2018年中考数学二次函数的实际应用

火速出击第14讲二次函数的实际应用
【试试火力】:
1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）
2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为24﹣82cm．
3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调
查获得部分数据如下表：
30 35 40 45 50
销售价格x（元/千
克）
日销售量p（千克）600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知
识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）
4.（2017浙江湖州）湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥
技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．【出处：21教育名师】
（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；
（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t的函数关系为；y与t的函数关系如图所示．
①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t的函数关系式；
②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额﹣总成本）
【把握火苗】
火点1实物抛物线
步骤①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题.
桥梁、隧道、体育运动等
常见类
型
【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不
同.
火点2二次函数在销售问题中的应用
步骤①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数的③，解决实际问题.
【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最
值的影响.
火点3二次函数在面积问题中的应用
步骤①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；
③确定二次函数的⑤，解决问题.
火点4灵活选用适当的函数模型
步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题.
【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对
求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.
【掌握火候】
1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅
助思考.
2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、
纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.
【突破火点】燃点1 实物抛物线
例1如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2
+h.已知球网与O 点的水平距离为9 m ，高度为 2.43 m ，球场的边界距O 点的水平距离为18 m.
(1)当h=2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求
h 的取值范围.
【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令x=9，求y 值，若y ≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x 值.若x ≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y ，若y ＞0则出界，否则
不出界;
(3)把二次函数化为只含有字母系数h 的形式.然后令x=9时y ＞2.43，且当x=18
时y ≤0，从而确定h 的取值范围. 【解析】
∵点(0，2)在y=a(x-6)2
+h 的图象上，
∴2=a (0-6)2
+h ，a=236
h
，
函数可写成y=
236h
(x-6)2
+h.
(1)当h=2.6时，y 与x 的关系式是y=-160
(x-6)2
+2.6；
(2)球能越过球网，球会出界. 理由：当x=9时，y=-160
×(9-6)2
+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；
当y=0时，-160
(x-6)2
+2.6=0，解得x 1=6+239＞18，x 2=6-239(舍去)，故球
会出界.
另解：当x=18时，y=-1
60
×(18-6)2+2.6=0.2＞0，所以球会出界.
(3)由球能越过球网可知，当x=9时，y=2
4h
+h＞2.43，①
由球不出边界可知，当x=18时，y=8-3h≤0，②
由①、②知h≥8
3，所以h的取值范围是h≥8
3
.
方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案. 燃点2二次函数在销售问题中的应用
例2（2017湖北荆州）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：
，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间
的函数关系如图所示：
（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？
（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m ＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间
t的增大而增大，求m的取值范围．
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w，分1≤t≤40和41≤t≤80两种情况，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时x的值，结合函数图象即可得出答案；
（4）依据（2）中相等关系列出函数解析式，确定其对称轴，由1≤t≤40且销售利润随时间t的增大而增大，结合二次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设解析式为y=kt+b，
将（1，198）、（80，40）代入，得：
，
解得：，
∴y=﹣2t+200（1≤x≤80，t为整数）；
（2）设日销售利润为w，则w=（p﹣6）y，
①当1≤t≤40时，w=（t+16﹣6）（﹣2t+200）=﹣（t﹣30）2+2450，
∴当t=30时，w最大=2450；
②当41≤t≤80时，w=（﹣t+46﹣6）（﹣2t+200）=（t﹣90）2﹣100，
∴当t=41时，w最大=2301，
∵2450＞2301，
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
（3）由（2）得：当1≤t≤40时，
w=﹣（t﹣30）2+2450，
令w=2400，即﹣（t﹣30）2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
由函数w=﹣（t﹣30）2+2450图象可知，当20≤t≤40时，日销售利润不低于2400元，
而当41≤t≤80时，w最大=2301＜2400，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
（4）设日销售利润为w，根据题意，得：
w=（t+16﹣6﹣m）（﹣2t+200）=﹣t2+（30+2m）t+2000﹣200m，
其函数图象的对称轴为t=2m+30，
∵w随t的增大而增大，且1≤t≤40，
∴由二次函数的图象及其性质可知2m+30≥40，
解得：m≥5，
又m＜7，
∴5≤m＜7．
方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.
燃点3 二次函数在面积问题中的应用
例3 （2017?温州）小黄准备给长8m，宽6m的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域Ⅰ（阴影部分）和一个环形区域Ⅱ（空白部分），其中区域Ⅰ用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ∥AD，如图所示．
（1）若区域Ⅰ的三种瓷砖均价为300元/m2，面积为S（m2），区域Ⅱ的瓷砖均价为200元/m2，且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；
（2）若区域Ⅰ满足AB：BC=2：3，区域Ⅱ四周宽度相等
①求AB，BC的长；
②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/m2，乙、丙瓷砖单价之比为5：3，且区域
Ⅰ的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质．【分析】（1）根据题意可得300S+（48﹣S）200≤12000，解不等式即可；
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，由此即可解决问题；
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，由PQ∥AD，可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，解
得s=600
??，由0＜s＜12，可得0＜600
??
＜12，解不等式即可；
【解答】解：（1）由题意300S+（48﹣S）200≤12000，
解得S≤24．
∴S的最大值为24．
（2）①设区域Ⅱ四周宽度为a，则由题意（6﹣2a）：（8﹣2a）=2：3，解得a=1，∴AB=6﹣2a=4，CB=8﹣2a=6．
②设乙、丙瓷砖单价分别为5x元/m2和3x元/m2，则甲的单价为（300﹣3x）元/m2，
∵PQ∥AD，
∴甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12，设乙的面积为s，则丙的面积为（12﹣s），
由题意12（300﹣3x）+5x?s+3x?（12﹣s）=4800，
解得s=600
??
，
∵0＜s＜12，
∴0＜600
??
＜12，
∴0＜x＜50，
∴丙瓷砖单价3x的范围为0＜3x＜150元/m2．
【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，
学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型．
方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.
燃点4 灵活选用适当的函数模型
例题4：科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的
植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).
温度x/℃，-4-20244.5,植物每天高度
增长量y/mm,414949412519.75,由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长
量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两
种函数的理由；
(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？
(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.
【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除
一次函数；
(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；
(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.
【解析】(1)选择二次函数，因为当x=0时，y=49，所以c=49.所以设y=ax2+bx+49，得
424949,4249
41.
a b a b 解得
1,2.
a b
∴y 关于x 的函数关系式是y=-x 2
-2x+49. 不选另外两个函数的理由：
∵点(0，49)不可能在反比例函数图象上，∴y 不是x 的反比例函数；
∵点(-4，41)，(-2，49)，(2，41)不在同一直线上，∴y 不是x 的一次函数. (2)由(1)，得y=-x 2
-2x+49=-(x+1)2
+50. ∵a=-1＜0，∴当x=-1时，y 有最大值为50，即当温度为-1 ℃时，这种植物每天高度增长量最大.
(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，
∴平均每天该植物高度增长量超过25 mm ，
当y=25时，-x 2
-2x+49=25，
整理，得x 2
+2x-24=0，解得x 1=-6，x 2=4，∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm ，实验室的温度应保持在
-6 ℃＜x ＜4 ℃.
方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.
燃点5二次函数与三角形的综合
例题5：（2017深圳）如图，抛物线y=ax 2
+bx+2经过点A （﹣1，0），B （4，0），交y 轴于点C ；
（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =S △ABD ？若存在请直
接给出点D 坐标；若不存在请说明理由；
（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点
E ，求BE 的长．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；
（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），
∴AB=5，OC=2，
∴S△ABC=AB?OC=×5×2=5，
∵S△ABC=S△ABD，
∴S△ABD=×5=，
设D（x，y），
∴AB?|y|=×5|y|=，解得|y|=3，
当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，
3）；
当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；
综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，
∴AC==，BC==2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，
由题意可知∠FBC=45°，
∴∠CFB=45°，
∴CF=BC=2，
∴=，即=，解得OM=2， =，即=，解得FM=6，
∴F（2，6），且B（4，0），
设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，
∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
∴E（5，﹣3），
∴BE==．
燃点6二次函数与四边形的综合
例题6：（2017山东烟台）如图1，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4，矩形OBDC的边CD=1，延长DC交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点G，作PH⊥EO，垂足为H．设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系式（不必写出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m 可表示出PG的长，从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标．
【解答】解：
（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+2；
（2）在y=﹣x2﹣x+2中，令y=2可得2=﹣x2﹣x+2，解得x=0或x=﹣2，∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，
由题意可得P（m，﹣ m2﹣m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣m2﹣m+2﹣（﹣m）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l=PG= [﹣（m+）2+]=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，l有最大值，最大值为；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），
∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，当x=2时，y=﹣，当x=﹣4时，y=，
∴M点坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣）或（﹣4，﹣）或（﹣2，2）．
燃点7二次函数与圆的综合
例题7：（2017绥化）在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+1交y轴于点B，交x 轴于点A，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B，与直线y=﹣+1交于点C（4，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，横坐标为m的点M在直线BC上方的抛物线上，过点M作ME∥y轴交直线BC于点E，以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，当点E在x轴上时，求△DEM的周长．
（3）将△AOB绕坐标平面内的某一点按顺时针方向旋转90°，得到△A1O1B1，点A，O，B的对应点分别是点A1，O1，B1，若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）如图1，A与E重合，根据直线y=﹣x+1求得与x轴交点坐标可得OA的长，由勾股定理得AB的长，利用等角的三角函数得：sin∠ABO=，cos∠ABO==，则可得DE和DM的长，根据M的横坐标代入抛物线的解析式可得纵坐标，即ME的长，相加得△DEM的周长；
（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，所以点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，根据点O1，B1的纵坐标相等列方程可得结论；
②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，根据点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，列方程可得结论．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+1交y轴于点B，
∴B（0，1），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B和点C（4，﹣2）．
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+1；
（2）如图1，∵直线y=﹣x+1交x轴于点A，
当y=0时，﹣ x+1=0，
x=，
∴A（，0），
∴OA=，
在Rt△AOB中，
∵OB=1，
∴AB=，
∴sin∠ABO=，cos∠ABO==，
∵ME∥x轴，
∴∠DEM=∠ABO，
∵以ME为直径的圆交直线BC于另一点D，
∴∠EDM=90°，
∴DE=ME?cos∠DEM=ME，
DM=ME?sin∠DEM=ME，
当点E在x轴上时，E和A重合，则m=OA=，
当x=时，y=﹣×+×+1=；
∴ME=，
∴DE==，DM==，
∴△DEM的周长=DE+DM+ME=++=；
（3）由旋转可知：O1A1⊥x轴，O1B1⊥y轴，设点A1的横坐标为x，则点B1的横坐标为x+1，
∵O1A1⊥x轴，
∴点O1，A1不可能同时落在抛物线上，分以下两种情况：
①如图2，当点O1，B1同时落在抛物线上时，
点O1，B1的纵坐标相等，
∴﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，
解得：x=，
此时点A1的坐标为（，），
②如图3，当点A1，B1同时落在抛物线上时，
点B1的纵坐标比点A1的纵坐标大，
﹣=﹣（x+1）2+（x+1）+1，
解得：x=﹣，
此时A1（﹣，），
综上所述，点A1（，）或（﹣，）．
【冰火不容】
1. （2017浙江义乌）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室长为x （m），占地面积为y（m2）．
（1）如图1，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大？
（2）如图2，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大，小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
2. （2017?营口）夏季空调销售供不应求，某空调厂接到一份紧急订单，要求在
10天内（含10天）完成任务，为提高生产效率，工厂加班加点，接到任务的第
一天就生产了空调42台，以后每天生产的空调都比前一天多2台，由于机器损耗等原因，当日生产的空调数量达到50台后，每多生产一台，当天生产的所有空调，平均每台成本就增加20元．
（1）设第x天生产空调y台，直接写出y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）若每台空调的成本价（日生产量不超过50台时）为2000元，订购价格为每台2920元，设第x天的利润为W元，试求W与x之间的函数解析式，并求工厂哪一天获得的利润最大，最大利润是多少．
3. （2017张家界）已知抛物线c1的顶点为A（﹣1，4），与y轴的交点为D（0，3）．
（1）求c1的解析式；
（2）若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；
（3）若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n．试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：①两个交点；②三个交点；
③四个交点；
（4）若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使△PAB为等腰三角形．
4.（2017湖北随州）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．
（1）求该种水果每次降价的百分率；
（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为 4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？
时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 x≥15
售价（元/斤）第1次降价后的价
格第2次降价后的价
格
销量（斤） 80﹣3x 120﹣x
储存和损耗费用
（元）
40+3x 3x2﹣64x+400
（3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少127.5元，则第15天在第14天的价格基础上最多可降多少元？
5. （2017甘肃张掖）如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（﹣2，0），点C（8，0），与y轴交于点A．
（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；
（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM ∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；
（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．
6. （2017四川眉山）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，已知A（3，0），且M（1，﹣）是抛物线上另一点．
（1）求a、b的值；
（2）连结AC，设点P是y轴上任一点，若以P、A、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，求P点的坐标；
（3）若点N是x轴正半轴上且在抛物线内的一动点（不与O、A重合），过点N 作NH∥AC交抛物线的对称轴于H点．设ON=t，△ONH的面积为S，求S与t之间的函数关系式．
7.（2017四川南充）如图1，已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象过点O（0，0）和点A（4，0），函数图象最低点M的纵坐标为﹣，直线l的解析式为y=x．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直线l沿x轴向右平移，得直线l′，l′与线段OA相交于点B，与x轴下方的抛物线相交于点C，过点C作CE⊥x轴于点E，把△BCE沿直线l′折叠，当点E恰好落在抛物线上点E′时（图2），求直线l′的解析式；
（3）在（2）的条件下，l′与y轴交于点N，把△BON绕点O逆时针旋转135°得到△B′ON′，P为l′上的动点，当△PB′N′为等腰三角形时，求符合条件
的点P的坐标．
8.（2017贵州）如图，⊙M的圆心M（﹣1，2），⊙M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣x+4与x轴交于点B，以M 为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：直线l是⊙M的切线；
（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF∥y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时
点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【展示火情】
【试试火力】
1.（2017甘肃天水）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点是B（4，0），直线y2=mx+n（m ≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①abc＞0；②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；③抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；④当1＜x＜4时，有y2＞y1；⑤x（ax+b）≤a+b，其中正确的结论是②⑤．（只填写序号）
【考点】HC：二次函数与不等式（组）；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，故abc＜0，故①错误．
观察图象可知，抛物线与直线y=3只有一个交点，故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故②正确．
根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0），故③错误，
观察图象可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1，故④错误，
因为x=1时，y1有最大值，所以ax2+bx+c≤a+b+c，即x（ax+b）≤a+b，故⑤正确，
所以②⑤正确，
故答案为②⑤．
2.（2017?温州）小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现
用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D 和杯子上底面中
心E ，则点E 到洗手盆内侧的距离EH 为
24﹣82
cm ．
【考点】HE ：二次函数的应用．【专题】153：代数几何综合题．【分析】先建立直角坐标系，过
A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，过M 作MP ⊥
AG 于P ，根据△ABQ ∽△ACG ，求得C （20，0），再根据水流所在抛物线经过点D （0，24）和B （12，24），可设抛物线为y=ax 2
+bx+24，把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得抛物线为y=﹣3
20x 2+9
5x+24，最后根据点E 的纵坐标为10.2，得出点E 的横坐标为6+82，据此可得点E 到洗手盆内侧的距离．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系，过A 作AG ⊥OC 于G ，交BD 于Q ，
过M 作MP ⊥AG 于P ，
由题可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，∴Rt △APM 中，MP=8，故DQ=8=OG ，∴BQ=12﹣8=4，
由BQ ∥CG 可得，△ABQ ∽△ACG ，∴????????=????
????，即4
????=12
36，∴CG=12，OC=12+8=20，∴C （20，0），
又∵水流所在抛物线经过点
D （0，24）和B （12，24），
∴可设抛物线为y=ax 2
+bx+24，
把C （20，0），B （12，24）代入抛物线，可得
24=144??+12??+24 0=400??+20??+24，解得
??=-3
20
??=9
5
，
∴抛物线为y=﹣3
20x2+9
5
x+24，
又∵点E的纵坐标为10.2，
∴令y=10.2，则10.2=﹣3
20x2+9
5
x+24，
解得x1=6+82，x2=6﹣82（舍去），
∴点E的横坐标为6+82，
又∵ON=30，
∴EH=30﹣（6+82）=24﹣82．
故答案为：24﹣82．
【点评】本题以水龙头接水为载体，考查了二次函数的应用以及相似三角形的应用，在运用数学知识解决问题过程中，关注核心内容，经历测量、运算、建模等数学实践活动为主线的问题探究过程，突出考查数学的应用意识和解决问题的能力，蕴含数学建模，引导学生关注生活，利用数学方法解决实际问题．
3.（2017年江苏扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千
克）
30 35 40 45 50
日销售量p（千克）600 450 300 150 0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知
识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）
【考点】HE：二次函数的应用．
【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；
（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；
（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．
【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=﹣30，b=1500，
∴p=﹣30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w=﹣30x2+2400x﹣45000，
∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），
即w=﹣30x2+x﹣，
对称轴为x=﹣=40+a，
①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，
即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；。