定积分应用的微元法
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i 1
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
a c
b b
c
b
性质 4 （积分的比较性质） 在 a, b 上若 f ( x) ≥ g(x)，则 f ( x)dx ≥ g ( x)dx .
a a
性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 f ( x) 在 a, b上的最大值与最小值，则 m(b a ) ≤ f ( x)dx ≤ M (b a ) .
i 1 i i
A lim f (i ) xi .
0
i 1
n
2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上的连续函数， 且v(t ) ≥0， 要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ，把 [T1 , T2 ]分成 n 个小段，每小段长为 ti ti ti 1 （i 1,2, , n ）; (2)取近似 把每小段[ ti 1 , ti ]上的运动视为匀速， 任取时刻 i t i 1 , t i ，作乘积v ( i ) ti ，显然这小段时间 所走路程 si 可近似表示为 v ( i ) ti （i 1,2, , n ）; (3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即
a a c
注： 对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置， 上述性 质仍成立，譬如： a b c ，则
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,
a b a c
b
c
b
b
仍有
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
x
既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积 分变量改写成 t ，于是这个积分就写成了 f (t )dt .
a
当 x 在 [ a, b ] 上变动时，对应于每一个 x 值 , 积分
x
a
f (t )dt 就有一个确定的值，因此 f (t )dt 是变上限 x 的
a x a
x
一个函数，记作 Φ ( x) = f (t )dt（ a ≤ x ≤ b ）通常称函 数 Φ ( x) 为变上限积分函数或变上限积分， 其几何意义如图 所示(见下页).
b
a
f ( x)dx f ( )(b a ) .
b
a
f ( x)dx f ( )(b a).
中值定理的几何意义： 曲边 y f ( x) 在a, b底上所围成 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形面 积，如下图所示.
y
y f (x)
f ( )
O a b x
如果 f ( x) ≤0， 则 f ( x)dx 0 ， 此时 f ( x)dx
a a
b
b
表示由曲线 y f ( x ) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲 边梯形的面积 A 的负值，即 f ( x)dx A .
a b
y a O b x
-A
y=f (x)
至于第一步它只是指明所求量具有可加性这是然后写出在这个小区间上的部分量观察上述四步我们发现第二步最关键因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的这只要把近似式的近似值表达式应该足够准确确切的说就是要求其差是关于具体怎样求微元呢
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与微积分基本公式
第二节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分
y
y f( x)
Φ( x )
O
定理 1
a
x
x
b
x
a, b ] 上连续，则变 如果函数 f ( x) 在区间[
a
上限积分Φ( x) = f (t )dt 在[a, b ]上可导，且其导数是
d x b ）. Φ( x) f (t )dt f ( x) （ a ≤x ≤ dx a
第三节 定积分的应用
第一节
定积分的概念与微积分基本公式
一、两个实例
二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、微积分基本公式
第一节 定积分的概念与微积分基本公式
一、两个实例
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. y
s v( i )ti ;
i 1 n
(4)取极限 当 max ti 0 时，上述总和的极限 就是 s 的精确值，即 s lim v( i )ti .
0
1i n n
二、定积分的概念
i 1
定义 1 设函数 y f ( x ) 在 [ a, b ] 上有定义，任取分点
推广为
M
P A A Q
N
O C
B x
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： y y = f ( x)
O
a
b
x
b 1 f ( x)dx 表示 从几何角度容易看出，数值 a ba 连续曲线 y f ( x) 在 a, b 上的平均高度，也就是函数 f ( x) 在a, b上的平均值， 这是有限个数的平均值概念的 拓广.
例 1 估计定积分
e
1
1
x2
dx 的值.
解 先求 f ( x) e 在[-1,1]上的最大值和最小值. x2 因为 f ( x ) 2 xe ,令 f ( x) 0 ，得驻点 x=0 ，比较 f ( x ) 在驻点及区间端点处的函数值 1 f (0) e 0 1, f ( 1) f (1) e 1 , e 1 M 1 故最大值 , 最小值 m = . e 1 2 x2 由估值性质得， ≤1e dx ≤2 . e
a x0 x1 x2 xn1 xn b , 分 [ a , b ] 为 n 个小区间
[ x i 1 , x i ] (i 1,2, , n) .记
xi xi xi 1 (i 1,2,, n), maxxi ,
1i n
再在每个小区间[ x i 1 , x i ] 上任取一点 i ，作乘积 f ( i )xi 的和式： n
O
x0 x1 x 2 x0 = a
xn =b
xn
x
曲边梯形面积的确定步骤： (1) 分割 任取分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b , 把底边[a,b]分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]( i 1,2, , n) . 第 i 小区间长度记为 xi xi xi 1 (i 1,2, , n); (2) 取近似 在每个小区间[ xi1 , xi ] 上任取一点 i 竖起高线 f ( i ) ,则得小长条面积 Ai 的近似值为 Ai f ( i )xi ( i 1,2, , n ); (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积 A 的近似值
a b
证
M （题设） 因为 m ≤ f ( x ) ≤ ，由性质 4 得
b b a a
b
a
mdx ≤ f ( x)dx ≤ Mdx ， 再将常数因子提出， 并利
用
b
a
dx b a ， 即可得证.
性质 6 （积分中值定理） 如果 f ( x ) 在a, b上连续， 则至少存在一点 a, b ，使得
a b a
三、定积分的几何意义
如果 f ( x) 0 ，则 f ( x)dx 0 , 此时 f ( x)dx
a a b b
表示由曲线 y f ( x) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 a f ( x)dx A .
y
b
y=f (x)
A
f ( )x ,
i 1 i i
如果 0 时,上述极限存在 （即， 这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关） ，则称此极限值为函数 f ( x) 在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi ,
0
如果 f ( x) 在 [ a , b ] 上有 正有负时，则 a f ( x)dx 表示由 曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的平面图形的 面积位于 x 轴上方的面积减去 位于 x 轴下方的面积，如右图 所示，即
b
y
A1y f (x)
a
A3
b a
A2
O
b x
f ( x)dx A1 A2 A3 .
四、定积分的性质
性质 1
b a
函数的代数和可逐项积分，即
b a
[ f ( x) g ( x)]dx
a a
f ( x ) dx g ( x ) dx .
a
b
性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面， b b 即 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 为常数）. 性质 3 （积分区间的分割性质） 若 a c b ，则 b c b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx .
这个等式表明速度函数 v(t ) 在[T1 , T2 ]上的定积分,等 于其原函数s(t ) 在区间[T1 , T2 ] 上的改变量.那么，这一结 论有没有普遍的意义呢？
T1
1. 变上限的定积分
设函数 f ( x) 在[ a, b ] 上连续, x [ a, b ]，于是积分
x
a
f ( x)dx 是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是 x
2 2
1
1
b
a
f ( x)dx f (t )dt .
a
b
(2)定义中要求积分限 a b ，我们补充如下规定： b 当 a b 时， f ( x)dx 0 , 当 a b 时， a f ( x)dx b f ( x)dx . (3)定积分的存在性：当 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 限个第一类间断点时, f ( x) 在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可 积）.
n
其中称 f ( x) 为被积函数, f ( x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a, b 分别称为积分下限和上限.
定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：
x dx t dt .一般地， 0 0
证 将性质 5 中不等式除以 b a ，得 1 b f ( x ) d x ≤ M. m≤ a ba 1 b a, b f ( x)dx ,即 m M .由于 f ( x) 为 设 a ba 区间上的连续函数,所以,它能取到介于其最小值与最大 值之间的任何一个数值 （这就是连续函数的介值定理） . 因此在a, b 上至少有一点 ，使得 f ( ) ，即 1 b f ( x)dx f ( ), ba a
f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x 2 f ( n ) x n
(4)i
1i n
n
取极限 令小区间长度的最大值 maxxi
趋于零,则和式 的精确值，即
f ( )x 的极限就是曲边梯形面积 A
x2
五 、 微积分基本公式
引例 设物体以速度v v(t ) 作直线运动，要求计算 [T1 , T2 ] 时间内的路程 s. 从定积分概念出发，由前面已讨论的结果知道[T1 , T2 ]
所经过的路程为 v(t )dt .
T1 T2
若从不定积分概念出发，则知道函数为 v(t )dt s(t ) C , 其中 s(t ) v(t ) ，于是[T1 , T2 ]时间内所走 路程就是 s (T2 ) s (T1 ) . T2 综合上述两个方面，得到 v(t )dt s(T2 ) s(T1 ) .
a c
b b
c
b
性质 4 （积分的比较性质） 在 a, b 上若 f ( x) ≥ g(x)，则 f ( x)dx ≥ g ( x)dx .
a a
性质 5 （积分估值性质） 设 M 与 m 分别是 f ( x) 在 a, b上的最大值与最小值，则 m(b a ) ≤ f ( x)dx ≤ M (b a ) .
i 1 i i
A lim f (i ) xi .
0
i 1
n
2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时间间 隔[T1 , T2 ]上的连续函数， 且v(t ) ≥0， 要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2 ，把 [T1 , T2 ]分成 n 个小段，每小段长为 ti ti ti 1 （i 1,2, , n ）; (2)取近似 把每小段[ ti 1 , ti ]上的运动视为匀速， 任取时刻 i t i 1 , t i ，作乘积v ( i ) ti ，显然这小段时间 所走路程 si 可近似表示为 v ( i ) ti （i 1,2, , n ）; (3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即
a a c
注： 对于 a, b, c 三点的任何其他相对位置， 上述性 质仍成立，譬如： a b c ，则
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ,
a b a c
b
c
b
b
仍有
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
x
既表示积分上限，又表示积分变量.为避免混淆，我们把积 分变量改写成 t ，于是这个积分就写成了 f (t )dt .
a
当 x 在 [ a, b ] 上变动时，对应于每一个 x 值 , 积分
x
a
f (t )dt 就有一个确定的值，因此 f (t )dt 是变上限 x 的
a x a
x
一个函数，记作 Φ ( x) = f (t )dt（ a ≤ x ≤ b ）通常称函 数 Φ ( x) 为变上限积分函数或变上限积分， 其几何意义如图 所示(见下页).
b
a
f ( x)dx f ( )(b a ) .
b
a
f ( x)dx f ( )(b a).
中值定理的几何意义： 曲边 y f ( x) 在a, b底上所围成 的曲边梯形面积，等于同一底边而高为 f ( ) 的一个矩形面 积，如下图所示.
y
y f (x)
f ( )
O a b x
如果 f ( x) ≤0， 则 f ( x)dx 0 ， 此时 f ( x)dx
a a
b
b
表示由曲线 y f ( x ) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲 边梯形的面积 A 的负值，即 f ( x)dx A .
a b
y a O b x
-A
y=f (x)
至于第一步它只是指明所求量具有可加性这是然后写出在这个小区间上的部分量观察上述四步我们发现第二步最关键因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的这只要把近似式的近似值表达式应该足够准确确切的说就是要求其差是关于具体怎样求微元呢
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与微积分基本公式
第二节 定积分的积分方法与无穷区间上的广义积分
y
y f( x)
Φ( x )
O
定理 1
a
x
x
b
x
a, b ] 上连续，则变 如果函数 f ( x) 在区间[
a
上限积分Φ( x) = f (t )dt 在[a, b ]上可导，且其导数是
d x b ）. Φ( x) f (t )dt f ( x) （ a ≤x ≤ dx a
第三节 定积分的应用
第一节
定积分的概念与微积分基本公式
一、两个实例
二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 五、微积分基本公式
第一节 定积分的概念与微积分基本公式
一、两个实例
1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. y
s v( i )ti ;
i 1 n
(4)取极限 当 max ti 0 时，上述总和的极限 就是 s 的精确值，即 s lim v( i )ti .
0
1i n n
二、定积分的概念
i 1
定义 1 设函数 y f ( x ) 在 [ a, b ] 上有定义，任取分点
推广为
M
P A A Q
N
O C
B x
曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： y y = f ( x)
O
a
b
x
b 1 f ( x)dx 表示 从几何角度容易看出，数值 a ba 连续曲线 y f ( x) 在 a, b 上的平均高度，也就是函数 f ( x) 在a, b上的平均值， 这是有限个数的平均值概念的 拓广.
例 1 估计定积分
e
1
1
x2
dx 的值.
解 先求 f ( x) e 在[-1,1]上的最大值和最小值. x2 因为 f ( x ) 2 xe ,令 f ( x) 0 ，得驻点 x=0 ，比较 f ( x ) 在驻点及区间端点处的函数值 1 f (0) e 0 1, f ( 1) f (1) e 1 , e 1 M 1 故最大值 , 最小值 m = . e 1 2 x2 由估值性质得， ≤1e dx ≤2 . e
a x0 x1 x2 xn1 xn b , 分 [ a , b ] 为 n 个小区间
[ x i 1 , x i ] (i 1,2, , n) .记
xi xi xi 1 (i 1,2,, n), maxxi ,
1i n
再在每个小区间[ x i 1 , x i ] 上任取一点 i ，作乘积 f ( i )xi 的和式： n
O
x0 x1 x 2 x0 = a
xn =b
xn
x
曲边梯形面积的确定步骤： (1) 分割 任取分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b , 把底边[a,b]分成 n 个小区间[ xi 1 , xi ]( i 1,2, , n) . 第 i 小区间长度记为 xi xi xi 1 (i 1,2, , n); (2) 取近似 在每个小区间[ xi1 , xi ] 上任取一点 i 竖起高线 f ( i ) ,则得小长条面积 Ai 的近似值为 Ai f ( i )xi ( i 1,2, , n ); (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积 A 的近似值
a b
证
M （题设） 因为 m ≤ f ( x ) ≤ ，由性质 4 得
b b a a
b
a
mdx ≤ f ( x)dx ≤ Mdx ， 再将常数因子提出， 并利
用
b
a
dx b a ， 即可得证.
性质 6 （积分中值定理） 如果 f ( x ) 在a, b上连续， 则至少存在一点 a, b ，使得
a b a
三、定积分的几何意义
如果 f ( x) 0 ，则 f ( x)dx 0 , 此时 f ( x)dx
a a b b
表示由曲线 y f ( x) ，x a, x b 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 a f ( x)dx A .
y
b
y=f (x)
A
f ( )x ,
i 1 i i
如果 0 时,上述极限存在 （即， 这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关） ，则称此极限值为函数 f ( x) 在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为
b
a
f ( x)dx lim f ( i )xi ,
0
如果 f ( x) 在 [ a , b ] 上有 正有负时，则 a f ( x)dx 表示由 曲线 y f ( x) ，直线 x a, x b 及 x 轴所围成的平面图形的 面积位于 x 轴上方的面积减去 位于 x 轴下方的面积，如右图 所示，即
b
y
A1y f (x)
a
A3
b a
A2
O
b x
f ( x)dx A1 A2 A3 .
四、定积分的性质
性质 1
b a
函数的代数和可逐项积分，即
b a
[ f ( x) g ( x)]dx
a a
f ( x ) dx g ( x ) dx .
a
b
性质 2 被积分函数的常数因子可提到积分号外面， b b 即 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 为常数）. 性质 3 （积分区间的分割性质） 若 a c b ，则 b c b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx .
这个等式表明速度函数 v(t ) 在[T1 , T2 ]上的定积分,等 于其原函数s(t ) 在区间[T1 , T2 ] 上的改变量.那么，这一结 论有没有普遍的意义呢？
T1
1. 变上限的定积分
设函数 f ( x) 在[ a, b ] 上连续, x [ a, b ]，于是积分
x
a
f ( x)dx 是一个定数，这种写法有一个不方便之处，就是 x
2 2
1
1
b
a
f ( x)dx f (t )dt .
a
b
(2)定义中要求积分限 a b ，我们补充如下规定： b 当 a b 时， f ( x)dx 0 , 当 a b 时， a f ( x)dx b f ( x)dx . (3)定积分的存在性：当 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 限个第一类间断点时, f ( x) 在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可 积）.