稳健设计方法

机研142 孙利文2100
一、稳健设计方法在产品设计开发中的作用。

稳健设计又称作鲁棒设计。

是关于产品质量和成本的一种工程设计方法。

在产品或工艺系统设计中，正确的应用稳健设计的基本理论和方法可以使产品在制造或使用中，或是在规定寿命内当结构或材料发生老化、变质、工作环境发生微小的变化时，都能保证产品质量的
稳定。

通过稳健设计，可以使产品的性能对各种噪声因素的不可预测的变化，拥有很强的抗干扰能力。

产品性能将更加稳定、质量更加可靠。

任何一种产品 "影响其质量的因素有很多"主要可分为两类：一类是在设计中人们可以控制的因素如设计变量、变量的容差等；另一类是所谓的噪声因素指由生产条件、使用环境及时间等的变化而影响产品质量的因素如载荷、几何尺寸、工程材料特性的变异以及制造、安装误差等，其基本特点是具有不确定性和随机性，是
不可控制的因素。

实际存在的不确定因素的变化有可能导致产品的性能指标有较大的波
动，使其功能劣化甚至失效，还有一些材料或元器件会随着时间的推移而发生失效等。

对于这些因素有两种处理方法: 一是尽可能消除这些因素这对可控因素是可以做到的，而对噪声因素往往很难实现。

即使能够消除也需要花费很大的代价；二是尽量降低这些因素的影响。

这是相对容易和低代价的方法，也就是使产品性能对这些因素的变化不敏感，为了使所设计的产品在不确定因素的影响下，其性能指标不仅能达到设计要求，而且对各种不确定因素的
变化不敏感，就需要用稳健设计方法来实现。

稳健设计就是使产品的性能对在制造期间的变
异或使用环境的变异不敏感，并使产品在其寿命周期内不管其参数、结构发生漂移或老化在
一定范围内都能持续满意地工作。

二、试验设计在稳健设计中的作用。

试验设计就是运用正交试验法或优化方法确定零部件参数的最佳组合，在系统内、外因素作用下，所产生的质量波动最小，即质量最稳定（健壮）。

试验设计的目的是根据系统设计中所确定的所有参数，通过多因素的优选方法来考察三
种干扰（内干扰，外干扰，产品间波动）对系统质量特性的影响，寻求最佳的参数组合，以
求得抗干扰性最佳的设计方案，使系统质量特性波动小，稳健性好，并且价格低廉。

1）通过对产品特性指标试验结构的分析，确定出在不可控因素影响下的可控因素值的
最佳组合或工作状态；
2）筛分出各可控因素对产品质量影响的重要程度，以利于有效控制；
3）可以实现原有材料代用、基本设计构型的比较、设计参数的选择以保证产品质量在
较宽的工作条件下具有稳定性；
4）用于建立经验模型、确定质量特性与设计变量（或工艺参数）之间的函数关系，寻
找最佳工作条件。

三、按照正交试验（直观分析法）的原理，解决你实际工作中的一个问题，并总结成实验
分析报告（以两个以上因素分析为例）。

正交试验设计是用来科学地设计多种因素试验的一种方法，它利用一套规格化的正交表
安排试验，得到的实验结果用数理统计进行处理，以得到科学结论。

正交表是试验设计的基
本工具，它是根据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。

正交试验设计 ( 简称正交设计 ) 的基本程序是设计试验方案和处理试验结果两大部分。

主要步骤可归纳如下：
（1）明确试验目的，确定考核指标
（2）挑因素，选水平。

（ 3）选择合适的正交表，进行表头设计。

,
（4）确定试验方案。

（5）试验结果分析
实例：某化工厂生产一种试剂, 产率较低 , 希望通过试验探索好的生产工艺以提高产率。

考察的因子与水平如下表 :
表 8-10 考查试剂生产效率因素一览表
因子 A B C
水平反应温度 / 摄反应时间 / 小搅拌速度
氏度时
一水平30 1 快
二水平40 1。

5 中
三水平50 2 慢
这是一个三水平的试验, 我们可以在
是在试验因子能在正交表的列中安排得下的前提下和中选一张合适的表。

选择的原则, 试验次数越少越好。

本例只有三个因子,
故选用表,作 9 将三个因子依次安排在就得到一张试验设计表。

表 8-11 试验计划表次试验就行了选择了正交表后, 将因子安排在的表头上
1,2,3 列 , 并且把表中各列的水平号用相应的实际因子水平写出来
, 我们
, 列号 1 2 3
试验号反应温度反应时间搅拌速
(A)/ 摄氏度(B)/ 小时度 (C)
1 1 30 1 1 1 快
2 1 30 2 1 。

5 2 中
3 1 30 3 2 3 慢
4 2 40 1 1 2 中
5 2 40 2 1 。

5 3 慢
6 2 40 3 2 1 快
7 3 50 1 1 3 慢
8 3 50 2 1 。

5 1 快
9 3 50 3 2 2 中表 8-12 计算表
列号 1 反应2 反反应时间3搅拌速试验结
温度 (B)/ 小时度 (C) 果产率 %
试验号(A)/ 摄
氏度
1 1 1 (1) 1 82
(30) ( 快)
2 1 2 (1 。

5) 2 81
( 中)
3 1 3 (2) 3 76
( 慢)
4 2
1 2 80
(40)
5 2 2 3 85
6 2 3 1 82
7 3
1 3 64
(50)
8 3 2 2 72
9 3 3 1 64
I
23
( 一水平试验226 236
9
结果总和 )
II
24
( 二水平试验238 225
7
结果总和 )
III
20
( 三水平试验222 225
结果总和 )
I/3 79 75。

3 78。

7 7
II/3 82 79。

3 75。

3 0
III/3 66 74。

0 75。

7 0
极差 R 15
5。

3 3。

7。

6
按以上所设计的方案进行了9 次试验后 , 将各次试验结果依次填入试验计划表的最右边, 并且在表上进行了一系列的计算 , 形成了上表形式 , 常称为计算表。

现在根据这9 次试验结果 , 来分析因素各水平对产率的影响。

先看 A 因子 ( 反应温度 ) 。

它的水平为30 摄氏度的是第1,2,3 号试验 , 其总产率IA=82+81+76=239; 它的水平是40 摄氏度的是第4,5,6 号试验 , 其总产率Ⅱ A=80+85+82=247; 它的水平是 50 摄氏度的是第 7,8,9 号试验 , 其总产率Ⅲ A=64+72+64=200。

在 A因子水平相同的三组试验中, 不同水平的 B 因子 ( 反应时间 ) 和不同水平的 C因子 ( 搅拌速度 ) 都各出现一次。

从整体上看, 可以认为 B,C 两因子对产率的影响虽然在变动, 但这种变动是均衡的。

因此 , 比较这三个总产率, 就可以看出 A 因子各水平的差别对产率的影响。

为便于说明 , 把上述三个总产率都取平均值, 分别得到 IA/3=, ⅡA/3=, ⅢA/3=, 这是试剂的平均
产率。

显然 A因子取 40 摄氏度最好 50 摄氏度最差。

二者之差即极差, 它表示反应温度40 摄氏度与50 摄氏度相比 , 试剂的产率平均要提高%。

用同样的方法可以比较 B 因子和 C 因子的各水平的好与差。

比较各因子极差的大小, 就可以看出哪个因子对产率的影响大, 哪个因子影响小。

反应温度的高低对试剂的平均产率的影响可以差到%,而搅拌速度的快慢对试剂的平均产率的影响
只差到 %,显然反应温度是否合适要比搅拌速度是否合适重要的多。

根据这种比较, 就可以回答本节开始提出的三个问题了。

（1）反应温度对产率影响最大 , 其次是反应时间 , 再其次是搅拌速度。

（2）反应温度是 40 摄氏度好 , 反应时间是小时好 , 搅拌速度是快速好。

（3）好的生产工艺是 :?即
反应温度 40 摄氏度 ;
反应时间小时;
搅拌速度快速。

这个条件在试验计划表中并没有出现, 它是 27 次全面试验中的一种。

由此可见 , 用正交表安排试验确实具有很强的代表性。

虽然只作了9 次试验，但是通过对这9 次试验结果的计算与分析，仍然不会漏掉最佳的水平组合。

以上利用比较各因子不同水平下试验结果平均值的方法就是直观分析法, 也叫做综合比较法。

显然，只有在均衡搭配的试验情况下, 才能进行综合分析，这也是正交表的一个特性, 常称为“综合可比性”。

四、举例说明稳健设计在机械工程中的应用（包括求解的过程）
在汽车鼓式制动器设计中考虑不确定因素的影响, 将可靠性优化理论、可靠性灵敏度分
析与稳健设计方法相结合, 以制动效能因数为目标函数建立制动器可靠性稳健优化数学模
型。

把制动力矩、摩擦衬片压力的可靠性灵敏度溶入可靠性优化设计模型之中, 将可靠性稳健优化设计转化为满足可靠性要求的多目标优化问题。

实例计算表明, 稳健优化后的制动器不仅有较高的制动效能和可靠性, 还具有较低的可靠性灵敏度, 取得了满意的结果。

1鼓式制动器的状态方程
为避免制动过程中车轮打滑, 制动力矩不得超过车轮与地面的附着力矩, 一般希望车轮与地
面的附着系数小于规定值。

所以根据文献[2] 可以推导出制动力矩的状态方程为
g1 (x,y)=019-Mn／mR1(1)
M1=(MfhA) M2=(MfhA) ／ (R(cosB+fsinB)-fA)
／（ R(cosB-fsinB)+fA ）
β=tan-( (cos2 α 1-cos2 α 2) ／ (2 α3-sin2 α 2+sin2 α 1))
A=4R(cos α1-cos α2) ／ ((cos2 α 1-cos2 α 2) 2+(2α 3-sin2 α2+sin2 α 1) 2) 1/2
式中 ,M 为制动力矩 ,M=M1+M2；r 为制动鼓半径 ,R 为蹄片支承销中心与制动鼓中心间的距离,h 为制动蹄轴端至末端的距离, α1、α2分别是摩擦衬片的起始与终止点和鼓心连线的夹角, α3 =α 2-α1为摩擦衬片的包角,b 为制动鼓宽度 ,f 为制动鼓与摩擦衬片间的摩擦系数,F 为制动蹄促动力 ,m 为汽车总质量 , n 为车轮数或制动器数 ,R1 为车轮半径。

摩擦衬片上承受的最大压力应小于规定值, 根据文献 [2] 可以得到摩擦衬片的状态方程为
2 2 1
3 3 2 3 2 2 +fh(4R 2 2 1/2 ) sin 3 3 /2)]}
g (x,y)={2h Msin( α /2) ／ bα [2R α-(2R -h -h ) α -4rfhsin( α
(2)
g3(x,y)={2h 2M2sin( α3/2) ／ bα 3[2R 2α 3-(2R 2-h 2+fh(4R 2-h 2) 1/2 )sin α 3-4rfhsin( α 3/2)]} 3)
2可靠性稳健优化设计
由可靠性优化设计的基本理论可知 , 可靠性设计的目标是计算可靠度
R=Qg(x)>0fx(X)dX(4)
式中 fx(X) 为基本随机参数向量X=(x, y)=(x1, x2,,, xn; y1, y2,,, ym)T的联合概率密度, xi
是设计变量 ( 可控变量 ),yi 是设计参数 ( 不可控变量 ),x 和 y 分别是设计变量xi 和设计参数yi 构成的向
量;g (X) 为状态函数 , 可表示零部件的两种状态。

g(x,y)F0 为失效状态
g(x,y)>0 为安全状态 (5)
可靠性指标定义为 [3]
B=LgRg=E[g(X)]Var[g(X)](6)
式中 Lg=E[g(X)]=g(X) 和 Rg=Var[g(X)]=5g(X)5XT2Var(X) 分别是状态函数g (X) 的均
值与标准差 ,Var(X) 为基本随机参数的方差向量。

这样一方面可以利用可靠性指标直接衡量构件的可靠性, 另一方面在基本随机参数向量X 服从正态
分布时 , 可以用失效点处状态表面的切平面近似地模拟极限状态表面, 可以获得可靠度的一
阶估计量
R=5(B) (7)
式中 5(#) 为标准正态分布函数。

可靠度对基本随机参数向量X 均值和方差的灵敏度为 [4] dR
dXT=5R5B5B5Lg5Lg5X2(8)
dR
dVar(X)=5R5B5B5Rg5Rg5XT(9)
将以上各式和已知条件代入式(6) 和式 (7),在基本随机参数服从正态分布的情况下, 就可以求出可
靠性指标 B 和可靠度R。

可靠性稳健优化设计的基本思想是在可靠性优化设计模型的基础上, 把可靠性灵敏度加到目标函数
中 , 考虑约束的可行稳健性 , 将可靠性稳健优化设计归结为满足可靠性要求的多目标优化问
题。

其数学模
型可描述为
minf1(?x,?y)
minf2(?x,?y)=E
n
i=1
5R
5xi
2
s. t. g(?x,?y)-5-1(R0)Rg\0
qj(?x,?y)+kE5qj5xi2R2xi+E5qj5yi2R2yi1/2[0(j=1,2,,,m)
xli[xi3Rxi[xui(i=1,2,,,n)
(10)
式中 f1(?x,?y)为原优化问题的目标函数,f2(?x,?y)为可靠度对设计变量x=(x1,x2,,,xn)T 均值的灵敏
度的平方和再开方,R g1(x, y) = 019 - Mn／mR1 0 为设计所要求的可靠度 ,qj(?x,?y)为不
等式约束函数 ,?x 、 ?y 分别是设计变量和设计参
数的均值 ,R2xi 、 R2yi 分别是设计变量xi 和设计参数yi 的方差。

3 鼓式制动器的可靠性稳健优化设计
311 目标函数
评价制动器性能好坏的最主要指标之一是制动器效能因数, 它表征了制动器将一定大小的制
动蹄促
动力转化为制动器制动力矩并进而转化为地面制动力的能力。

在相同的促动力下, 效能因数越大 , 表明制
动力矩越大 , 制动效果越好, 工作效率越高。

效能因素表示为
K=M1+M2FR(11)
因此 , 目标函数为
f1(?x,?y)=1/K (12)
取设计变量x=(r, R, h,A1,A2)T=(x1, x2,x3, x4,x5)T,设计参数y=(m, R1, f)T=(y1, y2,
y3)T 。

另外 , 要求制动器的可靠度对设计变量均值的灵敏度最小, 则
f2(?x,?y)=E
5
i=1
5R
5xi
2
(13)
312约束条件
(1)制动力矩的约束条件
g1(?x,?y)-5-1(R0)Rg1\0(14)
(2)摩擦衬片压力的约束条件
g2(?x,?y)-5-1(R0)Rg2\0(15)
g3(?x,?y)-5-1(R0)Rg3\0(16)
(3)自锁条件
q1(x,y)=f-RcosBA-RsinB[0(17)
(4)压力分布均匀约束
q2(x,y)=f-RA3hsin(A3/2)[0(19)
(5)摩擦衬片的磨损特性约束
q3(x,y)=[0(20)
式中 v 为汽车制动初速度, t制动时间。

(6)设计变量边界约束
综合以上目标函数和约束条件, 根据式 (10), 可得制动器的可靠性稳健优化模型。

4实例计算
某型汽车质量 m为 (Lm,Rm)=(3 500,175)kg, 轮胎半径为 (LR1,RR1)=(01343,01001 72)m, 制动气
压 01539~01588MPa,制动初速度 v 为(Lv,Rv)=(80,4)km/h, 制动鼓与摩擦衬片间的摩擦系数 f 为(Lf,
Rf)=(014,0102), 设计可靠度要求 R0 为 01999; 设计变量的边界为 :0116[r[0119 m,0112[R[0118
m,0126[h[0138 m,0115[A1[0180 rad,1157[A2[2109 rad, 可认为它们都服从正态分布、相互
独立
的。

根据加工公差和正态分布的3R 法则 , 各设计变量的均方差可取相应均值的015%[3] 。

根据建立的优化模型 , 按照相容决策支持问题法[5], 利用基于 Matlab 的序惯二次规划法(SQP)求解 ,
求得可靠性稳健优化设计的最优解x* 。

可靠性稳健优化计算结果与常规优化及初始设计值
见表 1。

表 1 优化结果
x1/mx2/mx3/mx4/radx5/radf1(X)f2(X) /10-3
初始设计值 0118 01128 0127 01262 2109 21151 41684 8
常规优化 01188 01122 01302 01175 21007 31610 61168 4
可靠性稳健优化01187 01122 01314 01182 21059 31583 01954 3
由表 1 可知 , 常规优化所得的制动器效能因数值要小一些, 但其可靠度灵敏度明显偏大, 而且有几个
约束处于边界上 , 一旦设计变量发生波动 , 就可能违反约束。

而采用可靠性稳健优化方法虽然
得到的制动
器效能因数要稍大一些 , 但设计质量具有较好的不灵敏性, 约束具有可行稳健性, 确保了制动
器的可靠性
和稳健性。

比较可知, 可靠性稳健优化后的制动器结构参数比常规优化后的更加合理。