通过数列性质判断60a <，再通过数列的正负判断n S 的最小值. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，390a a +<，∴39620a a a +=<，即60a <.又70a >，∴{}n a 的前n 项和n S 的最小值为6S . 故答案选C 【点睛】
本题考查了数列和的最小值，将n S 的最小值转化为{}n a 的正负关系是解题的关键.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合2
y
z x =-的几何意义求出其范围，即可得到答案. 【详解】
由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示：
由358y x x y =⎧⎨+=⎩，解得11A (，)，由1
x y x =-⎧⎨
=⎩
，解得(11)B --，， 而2
y
z x =
-的几何意义表示过平面区域内的点与0(2)C ，
的直线斜率， 结合图象，可得1AC k =-，13
BC k =
，
所以2
y z x =
-的取值范围为113⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】
由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，
由余弦定理得2222222512116923
cos 022511110
a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，
因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】
本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
5．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113713132412226
132
a a a S
b b b T +⋅===+⋅.
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0），由题意可得关于q 的式子，解之可得q ，而所求的式子等于q 2，计算可得． 【详解】
设各项都是正数的等比数列{a n }的公比为q ，（q ＞0）
由题意可得3121
23
22
a a a ⨯
=+， 即q 2-2q-3=0， 解得q=-1（舍去），或q=3，
故()2
672896767
9a a q
a a q a a a a ．++===++ 故选：D ． 【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属基础题．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】
作出不等式组110
750310x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪--≤⎩
对应的平面区域（如图阴影部分），
目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，
（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，
则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，
30a ∴-≤<.
（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，
要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率
1a -≥-， 01a ∴<≤.
（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….
故选：B . 【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.
8．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4a +
13a ）
，即4a +
13a ≤
故1212a x x x x ++
的最大值为． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
9．B
解析：B 【解析】
∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴
13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】
因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫
⨯⨯⨯-
= ⎪⎝⎭
700．
所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】
本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．
11．D
解析：D 【解析】 【详解】
试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=，
∴1134101313()13()
1322
a a a a S ++=
==，故选D. 考点：等差数列的通项公式、前n 项和公式.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，
由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 0B B =，即tan B =3
B π
=
，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
2
2
2cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-，
即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
二、填空题
13．512【解析】【分析】利用已知将n 换为n+1再写一个式子与已知作比得到数列的各个偶数项成等比公比为2再求得最后利用等比数列的通项公式即可得出【详解】∵anan+1=2n （）∴an+1an+2=2n+
解析：512 【解析】 【分析】
利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】
∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈）
∴2
2n n
a a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2， 又∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ， 可得：当n 为偶数时，12
22
n
n a a -=⋅
∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14．【解析】【分析】【详解】所以所以故答案为 解析：41n -
【解析】 【分析】 【详解】
()()145[415]4n n q a a n n -=-=-+---+=-，124253b a ==-⨯+=-，
所以()
1
1134n n n b b q --=⋅=-⋅-，()
1
13434n n n b --=-⋅-=⋅，
所以2
1
1214334343434114
n n n n b b b --++⋯+=+⋅+⋅+⋯+⋅=⋅=--，
故答案为41n -.
15．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题
【解析】 【分析】
利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可. 【详解】
由题意得,
11sin sin 22A A =⨯⇒=
又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2
717BC =+-=,
即BC =
.
故A 为钝角.此时cos A ==故2
7110BC =++=.
即BC =
【点睛】
本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.
16．4【解析】【分析】先判断是正数且把所求的式子变形使用基本不等式求最小值【详解】由题意知则当且仅当时取等号∴的最小值为4【点睛】】本题考查函数的值域及基本不等式的应用属中档题
解析：4 【解析】 【分析】
先判断a c 、是正数，且1ac =，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值． 【详解】
由题意知，044010a ac ac c =-=∴=V ＞，，，＞，
则
111111 2224a c a c a c c a c c a a c a c a +++=+++=+++≥+=+=（）（），
当且仅当1a c ==时取等号． ∴11a c c a +++的最小值为4． 【点睛】 】本题考查函数的值域及基本不等式的应用．属中档题.
17．【解析】在△中且故故答案为：点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数属于简单题对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）同时还要熟练掌握运用两种形式的条件另外在解与三角
解析：14
- 【解析】
在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =,故
222132,3,cos .24
a b c a b b c ab +-=∴===- 故答案为：14
-. 点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）
222
cos 2b c a A bc
+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用. 18．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为
解析：-10
【解析】
作出可行域如图所示：
由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33
x z y =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线
33
x z y =-的截距最大，此时z 最小 由1{2
x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=- 故答案为10-
19．【解析】【分析】在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际
解析：14
【解析】
【分析】
在ABC ∆中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin ,sin ACB BAC ∠∠，最后利用两角和的余弦公式，即可求解cos θ的值．
【详解】
在ABC ∆中，40AB =海里，20AC =海里，120BAC ∠=o ，
由余弦定理可得2222cos1202800BC AB AC AB AC =+-⋅=o ，
所以BC =,
由正弦定理可得sin sin 7
AB ACB BAC BC ∠=⋅∠=，
因为120BAC ∠=o ，可知ACB ∠为锐角，所以cos 7
ACB ∠=
所以cos cos(30)cos cos30sin sin 30ACB ACB ACB θ=∠+=∠-∠=
o o o ． 【点睛】
本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程，求结果．
20．【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程求出公差后代入等差数列通项公式即可【详解】设等差数列的公差为【点睛】在解决等差等比数列的运算问题时有两个处理思路一是利用基本量将多元问题简化为首项与公差（公 解析：63n a n =-
【解析】
【分析】
先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
13334366a d d d =∴+++=∴=Q ，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
三、解答题
21．当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；
当0a >时，不等式的解集为2{|x x a
≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|
1}x x a ≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-；
当2a <-时，不等式的解集为2{|1}x x a -≤≤.
【解析】
【分析】
将原不等式因式分解化为()()210ax x -+≥，对参数a 分5种情况讨论：0a =，0a >，20a -<<，2a =-，2a <-，分别解不等式．
【详解】
解：原不等式可化为()2
220ax a x +--≥，即()()210ax x -+≥， ①当0a =时，原不等式化为10x +≤，解得1x ≤-，
②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝
⎭， 解得2x a
≥或1x ≤-， ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛
⎫-
+≤ ⎪⎝⎭. 当
21a >-，即2a <-时，解得21x a -≤≤； 当
21a =-，即2a =-时，解得1x =-满足题意； 当21a
<-，即20a -<<时，解得21x a ≤≤-.
综上所述，当0a =时，不等式的解集为{}|1x x ≤-；
当0a >时，不等式的解集为2{
|x x a
≥或1}x ≤-； 当20a -<<时，不等式的解集为2{|1}x x a
≤≤-； 当2a =-时，不等式的解集为{}1-； 当2a <-时，不等式的解集为2
{|1}x x a -≤≤.
【点睛】
本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对a 分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.
22．[]1,1-
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用题中条件找出目标函数z ax y =+取得最大值和最小值的最优解，根据题意将直线z ax y =+与可行域边界线的斜率进行大小比较，可得出实数a 的取值范围.
【详解】
作出不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
所表示的可行域如下图所示：
由z ax y =+得y ax z =-+，
Q 目标函数z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -.
∴当直线y ax z =-+经过点()3,9B 时，该直线在y 轴上的截距最大，
当直线y ax z =-+经过点()3,3A -时，该直线在y 轴上的截距最小，
结合图形可知，直线y ax z =-+的斜率不小于直线0x y +=的斜率，不大于直线60x y -+=的斜率，即11a -≤-≤，解得11a -≤≤，因此，实数a 的取值范围是[]1,1-.
【点睛】
本题考查线性目标函数最大值和最小值的最优解问题，对于这类问题，一般要利用数形结合思想，利用目标函数对应直线在坐标轴上的截距最值得出目标函数所在直线的斜率与可行域边界直线的斜率的大小关系来求解，考查数形结合思想，属于中等题.
23．（1）3B π=
（2 【解析】
【分析】
（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=
π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积．
【详解】
（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r
， (2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，
2sin cos sin()A B B C ∴=+，
2sin cos sin A B A ∴=，
1cos 2
B ∴=， 0B Q π<<，
3
B π∴=； （2）根据题意及（1）可得AB
C ∆是等边三角形，23
ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos
3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，
由正弦定理可得sin sin 7
CD ADC DAC AC ∠∠==，
∴
四边形ABCD 的面积．111224
S DAC ABC =⨯∠+∠=． 【点睛】
本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积
分割成两个三角形的面积和.
24．(1)13n n a -=，;(2)()223n n n T +=-. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由数列递推式求出a 1，在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a n }为等比数列，则数列{a n }的通项公式可求，再由b 1=3a 1，b 3=S 2+3求出数列{b n }的首项和公差，则{b n }的通项公式可求；
（Ⅱ）把数列{a n }、{b n }的通项公式代入3n n n
b c a =
，直接由错位相减法求数列{c n }的前n 项和为T n ．
【详解】
（Ⅰ）当1n =时，111231,1S a a =-∴= 当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即1
3n n a a -= ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=.
设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=
()31321n b n n ∴=+-⨯=+ ,
（Ⅱ）1232135721,33333n n n n n n c T ++=
=++++L ① 则2341
1
3572133333n n n T ++=++++L ②， 由①—②得，2312
111211233333n n n n T ++⎛⎫=++++-
⎪⎝⎭L 142433n n ++=+ ∴223n n
n T +=-
. 【点睛】 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的前n 项和，是中档题．
25．（Ⅰ）证明见解析；（II ）证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（Ⅰ）由222a b ab +≥，222c b bc +≥，222a c ac +≥得：
222a b c ab bc ca ++≥++，
由题设得，
即2222221a b c ab bc ca +++++=，
所以3()1ab bc ca ++≤，即13ab bc ca ++≤. （Ⅱ）因为22a b a b
+≥，22b c b c +≥，2
2c a c a +≥， 所以222
()2()a b c a b c a b c b c a
+++++≥++， 即222
a b c a b c b c a
++≥++， 所以222
1a b c b c a
++≥. 本题第（Ⅰ）（Ⅱ）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:“一正二定三相等”. 【考点定位】
本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
26．（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】
【分析】
【详解】
(1)由题意，f(x)2m 2+，2m 2 2.+=而m>0，于是2，f(x)=2sin(x+4
π).由正弦函数的单调性可得x 满足32k x 2k (k Z)242πππππ+≤+≤+∈，即52k x 2k (k Z).44ππππ+≤≤+∈所以f(x)在［0,π］上的单调递减区间为,.4
ππ［］ (2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得c 32R 2 3.sin?C sin60=
==︒化简f (A )f (B )46sinAsin?B 44ππ
-+-=，得6sin Asin B.由正弦定理，得()2R a b 26ab,a b 2ab.+=+=① 由余弦定理，得a 2+b 2-ab=9，即(a+b)2-3ab-9=0② 将①式代入②，得2(ab)2-3ab-9=0，解得ab=3或3ab 2
=-(舍去)，故ABC 133S absinC 2∆==。