考虑摩擦时刚性直杆倾倒的运动分析

6(sin 0 _ f cos O')
(19)
进一步整理得
心)一鶉获)+需吩厂1
它为他=一1的Bernoulli微分方程口切，其中
Qi (&) = 1 + 3 sin 0(sin 0 — f cos 0) a>2 (0) = 3 cos sin 0 — f cos 0) b(0) = 6(sin0 — f cos 6)
2020-08-10收到第1稿，2020-11-08收到修改稿。
1） 山东省本科高校教学改革重点项目资助。
2） 冯维明，教授，研究方向为动力学与控制和航天器轨道优化。E-mail: fwm@ 引用格式：李浩隆，冯维明.考虑摩擦时刚性直杆倾倒的运动分析.力学与实践，2021, 43（3）: 425-434
之后杆做平面运动，那么自然有这样的问题：打滑角 01如何确定？杆做平面运动状态是怎样的？如何求 解杆触地端的位移？
1.1定轴转动过程 设杆角速度为3,由动能定理
* Jb/ =
_ cos9)
⑴
得
⑵ 则质心C的水平速度为
式(2)再次对t求导得
d<9 21 设CLCx和acy为杆质心C的加速度沿龙和"轴的 分量，如图3,由质心运动定理
(23)
其中aCx为质心水平加速度式(15), vCx0 为触地端 开始滑动时质心的速度，由式(3)知
vcx\e=Sl = cos 01
1—cos 01) (24)
将式(23)代入式(22),整理可得
[1 + 3sin0(sin& — fcos0)]r2(&)C(e)+
3 cos 0 (sin 0 — 了 cos 0)0(8)2 =
同时将式(7)、式(8)分别代入式(5)、式⑹ 求得
3
Fs = -mg sin0(3 cos 0 — 2)
(9)
Fn = ?mg(l — 3 cos 0)2
(10)
4
显然Fn 2 0,当且仅当0 = arccosl/3 « 70.5°时取 等号，故杆在定轴转动时不会跳起。对于尺，在定轴 转动过程中，当 0 W 2arccosl/3 «48.2° 时，Fs ? 0, 也就是摩擦力向z轴正向，此时杆触地端不打滑 所要求的最小f满足Fs = JFn；当0 2 48.2° 时，尺W 0,也就是摩擦力向工轴负向，此时最小 f应满足Fs = -/Fn，故统一地有
由刚体质心平面运动微分方程
Fs = maCx
mg — Fn = macy
(13)
Jca = Fn I sin 0 - FsfcosO
图4 f关于e的函数曲线图
由滑动摩擦(见图2)
Fs = fFN
(14)
联立式(13)和式(14)可得
If
a
^Cx = 6 sin 0 — f cos 0
I
a
(15)
acy
(17)
联立式(15)和式(17),注意到a = d20/dt2, w = d&/dt,可以得到关于0(t)的二阶非线性非齐次微分 方程
[1 + 3• sin 0(sin 0 — f cos
'
d26» dt2
+
31 cos0(sin0 — f cos0) (% 2
6g(sin& — f cos 0)
对于f = 0的情况，式(20)可以积出
2Wjcos& - 1 \/3cos 20 — 5
但/黑0时，无法全部积出。 在初步的分析中，往往认为触地端的运动是单
向的，但实际上不然。 以C为基点，B为动点，则B点速度为
I
VB = VCx 一 COS0
(22)
质心任意时刻的水平速度表示为
Wx = VCx0 +
期的文献中，王晓云⑷计算了刚性杆完全倒地的时 间，假设杆始终做定轴转动，把杆触地端理想地看作 较链；2000年，高桂林等同讨论了刚性杆在有摩擦 的水平面上倾倒过程的力学分析，文章注意到了摩 擦力在杆件倾倒过程会改变方向，研究了在特定摩 擦因数下杆件触地端约束力分析和运动分析，但缺 乏一般情形下的相关分析，所以对可能出现的一些 现象没有进一步解释；2018年，唐有绮等冏再一次 对刚性直杆倾倒过程进行了动态分析，通过数值解
LI Haolong FENG Weiming2)
(School of Civil Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)
Abstract In ordei* to study the whole process of rigid straight rod toppling with consideration of friction, three kinds of motion processes of rigid straight rod toppling with different friction factors are analyzed by the theoretical method and the numerical calculation. The dynamic equation and its solution are obtained, as well as the expression of the displacement of the point where the rod touches the ground. The relation curve between the final displacement of the point where the rod touches the ground and the friction coefficient is obtained by the numerical calculation method, and the results are verified by experiments. Key words rigid straight rod, free falling, friction, kinematic analysis, dynamic analysis
|尺| _ 3 sin 6» |3 cos 0 - 2|
丿_用_ (1 — 3 cos叩—八丿
(11)
由于 lim /(0) = oo,故不论f多大，杆一定 0—>arccos 1/3
会在70.5°之前打滑，/(6>)在e € (0,70.5°)的函数
图像如图4o
设此极值点为p,过p做平行于x轴的线交曲线于 点q, q点横坐标为0.894,约等于51.2°<,需要注意, 图4是在定轴转动的情形(即式(11))下画出的，一 旦触地端开始滑动，杆就进入平面运动状态，动力学 方程将在后文给出。在f <fm时，给定一个f有多 个0与之对应，那么杆究竟在何时打滑呢？假如杆 在p点不打滑，则摩擦因数一定大于仏杆一定在 pDq段不打滑，因此图4中的曲线pDq是没有意义 的，我们可以用虚线pg做一个区分，也就是有意义 的曲线为OpqC,且此图的意义仅仅是标识出触地端 初始滑动的位置，另外注意到式(11)中摩擦力取绝 对值，事实上曲线DC (有意义的是qC)段对应摩擦 力的方向改变，即触地端滑动趋势改变。
= % COS0 —如 sin®
(7)
acy = Qt sin 0 + 如 cos 0
(8)
又 °t = aZ/2, an = a;2/2o
第3期
李浩隆等：考虑摩擦'(O') = 0> 得 0 = 2arctan 1 Q 35.1°, 代
入式(11)可得曲线极大值
关键词 刚性直杆，自由倾倒，摩擦，运动分析，动力学分析
中图分类号：0313 文献标识码：A doi: 10.6052/1000-0879-20-326
DYNAMIC ANALYSIS OF RIGID STRAIGHT ROD TOPPLING WITH CONSIDERATION OF FRICTION*1)
(18)
式(18)没有解析解，利用变换d20/dt2 = udcv/d0, 并定义无量纲角速度2=3皿、化简得
c = 3(cos 01 — 1) (3/ sin 20】+ 3 cos 20】—5) •
exp —-=6/== arctan ^16 - 9/2
3/-8 tan /6 - 9产 yj
(21)
Fs = maCx
(5)
mg _ Fn = maCy
(6)
1动力学建模与分析
一质量为m,长为I的均质直杆竖直立在地面 上，杆与地面的摩擦因数为f,随后受到微扰开始自 由倾倒，如图2,刚开始运动时6较小，杆先做定 轴转动，随后杆触地端开始打滑，设打滑角度为内,
将as和aCy用切向加速度at和法向加速度an分 别表示
426
力学与实践
2021年第43卷
分析了直杆角位移、角速度、触地端摩擦力等随时 间变化的规律，虽比前者分析更深入，但仍然欠缺全 面分析，且其杆件触地端摩擦力“始终向右”和摩擦 力较大时杆件倾倒过程一直做定轴转动的结论都是 不正确的：同一时间，苏振超等【7】研究了直杆倾倒 时开始打滑的打滑角与摩擦因数的关系，通过对一 道习题的分析，设计了已知打滑角求摩擦因数和已 知摩擦因数求打滑角正反两个问题，并得出了摩擦 因数与打滑角关系的曲线图，但图中有一段曲线无 意义，没有得到打滑角与摩擦因数的完整关系，对杆 触地端滑动后的运动方向的判断缺乏完整性；同年 胡开鑫等冈就此问题给出了两点结论，均质杆倾倒 过程中触地端不会脱离地面且可在两相反方向滑动, 否定了文献［6］的结论，并为此给出简单的证明，但 其杆触地端左右滑动的判定条件值得商榷。2019年, 张九铸冏讨论了均质直杆无滑动倾倒时触地端脱离 水平面的条件，认为在某一角度"一定能实现无滑动 脱离水平面”，该文的结论与文献［5, 8］是矛盾的。 综上所述，此前的研究主要是建立动力学方程并进 行数值求解，没有求得解析解，对于摩擦因数与打滑 角关系的认识不够深入，对不同摩擦因数下杆运动 的求解不够完整，甚至有些错误的结论。本文将尽可 能对均质直杆倾倒过程进行完整的分析，对各种可 能出现的现象进行分析，并对某些结论进行具有可 信度的验证，弥补以往研究中的缺陷，提出对前期研 究不同的思考以供大家讨论。
1.2平面运动过程
由上面讨论可知，直杆倾倒过程中首先发生定 轴转动(除f = 0外)，其次是平面运动，杆件触地 端运动过程以摩擦因数fm为界而不同。因此，需分 别讨论。
1.2.1 f<fm时的杆件平面运动
此时杆打滑的弘满足
3 sin % (3 cos 01 — 2)
(1 — 3 COS 01 )2
(12)
6 sin 0 — / cos 0
如图5,以C为基点，B为动点，B点加速度表示为
胃 十 aB = O>Cx + aCy + a C &BC
(】6)
428
力学与实践
2021年第43卷
由式⑵得初值条件0(01) = J3(l_cos0i),求得
图5杆做平面运动时的加速度分析图
向y轴正向投影得
acy = - (u>2 cos ff + a sin 0)
经典力学中常见关于刚性直杆自由倾倒的问题 （图1）,可利用动量定理、动量矩定理和动能定理来 分析杆件在倾倒过程的运动。但教材中此问题多见 于理想状态下（考虑地面为光滑的）运动学分析和动 力学分析U-2J如果考虑一般情况下即地面有摩擦时 刚性直杆倾倒过程，问题立刻就复杂了许多，2017年 《力学与实践》曾就此问题公开征集解答同，这也引 起了许多任课教师和在校学生的兴趣，近年来不少 学者对此问题展开讨论，表达了自己的见解。在早
Li Haolong, Feng Weiming. Dynamic analysis of rigid straight rod toppling with consideration of friction. Mechanics in Engineering, 2021, 43（3）: 425-434
第43卷第3期
力学与实践
2021年6月
考虑摩擦时刚性直杆倾倒的运动分析"
李浩隆冯维明2)
(山东大学土建与水利学院，济南250061) 摘要 为了探究考虑摩擦时均质刚性直杆倾倒的全过程，利用理论分析和数值计算的方法，详细分析了
在不同摩擦因数下刚性直杆倾倒的三种运动过程，得到了倾倒时的动力学方程及其解答，并推导了杆触地端位 移的表达式，通过数值计算的方法绘岀了杆触地端最终位移与摩擦因数的关系曲线，并通过实验验证了部分结 论。