2019-2020年高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练4.4正余弦定理及解三角形理

XX 高考数学异构异模复习考案 第四章三角函数课时撬分练4.4
正、余弦定理及解三角形 理
时间：60分钟
2019-2020年高考数学异构异模复习第四章三角函数课时撬分练
1.[xx •武邑中学月考]在厶ABC 中，若a = 2b ,面积记作S ,则下列结论中一定成立的 是（）
A. B >30°
C. c <b
答案 D
解析由三角形的面积公式知
S = 2ab sin 1 2
C = ^2b • b sin C = b sin C,因为 0<sin C < 1,所
C. 150° 答案
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰三角形或直角三角形 答案 C
以 b 2sin C < b 2,即卩 S < b 2,故选 D. 2. [xx •冀州中学期末]△ ABC 的内角A 比数列，且 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等
c = 2a ,贝U cos B =( ) 3
A-4 B ¥
1 D 4
答案
解析 • b 2
= ac = 2 a 2, ••• a , b , c 成等比数列且 c = 2a , -2 ••• b = 2a .由余弦定理的推论可得 cos B = 2 2 . 2
a + c —
b 3
.故选A.
2ac 4
3. [xx •枣强中学热身]在厶ABC 中，角A b = 2, sin B+ cos B = . 2,则角 A 的大小为（ A. 60° B , C 所对的边分别为a , b , )
B. 30° c , 若 a = , 2,
解析 由 sin B + cos B = 2得 1 + 2sin B cos B = 2, 则 sin2 B = 1, 以 B = 45
又因为a = 2, b = 2，所以在厶ABC 中，由正弦定理得
因为0° 2 = sin A sin45
<B<180°
,所 2 —,解得
4.4正余
D. S < b * 2
D. 45°
1
sinA
= 1
B ,
C 所对的边，若a =
解析 解法一：因为a = 2b cos C,所以由余弦定理得， c 1 2
,则此三角形一定是等腰三角形.
解法二：因为 a = 2b cos C,由正弦定理得 sin
A = 2sin
B cos C,又 A + B +
C = n ,故
si n A =sin( B + C ) = sin B cos C + cos B sin C = 2sin B cos C 得 sin( B — C )
= 0,又 B 、C €
(0 , n )，所
以 B = C.
5. [xx •衡水二中周测]在厶ABC 中,角A , B, C 的对边分别为a , b , c ,若AB, C 成等差数列，2a, 2b, 2c 成等比数列，则 cos A cos B =（
）
A.
—
1 2 C.2 D/
3
答案 A
n
2 2
解析 由已知得2B = A + C,又A + C + B = n ,故B =-，又4b 2 = 4ac ，贝U b 2= ac ,所以
3 由余弦定理得 b 2= a 2 + c 2— 2ac cos-3 = ac ,即(a — c )2 = 0,故a = c ,所以△ ABC 是等边三角
3
解析 如图所示，设此人从A 出发，则AB- x km, BC = 3 km, AC =. 3 km , / ABC= 30°, 由余弦定理，得（，3）2 = x 2 + 32 — 2x • 3 • cos30°, 整理得x 2— 3 3x + 6 = 0,解得x = .3或2 3.
7. [xx •衡水二中月考]在不等边厶ABC 三边均不相等）中，三个内角A , B, C 所对的边
1 形，贝U cos A cos B = cos60°x cos60° = 4.
6. [xx •枣强中学仿真]某人向正东方向走 x km 后，向右转150°,然后朝新方向走3 km,
结果他离出发点恰好是
3 km ，那么x 的值为（
A. 3 C. 3或 2 3 答案 C
a = 2
b •
a C
，整理得b 2 = 2ab
)
B. 2 3 D. 3
cos b 分别为a, b, c,且有——-=-，则角C的大小为
cos B a
n
答案~2
解析依题意得a cos A= b cos B,从而sin A cos A= sin B cosB, sin2 A= sin2 B,则2A= 2B
n . - n n
或2A= n —2B, 即卩A= B或A+ B=—，又△ ABC三边均不相等，因此A+ B=~2, C= ~2.
8. [xx •武邑中学热身]在厶ABC中，角A, B, C
的对边分别为a, b, c, A=£ ,a=J3,
3
若给定一个b的值使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为___________ •答案（0, 3 ] U {2}
解析如图1所示，当a= b sin A,即卩，3 = b sin寸,b= 2时，△ ABC为直角三角形，只
有一个解；如图2所示，当a>b时，即0<b w 3时，三角形有且只有一个•所以b的取值
范围为（0 , 3 ] U {2} •
9. [xx •衡水二中期中]已知a, b, c分别是△ ABC中角A, B, C的对边，a= 4 3, b
1
=6, cos A=— 3.
(1)求c；
⑵求cos 2B— -4的值.
—3，即4c —12= 0, 解（1）在厶ABC中，由余弦定理得,
2 2 2 2
a =
b +
c —2bc cosA,代入数据得48= 36+ c —2x c x 6x (c+ 6)( c —2) = 0，解得c= 2 或c= —6(舍)，••• c= 2.
1 2\f2
(2)由cos A=—3<0,得A为钝角，且sin A=—
2 2
6x」~ 厂
a b b • si n A 3 yj 6
在△ ABC中，由正弦定理，得而=乔则sinB= ——=—4一3—=左，由于B
为锐角，则cos B of,
cos2B= 1 —2sin 2B= 1—2x -=—-,
3 3
sin2 B= 2sin B cos B= —3-,所以cos
2B—n n cos2 B+ sin2 B)
1,麵14-V2
3 十3 = 6 .
10.
[xx / ADC= •枣强中学模拟］如图,
在厶ABC中, BC边上的中线AD长为3,且cos B=「£, cos
1
4.
(1)求sin / BAD的值；
⑵求AC边的长.
解(1)因为cosB=-, 8
所以sin B=电6.
8
1
又cos / ADC= — 4 所以sin / ADO
.15 ~T ，
所以sin / BAD= sin( / ADC-/ B) =sin / ADC os B—cos / ADC in B =今x 今
4 8
亠亠⑵在
3___BD 得rZ6=~6，
8 4
解得BD= 2.
故DC= 2 ,从而在△ ADC 中，由AC = AD + DC —2AD- DC- cos / ADC= 32+ 22—
1
4 = 16,得AC= 4.
2X 3X 2X
11.[xx •衡水二中期末]在厶ABC中, 2sin2 C • cos C- sin3 C= . 3(1 —cos C).
(1)求角C的大小；
⑵若AB= 2，且sin C+ sin( B—A = 2sin2人求厶ABC的面积.
解⑴由2sin2 C- cosC— sin(2 C+ C)=申(1—cos C), 得sin2 C cosC— cos2 C sin C= 3 —3cos C,
化简得sin C= \/3—:；.'3cos C,
即sin C+ 3cos C= 3,
2sin j C+ y = 3,
所以sin C+ 3 =学
从而C+n^ =罟,故C=n^.
(2)由sin( A+ B) + sin( B- A) = 2sin2 A, 可得sin B cos A= 2sin A cosA
所以cos A= 0 或sin B= 2sin A
2
2
当 cos A = 0 时，A = 90°,贝U b =
2 ■3,
& ABC
=
b -c
-
sinA
= 2x
2 ■3
x 2x 1 = 2^3 当sin B = 2sin A 时，由正弦定理得 cos C = 2 , 2 , a + 4a — 4 2 - a -2 a b = 2a . 1 2
可知a 2= 4
.
所以& ABC =
1
b - a - sin C = ? -2 a - a -
迈=迈2=疝 ~2 = V a
= "V 综上可知 S A ABC =
12. [xx •冀州中学仿真]在厶ABC 中, a , b , c 分别为内角 代
B, C 所
对边的
n
C = ~3, a + b =入 c (其中入 >1).
(1)若入=,3时，证明△ ABC 为直角三角形;
—> —> 9 2
⑵若AC- BC =入，且c = 3，求入的值.
8
解 (1) T 入=3 ,.•• a + b =-』3c ,
由正弦定理得 sin A + sin B = , 3sin C,
sin B +
1 3
cos B + ?sin B = q
••• 3sin B + 3
芬 cos B = 3 2
’
/• sin B+ sin —B =
|, 2'
f 9 2 n r 1 9 2 9 2 BC=-入，则 & a • b =石入，二 ab ==入.
8 2 8 4
2 2 2
又a + b = 3入，由余弦定理知 a + b — c = 2ab cos C, 即 a 2+ b 2 — ab = c 2= 9,
能力组
则A =(
B
n
B *
2n C P 答案
1 1
2 2 2
因为 &AB = ?bc sin A = 4( b + c — a )，所以 sin A =
14. [xx •枣强中学期末]若厶ABC 勺三个内角满足 si n A ： si n B ： si n C = 5 ： 11 ： 13,则厶
ABC )
A. —定是锐角三角形
B. —定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形
D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C
解析 在厶 ABC 中, si nA ： sin B : sin C = 5 : 11 : 13, ••• a : b : c = 5 : 11 : 13,
故令a = 5k , b = 11k , c = 13k (k >0)，由余弦定理可得
2 2 2 2 2 2
a +
b —
c 25k + 121k — 169k 23
sin B +6 =#，从而 B +nn=专或 B+nn=争
B =n 6 或 B=n .
n
B
=§， n 则A =2, △ ABC 为直角三角形; n B
=T ， △ ABC 亦为直角三角
形.
2
即(a + b ) — 3ab = 9,
2
—孚入2= 9，得
2
入=4,又T 入＞1，即卩X = 2.
⑵若AC-
13.[xx -衡水二中模拟 ］已知△ ABC 勺三边长为a , b , ._ , 1 2 2 2
c ,且面积 S ^ABC = 4( b + c — a ),
2 2 2
b +
c — a
莎
解析
cos C= ；= ~~2= 一<0,
2ab 2x 5X 11 k 110 '
(n \
又••• C€ (0 , n ) ,• C€ —, n ,
ABC为钝角三角形，故选C.
15. [xx •衡水二中仿真]在厶ABC中, a, b, c分别为内角A、B C的对边，且2cos( B —C= 4sin B sin C—1.
(1) 求A;
卄
.B1』
⑵右 a = 3, sin 2= 3，求 b
解 ⑴ 由 2cos( B — C = 4sin B sin C — 1，得 2(cos B cos C + sin B Sin C ) — 4sin B sin C =— 1, 即 2(cos B cos C — sin B sin C ) =— 1.
1
从而 2cos( B + C = — 1 得 cos( B+ C ) = — 2. 又A , B, CABC 的内角, •-B + C = |n ，故 A =n 3.
2
B n B 1
（2）由⑴知。

好尹，二0<2<亍，已知sin 2=3，得
16. [xx •衡水二中热身]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作 A , B , P, Q 湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近. 欲测量P, Q 两棵树和A, P 两棵树之间的距离， 现可测 得代 B 两点间的距离为 100 m / PAB= 75°/ QAB= 45°/ PBA= 60°/ QBA= 90°, 如图所示.则P , Q 两棵树和A, P
两棵树之间的距离各为多少？
解 △ PAB 中，/ APB= 180°— (75 ° + 60° ) = 45 △ QAB^,/ ABQ= 90°,
••• AQ= 100 .2,/ PAQ= 75°— 45°= 30°,
由余弦定理得 PQ = (50 .6)2+ (100 2)2— 2X 50 6X 100 . 2cos30°= 5000, • PQ= .5000= 50 2.
由正弦定理丄B =三彳 sin B sin A ]=:，解得b =竽
9 2
B 2
2 cos
2=
由正弦定理得 AP
sin60
100 sin45
AF = 50 6.
因此，P, Q两棵树之间的距离为50 .2 m, A, P两棵树之间的距离为50 ,6 m.
2019-2020年高考数学微一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1节集合
1. (xx •高考陕西卷)设集合M= {x|x2= x} , N= {x|lg x< 0}，贝U MJ N等于()
A. [0,1]
B. (0,1]
C. [0,1)
D. (—R, 1]
解析：由已知得M= {0,1} , N= {x|0 v x w 1},
贝U MU N= [0,1].故选 A.
答案：A
2•下列集合中表示同一集合的是()
A. M= {(3,2)} , N= {(2,3)}
B. M= {2,3} , N= {3,2}
C. M= {( x, y)| x+ y = 1}, N={y|x+ y= 1}
D. M= {2,3} , N= {(2,3)}
解析：选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.选项C中的集合M表示由直线x+ y = 1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x+ y = 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N= {y| x + y= 1} = R,故集合M与N不是同一个集合.选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故
集合M与N不是同一个集合•选项B,由集合元素的无序性，可知M N表示同一个集合，
故选B.
答案：B
3. (xx •高考全国卷川)设集合S= {x|( x —2)( x —3) >0}, T= {x|x>0}，贝U Sn T= ( )
A. [2,3]
B. ( —R, 2] U [3 ,+s)
C. [3 ,+R)
D. (0,2] U [3 ,+R)
解析：先化简集合S,再利用交集的定义求解.
由题意知S= {X|X W2 或x>3}，贝y S n T={x|0 v x W2 或x>3}.故选 D.
答案：D
4. (xx •郑州第一次质量预测)已知集合M= {x| —1v x v 2}, N= {x| x v a}，若M? N,则实数a的取值范围是()
C. （—g, — 1）
D. （—g,— 1]
解析：由M? N结合数轴可得a>2,故选B.
答案：B
1
A. (2 ,+R )
B. [2 ,+R)
5. （xx •河北沧州质检）已知集合A= {x|lg x w0}, B= {x|x，则A n B等于（）
解析：易知A={x|O v x< 1}, 又已知B= {x| x> 4},
1
所以A n B= {X I4W x w 1}，故选 A.
答案：A
6. （xx •安徽皖南八校联考）已知集合A= {y| y = 1 x, x€ R}, B= { —2, —1,1,2}，则下列结论正确的是（）
A. A n B= { —2,—1}
B. （?F A）U B= （—g, 0）
C. A U B= （0，+g）
D. （?F A）n B= { —2,—1}
解析：因为A= （0，+g）,
所以A n B= {1,2} , （?F A） U B={y|y w 0 或y= 1,2},
A U B={y|y> 0或y=—1,—2},
（?F A） n B= { —1,—2}.
所以D项正确.
答案：D
7. 已知集合M= {0,1,2,3,4} , N= {1,3,5} , P= MA N,贝U P 的子集共有（）
A. 2个
B. 4个
C. 6个
D. 8个
解析：因为M= {0,123,4} , N= {1,3,5},
所以Mn N= {1,3}.
所以M n N的子集共有22= 4（个）.故选B.
答案：B
& （xx •高考江苏卷）已知集合A= {1,2,3} , B= {2,4,5},则集合A U B中元素的个数为.
解析：由已知得，A U B= {1,2,3,4,5}
故集合A U B 中元素的个数为5. 答案：5
9.集合A = {x || x — 2| V 4}中的最小整数为 ____________ 解析：A = {x || x — 2| V 4} = {x | — 2 V x V 6}, 则最小整数为-1. 答案：—1
10. （xx •宜春中学、新余一中联考 ）已知全集为 R.集合 A = {x | x 2 — 5x — 6<0} , B =
{x |2 x <1}，则图中阴影部分表示的集合是 ____________ .
解析：由 x 2— 5x — 6<0,解得—1<x <6，所以 A = {x | — 1<x <6}.由 2x <1，解得 x <0,所以
B ={x |x <0}.又图中阴影部分表示的集合为
（？R B ） n A.因为？R B ={X |X A 0}，所以（？R B n A =
{x |0 < x <6}.
答案：{x |0 w x <6}
能力提升练 （时间：15分钟）
11.已知集合 A = {x |1 w x V 5}, B = {x | — a v x < a + 3}.若 B n A = B,贝U a 的取值范围
解析：因为B n A = B,所以B ? A. 当B = ?时，满足B ? A , 此时一a >a + 3,即 a w — 3； 当B M ?时，要使B ? A ,
—a v a + 3, 则—a > 1,
a + 3 V 5,
解得一a w — 1.
综上可知，a 的取值范围为（一O ,— 1].故选C. 答案：C
A. 3
3,— 1
B.
一
OO,
C. ( —s, — 1]
D.
3
2,
-pm
12.设全集U,已知非空集合M和N,规定Ml- N= {x|x € M且x?N}，那么M- ( M- N)等
于（）
B. MH N
A. MU N
C. M
D. N
解析：设集合M= {123,4,5} , N= {4,5,6,7},
根据定义M- N= {x|x€ M且x?N ,
贝U M- N= {1,2,3},
因此M- (M- N) = {x|x € M 且x?M- N} = {4,5} = MA N,故选 B.
答案：B
2
13 .已知R 是实数集，集合P= {x|y = In( x + 2 017x —2 018)} , Q= {y| y = yj- x2+ 2x + 3}，则(?R P) U Q= _____________________ .
解析：集合P表示函数y= ln( x + 2 017x + 2 018)的定义域，由x + 2 017x + 2 018> 0, 即(x —
1)( x+ 2 018) >0,
解得X V—2 018 或x> 1.
故P= (-m,- 2 018) U (1 ,+s) , ?R P= [ —2 018,1].
集合Q表示函数y= . —x2+ 2x + 3的值域，
所以y€ [0,2]，即Q= [0,2].
所以(？R F) U Q= [ — 2 018,2].
答案：[—2 018,2]
14. 已知集合{a, b, c} = { —1,0,1}，且下列三个关系：① a z 1；②b= 1 :③a^—1 有且只有一个正确，则10a X5b+ 2c等于________ .
解析：依题意可分下列三种情况：(1)若只有①正确，则a z 1, b z 1, c=—1,此时a
=b= 0，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有①正确是不可能的；
(2) 若只有②正确，则b= 1, a= 1, c=—1,此时a= b= 1，与集合中元素的互异性矛盾，所以只有②正确是不可能的；
(3) 若只有③正确，则c z—1, a= 1,b z 1,此时b= —1,c = 0,所以10 X5 + 2 = 101X5
—1 ^0 c
+ 2 = 3.
答案：3
15. 某校高三(1)班50个学生选择选修模块课
程，他们在A, B C三个模块中进行选择，
C26B与C13
则三个模块都选择的学生人数是 ___________
解析：设三个模块都选择的学生人数为x,
则各部分人数如图所示，
则有(1 + X) + (5 + X) + (2 + X) + (12 - X) + (13 - X) + (11 —X) + x= 50, 解得X= 6.
答案：6
又a<b,所以A<B= 45°，所以A= 30°.
4. [xx •衡水中学一轮检测]在厶ABC中, a, b, c分别为角代
2b cos C,则此三角形— -定是（）
A.等腰直角三角形。