2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：每日一题 规范练(第一周)

所以(b＋c)2＝16，故 b＋c＝4.
星期二 2020年3月24日 [题目 2] 在公差不为 0 的等差数列{an}中，a1，a4，a8 成等比数列，
数列{an}的前 10 项和为 45.
(1)求数列{an}的通项公式；
1 (2)若 bn＝anan＋1，且数列{bn}的前 n 项和为 Tn，求 Tn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由 a1，a4，a8 成等比数列可得， a24＝a1·a8，(a1＋3d)2＝a1(a1＋7d)， 所以 a21＋6a1d＋9d2＝a21＋7a1d. 因为 d≠0，所以 a1＝9d. 由数列{an}的前 10 项和为 45，得 S10＝10a1＋45d＝45， 则 90d＋45d＝45，
星期三 2020年3月25日 [题目 3] 某市在 2019 年 2 月份的高三期末考试中对数学成绩数据
统计显示，全市 10 000 名学生的成绩服从正态分布 N(120，25)，现某
校随机抽取了 50 名学生的数学成绩分析，结果这 50 名学生的成绩全
部介于 85 分至 145 分之间，现将结果按如下方式分为 6 组，第一组
故 d＝1，a1＝9×1＝3.
3
3
因此数列{an}的通项公式 an＝n＋8. 3
( ) (2)bn＝ana1n＋1＝（n＋8）9（n＋9）＝9 n＋1 8－n＋1 9 .
所以
Tn
＝
9(1－ 9
1＋ 10
1－ 10
1＋ 11
1－ 11
1＋ 12
…
＋
1－ n＋8
1 n＋9)
＝
9
( ) 19－n＋1 9 ＝1－n＋9 9＝n＋n 9.
于是 n＝(2，－2，－2)，P→A＝(1，1，－2)．
( ) 解：(1)因为 m＝ －cosA，sinA ， 22
( ) n＝ cosA，sinA ，且 m·n＝1，
22
2
所以－cos2A＋sin2A＝1，则 cos A＝－1.
2
22
2
又 A∈(0，π)，
所以 A＝2π. 3
(2)S△ABC＝1bcsin A＝ 3，所以 bc＝4， 2
又由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝b2＋c2＋bc，
(2)解：如图，以 C 为原点，取 AB 的中点 F，C→F，C→D，C→P分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则 C(0，0，0)，A(1，
1，0)，B(1，－1，0)． 设 P(0，0，a)，(a＞0)，
( ) 则 E 1，－1，a . 2 22
( ) 所以C→A＝(1，1，0)，C→P＝(0，0，a)，C→E＝ 1，－1，a . 2 22 取 m＝(1，－1，0)，则 m·C→A＝m·C→P＝0，
所以 m＝(1，－1，0)为平面 PAC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 EAC 的法向量， 则 n·C→A＝n·C→E＝0，
{ ) { ) 所以
x＋y＝0， x－y＋az＝0.
则
x＝－az， 2
y＝az.
2
取 z＝－2，得一个法向量 n＝(a，－a，－2)．
依题意|cos〈m，n〉|＝ 2a ＝ a ＝ 6，则 a＝2. 2· 2a2＋4 a2＋2 3
每20年3月23日 [题目 1] 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
( ) ( ) A A
AA
1
若 m＝ －cos ，sin ，n＝ cos ，sin ，且 m·n＝ .
22
22
2
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝2 3，三角形面积 S＝ 3，求 b＋c 的值．
10 000 3×5)＝0.997 4.
故 P(X≥135)＝1－0.997 4＝0.001 3， 2
即 0.001 3×10 000＝13. 所以前 13 名的成绩全部在 135 分以上． 根据频率分布直方图可知这 50 人中成绩在 135 分以上(包括 135 分) 的有 50×0.08＝4 人，而在[125，145]的学生有 50×(0.12＋0.08)＝10(人)． 所以 X 的取值为 0，1，2，3.
[85，95)，第二组[95，105)，…，第六组[135，145]，得到如图所示的
频率分布直方图．
(1)试估计该校数学成绩的平均分数； (2)若从这 50 名学生中成绩在 125 分(含 125 分)以上的同学中任意 抽取 3 人，该 3 人在全市前 13 名的人数记为 X，求 X 的分布列和期 望． 附：若 X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4. 解：(1)由频率分布直方图可知[125，135)的频率为 1－(0.010×10＋ 0.024×10＋0.030×10＋0.016×10＋0.008×10)＝0.12. 所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为 90×0.1＋100×0.24 ＋110×0.3＋120×0.16＋130×0.12＋140×0.08＝112(分)． (2)由于 13 ＝0.001 3，根据正态分布得 P(120－3×5＜X＜120＋
所以 P(X＝0)＝C＝1，P(X＝1)＝CC＝1，
C6
C2
P(X＝2)＝CC＝ 3 ，P(X＝3)＝C＝ 1 .
C 10
C 30
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
1 P
6
1
3
1
2
10
30
所以 E(X)＝0×1＋1×1＋2× 3 ＋3× 1 ＝1.2. 6 2 10 30
星期四 2020年3月26日 [题目 4] 如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC⊥底面 ABCD，ABCD 是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD， AB＝2AD＝2CD＝2.E 是 PB 的中点．
(1)求证：平面 EAC⊥平面 PBC； 6
(2)若二面角 P-AC-E 的余弦值为 ，求直线 PA 与平面 EAC 所成 3
角的正弦值． (1)证明：因为 PC⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， 所以 AC⊥PC. 因为 AB＝2，AD＝CD＝1，所以 AC＝BC＝ 2. 所以 AC2＋BC2＝AB2，所以 AC⊥BC. 又 BC∩PC＝C，所以 AC⊥平面 PBC. 因为 AC⊂平面 EAC，所以平面 EAC⊥平面 PBC.