六年级数学上册8.3 练习二十二
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8 数学广角-数与形
练习二十二
数与形
数形结合思想是学习数学的一种重要 思想，运用数形结合的方法，探究数 学规律，可以使数学问题解决起来更 简单。
跟踪训练
照这样画下去，第50 个图形有（2500）个这样的小黑点。 第几个图形，小黑点的个数就是几的平方， 即第50个图形，就有2500个小黑点。
跟踪训练
12＋14＝
3 4
得数＝1-最后一个加数
12＋14＋18
＝
7 8
1
3
6
10
请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。
如果不画，这样排列下去，第10个数是多少？
1＋2＋3＋4……＋10
＝10×（10＋1）÷2
＝10×11÷2
15
＝110÷221
28
＝55
下面每个三角形图都是由多少个小三角形组成的？如果小三 角形的边长是1，每个三角形图的周长分别是多少？，每个 三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有 什么样的关系？
起点
终点
由题意可知，小狗的速度等于小宇速度的2倍。 小狗的时间等于小宇走路的时间。 所以小狗跑的路程等于小宇走的路程的2倍。
200×2＝400（米） 答：小狗一共跑了400米。
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的公园健身中心，用时20分钟。 妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起 在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸 爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距 离的关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
都是1。
具有对称性（对称美）， 与首末两端“等距离 ”
1 6 15 20 15 6 1 的两个数相等。
你能利用下面的图发现（a＋b）² ＝a² ＋2ab ＋b²这一公式
吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
abBiblioteka 大正方形的面积：（a＋b）²
a a²
ab
（a＋b）²
b ab
b²
看下列图形，把算式补充完整，再计算出后面算式的结果。
1
1
1 8
1 1 18
4
4
4 16
1
1
1
2
2
2
1 2
＋
1 4
＝1
−（
1 4
）
1 2
＋
1 4
＋
1 8
＝1
−
（
1 8
）
1 2
＋
1 4
＋
1 8
＋
1 16
＝1
−
（
1 16
）
3 ＝4
7 ＝8
15 ＝ 16
12＋14＋18＋116＋…＋2156＝
255 256
小兰
妈妈
爸爸
小林、小强、小丽、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间 都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小丽下了2盘， 小兵下了1盘。小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
4小林
小刚2
小兵1
3 小强
小丽2
用连线的 方法试试
答：小刚一共下了2盘，分别和 小林、小强。
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在 这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三 角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按 照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。
＝a²＋ab＋ab＋b² ＝a²＋2ab＋b²
这节课你们都学会了哪些知识？
数形思想解决问题的方法： 把图形性质问题转化为数量关系问题或把数量关系 问题转化为图形性质问题，可使复杂问题简单化， 抽象问题具体化。
小三角形个数 1
4
9
16
周长
3
6
9
12
小三角形的个数＝（周长÷3）²
一条马路长200米，小宇和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的 起点出发。当小宇走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的 终点。然后小狗返回与小宇相向而行，遇到小宇后再跑回终点，到 达终点以后再与小宇相向而行……直到小宇到达终点。小狗从出发 开始，一共跑了多少米？
练习二十二
数与形
数形结合思想是学习数学的一种重要 思想，运用数形结合的方法，探究数 学规律，可以使数学问题解决起来更 简单。
跟踪训练
照这样画下去，第50 个图形有（2500）个这样的小黑点。 第几个图形，小黑点的个数就是几的平方， 即第50个图形，就有2500个小黑点。
跟踪训练
12＋14＝
3 4
得数＝1-最后一个加数
12＋14＋18
＝
7 8
1
3
6
10
请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。
如果不画，这样排列下去，第10个数是多少？
1＋2＋3＋4……＋10
＝10×（10＋1）÷2
＝10×11÷2
15
＝110÷221
28
＝55
下面每个三角形图都是由多少个小三角形组成的？如果小三 角形的边长是1，每个三角形图的周长分别是多少？，每个 三角形图包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有 什么样的关系？
起点
终点
由题意可知，小狗的速度等于小宇速度的2倍。 小狗的时间等于小宇走路的时间。 所以小狗跑的路程等于小宇走的路程的2倍。
200×2＝400（米） 答：小狗一共跑了400米。
小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的公园健身中心，用时20分钟。 妈妈到了健身中心后直接返回家里，还是用了20分钟。小兰和爸爸一起 在健身中心锻炼了10分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5分钟，而爸 爸是走回家中，用了15分钟。下面哪个图是描述妈妈离家时间和离家距 离的关系的？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？
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+
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都是1。
具有对称性（对称美）， 与首末两端“等距离 ”
1 6 15 20 15 6 1 的两个数相等。
你能利用下面的图发现（a＋b）² ＝a² ＋2ab ＋b²这一公式
吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。
abBiblioteka 大正方形的面积：（a＋b）²
a a²
ab
（a＋b）²
b ab
b²
看下列图形，把算式补充完整，再计算出后面算式的结果。
1
1
1 8
1 1 18
4
4
4 16
1
1
1
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2
1 2
＋
1 4
＝1
−（
1 4
）
1 2
＋
1 4
＋
1 8
＝1
−
（
1 8
）
1 2
＋
1 4
＋
1 8
＋
1 16
＝1
−
（
1 16
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3 ＝4
7 ＝8
15 ＝ 16
12＋14＋18＋116＋…＋2156＝
255 256
小兰
妈妈
爸爸
小林、小强、小丽、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间 都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小丽下了2盘， 小兵下了1盘。小刚一共下了几盘？分别和谁下的？
4小林
小刚2
小兵1
3 小强
小丽2
用连线的 方法试试
答：小刚一共下了2盘，分别和 小林、小强。
我国宋代数学家杨辉在公元1261年撰写了《详解九章算法》，他在 这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨辉三 角”。你能发现下面“杨辉三角”图中各数之间的关系吗？你能按 照发现的规律把这个三角形图继续写下去吗？试试看。
＝a²＋ab＋ab＋b² ＝a²＋2ab＋b²
这节课你们都学会了哪些知识？
数形思想解决问题的方法： 把图形性质问题转化为数量关系问题或把数量关系 问题转化为图形性质问题，可使复杂问题简单化， 抽象问题具体化。
小三角形个数 1
4
9
16
周长
3
6
9
12
小三角形的个数＝（周长÷3）²
一条马路长200米，小宇和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的 起点出发。当小宇走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的 终点。然后小狗返回与小宇相向而行，遇到小宇后再跑回终点，到 达终点以后再与小宇相向而行……直到小宇到达终点。小狗从出发 开始，一共跑了多少米？