陕西省2021-2022学年高二上学期期末文科数学试题
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
评卷人
得分
四、解答题
17．（1）叙述正弦定理；
（2）在△ 中，应用正弦定理判断“ ”是“ ”成立的什么条件，并加以证明.
18．要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
19． 两个顶点 、 的坐标分别是 、 ，边 、 所在直线的斜率之积等于 ，顶点 的轨迹记为 .
（1）求顶点 的轨迹 的方程；
（2）若过点 作直线 与轨迹 相交于 、 两点，点 恰为弦 中点，求直线 的方程；
（3）已知点 为轨迹 的下顶点，若动点 在轨迹 上，求 的最大值.
20．已知 ，其中 .
（1）若 ,求 在 处的切线方程；
（2）若 是函数 的极小值点，求函数 在区间 上的最值；
（3）讨论函数 的单调性.
5．A
【分析】
根据题意求出 ，进而根据椭圆的性质求得答案.
【详解】
椭圆方程化为： ，则 ，则长轴长为8，短轴长为4，离心率 ，x的取值范围是 .即A错误，B,C,D正确.
故选：A.
6．A
【分析】
可由椭圆方程先求出 ，在利用椭圆的定义求出 ，利用已知 求解出 ，再取 的中点 ，连接 ，利用中位线，即可求解出线段 的中点 到坐标原点的距离.
则有：
解得：
故求直线 的方程为：
（3）
由（1）可知 ，设
则有：
又点 满足 ，即
由椭圆的性质得：
所以当 时，
20．
（1） ；
（2）最大值为5，最小值为 ；
（3）答案见解析.
【分析】
（1）求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；
（2）根据 求出a，进而求出函数的单调区间，然后求出函数的最值；
A． ，使得
B． ，使得
C． ，使得
D． ，使得
3．命题“若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．已知命题 ,命题 , ，则下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
5．有关椭圆 叙述错误的是（）
A．长轴长等于4B．短轴长等于4
C．离心率为 D． 的取值范围是
（2） 是 的充要条件.
证明如下：
充分性：
又
故有：
必要性：
又
综上， 是 的充要条件
18．当圆柱底面半径为 ，高为 时，总成本最底.
【分析】
设圆柱底面半径为 cm，高为 cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到 ，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.
【详解】
设圆柱底面半径为 cm，高为 cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为 元，
（3）
函数 的定义域为 ， ，令 得， .
①当 时， ， 函数 在R上单调递增；
②当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ；
③当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 .
综上： 时， ， 函数 在R上单调递增；
时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
【详解】
因为椭圆 ， ，所以 ，结合 得， ，取 的中点 ，连接 ，所以 为 的中位线，所以 .
故选：A.
7．D
【分析】
根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点 代入，进而求得答案.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为 ，所以设双曲线方程为 ，将 代入得： ，即双曲线方程为 .
故选：D.
8．C
【分析】
【详解】
因为椭圆经过点 ，当焦点在 轴时，可知 ， ，
所以 ，所以 ，
当焦点在 轴时，同理可得 .
故答案为：
14．
【分析】
求导，根据 可得答案.
【详解】
由题意，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，即函数的递减区间为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.
___
15．已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
评卷人
得分
三、双空题
16．已知方程 ，若此方程表示椭圆，则实数 的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数 的取值范围是________.
（3）先求出导函数，然后讨论a的取值范围，进而求出函数的单调区间.
（1）
当 时， ， ，
切点坐标为 ， ， 切线的斜率为 ，
切线方程为 ，即 .
（2）
， 是函数 的极小值点， ，即 ， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ， 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ， ， 函数 在区间 上的最大值为5，最小值为 .
6．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，则线段 的中点 到坐标原点的距离等于（）
A．7B．10C．12D．14
7．如果双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程是（）
A． B．
C． D．
8．下列函数求导错误的是（）
A．
B．
C．
D．
9．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（）
A． B． C．1D．
每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.
【详解】
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， ，不正确；
对于D， ，正确.
故选：C
9．B
【分析】
先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】
因为抛物线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ,
由点到直线的距离公式可得 .
10．过抛物线 的焦点 引斜率为1的直线，交抛物线于 ， 两点，则 （）
A．4B．6C．8D．10
11．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．设 , , ,则 , , 的大小关系为
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题
13．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点 ，则椭圆的离心率为________.
当方程表示双曲线时，则有 或 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
17．（1）正弦定理见解析；（2）充要条件，证明见解析
【分析】
（1）用语言描述正弦定理，并用公式表达正弦定理
（2）利用“大角对大边”的性质，并根据正弦定理进行边角互化即可
【详解】
（1）正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等且等于这个三角形外接圆的直径，即 .
故选：B.
4．D
【分析】
命题 是假命题，命题 是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】
因为 ，故命题 是假命题，又命题 是真命题，故 为假， 为假， 为假， 为真命题，故选D.
【点睛】
复合命题的真假判断有如下规律：
（1） 或 ：一真比真，全假才假；（2） 且 ：全真才真，一假比假；
（3） ：真假相反.
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面积等于 ，即可求解.
【详解】
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
视频
16．
【分析】
分别根据椭圆、双曲线的标准方程的特征建立不等式即可求解.
【详解】
当方程表示椭圆时，则有 且 ，所以 的取值范围是 ；
【详解】
由函数 的图象可知：
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， ；当 时， ；
由 可得 ，
所以 或 ，
即 或 ，解得： 或 ，
所以原不等式的解集为： ，
故选：D.
12．C
【详解】
试题分析：由 ,可得 , ,故选C.
考点：指数函数性质
13．
【分析】
分类讨论焦点在 轴与焦点在 轴两种情况.
【详解】
命题“对任何实数 ，都有 ”，可写成： ，使得 ，此命题为全称命题，故其否定形式为： ，使得 .
故选：B.
3．B
【分析】
先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.
【详解】
“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；
逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.
故选：B
10．C
【分析】
由题意可得 ， 的方程为 ，设 、 ，联立直线与抛物线方程可求 ，利用抛物线的定义计算 即可求解.
【详解】
由 上可得：焦点 ，直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，可得 ，
则有 ，
由抛物线的定义可得： ，
故选：C.
11．D
【分析】
原不等式等价于 ，根据 的图象判断函数的单调性，可得 和 的解集，再分情况 或 解不等式即可求解.
参考答案
1．D
【分析】
根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程
【详解】
准线方程为 ，则说明抛物线的焦点在 轴的正半轴
则其标准方程可设为：
则准线方程为：
解得：
则抛物线的标准方程为：
故选：D
2．B
【分析】
可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.
时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
由题意得： ，则 ， 表面积
造价 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
的单调递减区间为 ，递增区间为 ，
当圆柱底面半径为 ，高为 时，总成本最底.
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先表示出边 、 所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；
（3）先表示出 ，然后利用椭圆的性质，进而确定 的最大值.
（1）
设点 ，则由 可得：
化简得：
故顶点 的轨迹 的方程：
（2）
当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
联立方程组
消去 可得：
设直线 与轨迹 的交点 ， 的坐标分别为
由韦达定理得：
点 为 、 两点的中点，可得： ，即
陕西省2021-2022学年高二上学期期末文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．若抛物线的准线方程是 ，则抛物线的标准方程是（）
A． B．
C． D．
2．命题“对任何实数 ，都有 ”的否定形式是（ ）
得分
四、解答题
17．（1）叙述正弦定理；
（2）在△ 中，应用正弦定理判断“ ”是“ ”成立的什么条件，并加以证明.
18．要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？
19． 两个顶点 、 的坐标分别是 、 ，边 、 所在直线的斜率之积等于 ，顶点 的轨迹记为 .
（1）求顶点 的轨迹 的方程；
（2）若过点 作直线 与轨迹 相交于 、 两点，点 恰为弦 中点，求直线 的方程；
（3）已知点 为轨迹 的下顶点，若动点 在轨迹 上，求 的最大值.
20．已知 ，其中 .
（1）若 ,求 在 处的切线方程；
（2）若 是函数 的极小值点，求函数 在区间 上的最值；
（3）讨论函数 的单调性.
5．A
【分析】
根据题意求出 ，进而根据椭圆的性质求得答案.
【详解】
椭圆方程化为： ，则 ，则长轴长为8，短轴长为4，离心率 ，x的取值范围是 .即A错误，B,C,D正确.
故选：A.
6．A
【分析】
可由椭圆方程先求出 ，在利用椭圆的定义求出 ，利用已知 求解出 ，再取 的中点 ，连接 ，利用中位线，即可求解出线段 的中点 到坐标原点的距离.
则有：
解得：
故求直线 的方程为：
（3）
由（1）可知 ，设
则有：
又点 满足 ，即
由椭圆的性质得：
所以当 时，
20．
（1） ；
（2）最大值为5，最小值为 ；
（3）答案见解析.
【分析】
（1）求出导函数，进而根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后求出切线方程；
（2）根据 求出a，进而求出函数的单调区间，然后求出函数的最值；
A． ，使得
B． ，使得
C． ，使得
D． ，使得
3．命题“若 ，则 ”的逆命题、否命题、逆否命题中是真命题的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
4．已知命题 ,命题 , ，则下列命题中为真命题的是
A． B． C． D．
5．有关椭圆 叙述错误的是（）
A．长轴长等于4B．短轴长等于4
C．离心率为 D． 的取值范围是
（2） 是 的充要条件.
证明如下：
充分性：
又
故有：
必要性：
又
综上， 是 的充要条件
18．当圆柱底面半径为 ，高为 时，总成本最底.
【分析】
设圆柱底面半径为 cm，高为 cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到 ，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.
【详解】
设圆柱底面半径为 cm，高为 cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为 元，
（3）
函数 的定义域为 ， ，令 得， .
①当 时， ， 函数 在R上单调递增；
②当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ；
③当 时， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 .
综上： 时， ， 函数 在R上单调递增；
时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ；
【详解】
因为椭圆 ， ，所以 ，结合 得， ，取 的中点 ，连接 ，所以 为 的中位线，所以 .
故选：A.
7．D
【分析】
根据渐近线方程设出双曲线方程，然后将点 代入，进而求得答案.
【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为 ，所以设双曲线方程为 ，将 代入得： ，即双曲线方程为 .
故选：D.
8．C
【分析】
【详解】
因为椭圆经过点 ，当焦点在 轴时，可知 ， ，
所以 ，所以 ，
当焦点在 轴时，同理可得 .
故答案为：
14．
【分析】
求导，根据 可得答案.
【详解】
由题意，可得 ，
令 ，即 ，解得 ，即函数的递减区间为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题.
___
15．已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且 ，则四边形 的面积为________．
评卷人
得分
三、双空题
16．已知方程 ，若此方程表示椭圆，则实数 的取值范围是________；若此方程表示双曲线，则实数 的取值范围是________.
（3）先求出导函数，然后讨论a的取值范围，进而求出函数的单调区间.
（1）
当 时， ， ，
切点坐标为 ， ， 切线的斜率为 ，
切线方程为 ，即 .
（2）
， 是函数 的极小值点， ，即 ， ，令 ，得 或 ，令 ，得 ， 的单调递增区间为 ， ， 的单调递减区间为 ， ， 函数 在区间 上的最大值为5，最小值为 .
6．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离等于6，则线段 的中点 到坐标原点的距离等于（）
A．7B．10C．12D．14
7．如果双曲线的一条渐近线方程为 ，且经过点 ，则双曲线的标准方程是（）
A． B．
C． D．
8．下列函数求导错误的是（）
A．
B．
C．
D．
9．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是（）
A． B． C．1D．
每一个选项根据求导公式及法则来运算即可判断.
【详解】
对于A， ，正确；
对于B， ，正确；
对于C， ，不正确；
对于D， ，正确.
故选：C
9．B
【分析】
先确定抛物线的焦点坐标，和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式即可求出结果.
【详解】
因为抛物线 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ,
由点到直线的距离公式可得 .
10．过抛物线 的焦点 引斜率为1的直线，交抛物线于 ， 两点，则 （）
A．4B．6C．8D．10
11．已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（）
A． B．
C． D．
12．设 , , ,则 , , 的大小关系为
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、填空题
13．若椭圆的长轴是短轴的2倍，且经过点 ，则椭圆的离心率为________.
当方程表示双曲线时，则有 或 ，所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
17．（1）正弦定理见解析；（2）充要条件，证明见解析
【分析】
（1）用语言描述正弦定理，并用公式表达正弦定理
（2）利用“大角对大边”的性质，并根据正弦定理进行边角互化即可
【详解】
（1）正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值之比相等且等于这个三角形外接圆的直径，即 .
故选：B.
4．D
【分析】
命题 是假命题，命题 是真命题，根据复合命题的真值表可判断真假.
【详解】
因为 ，故命题 是假命题，又命题 是真命题，故 为假， 为假， 为假， 为真命题，故选D.
【点睛】
复合命题的真假判断有如下规律：
（1） 或 ：一真比真，全假才假；（2） 且 ：全真才真，一假比假；
（3） ：真假相反.
根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形 面积等于 ，即可求解.
【详解】
因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
视频
16．
【分析】
分别根据椭圆、双曲线的标准方程的特征建立不等式即可求解.
【详解】
当方程表示椭圆时，则有 且 ，所以 的取值范围是 ；
【详解】
由函数 的图象可知：
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， ；当 时， ；
由 可得 ，
所以 或 ，
即 或 ，解得： 或 ，
所以原不等式的解集为： ，
故选：D.
12．C
【详解】
试题分析：由 ,可得 , ,故选C.
考点：指数函数性质
13．
【分析】
分类讨论焦点在 轴与焦点在 轴两种情况.
【详解】
命题“对任何实数 ，都有 ”，可写成： ，使得 ，此命题为全称命题，故其否定形式为： ，使得 .
故选：B.
3．B
【分析】
先判断出原命题和逆命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题同真或同假最终得到答案.
【详解】
“若a=0，则ab=0”，命题为真，则其逆否命题也为真；
逆命题为：“若ab=0，则a=0”，显然a=1，b=0时满足ab=0，但a≠0，即逆命题为假，则否命题也为假.
故选：B
10．C
【分析】
由题意可得 ， 的方程为 ，设 、 ，联立直线与抛物线方程可求 ，利用抛物线的定义计算 即可求解.
【详解】
由 上可得：焦点 ，直线 的方程为 ，
设 ， ，
由 ，可得 ，
则有 ，
由抛物线的定义可得： ，
故选：C.
11．D
【分析】
原不等式等价于 ，根据 的图象判断函数的单调性，可得 和 的解集，再分情况 或 解不等式即可求解.
参考答案
1．D
【分析】
根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程
【详解】
准线方程为 ，则说明抛物线的焦点在 轴的正半轴
则其标准方程可设为：
则准线方程为：
解得：
则抛物线的标准方程为：
故选：D
2．B
【分析】
可将原命题变成全称命题形式，而全称命题的否定为特称命题，即可选出答案.
时， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 .
由题意得： ，则 ， 表面积
造价 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
的单调递减区间为 ，递增区间为 ，
当圆柱底面半径为 ，高为 时，总成本最底.
19．
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）先表示出边 、 所在直线的斜率，然后根据两条直线的斜率关系建立方程即可；
（2）联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理和中点坐标公式即可求出直线的斜率；
（3）先表示出 ，然后利用椭圆的性质，进而确定 的最大值.
（1）
设点 ，则由 可得：
化简得：
故顶点 的轨迹 的方程：
（2）
当直线 的斜率不存在时，显然不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为
联立方程组
消去 可得：
设直线 与轨迹 的交点 ， 的坐标分别为
由韦达定理得：
点 为 、 两点的中点，可得： ，即
陕西省2021-2022学年高二上学期期末文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人
得分
一、单选题
1．若抛物线的准线方程是 ，则抛物线的标准方程是（）
A． B．
C． D．
2．命题“对任何实数 ，都有 ”的否定形式是（ ）