人教A版高中数学第一册(必修1)学案5：5.1.2 弧度制

5.1.2 弧度制
『素养目标』
1．掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数．(数学运算)
2．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．(数学运算)
3．根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性．(逻辑推理)
『学法解读』
本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借π＝180°，学生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养．
必备知识·探新知
基础知识
知识点1度量角的两种制度
(1)角度制．
①定义：用作为单位来度量角的单位制．
②1度的角：周角的为1度角，记作1°.
(2)弧度制
①定义：以为单位来度量角的单位制．
②1弧度的角：长度等于的圆弧所对的圆心角叫做的角．
③表示方法：1弧度记作1 rad.
思考1：圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？
知识点2弧度数
一般地，正角的弧度数是一个数，负角的弧度数是一个数，零角的弧度数是.
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.
思考2：(1)建立弧度制的意义是什么？
(2)对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？
知识点3 弧度与角度的换算公式
(1)周角的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，于是360°＝2π rad ，即
根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了． 弧度与角度的换算公式如下：
若一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝(180απ)°，n °＝n ·π180 rad.
(2)常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0
π
2
π
(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起关系：每一个角都有唯一的一个(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
思考3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？ (2)弧度数与角度数之间有何等量关系？
知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1)弧长公式
在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角大小为α，则|α|＝l
r ，变形可得l ＝，此公式
称为弧长公式，其中α的单位是弧度． (2)扇形面积公式
由圆心角为1 rad 的扇形面积为πr 22π＝12r 2，而弧长为l 的扇形的圆心角大小为l
r
rad ，故其面积
为S ＝l r ×r 22＝12lr ，将l ＝|α|r 代入上式可得S ＝12lr ＝1
2|α|r 2，此公式称为扇形面积公式．
思考4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？
(2)弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？ 基础自测
1．下列说法中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径长的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位 2.－300°化为弧度是( ) A ．－4π
3
B ．－5π3
C ．－7π4
D ．－7π6
3．已知半径为10 cm 的圆上，有一条弧的长是40 cm ，则该弧所对的圆心角的弧度数是____. 4．如果α＝－2，则α的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
5．(1)将－1 125°表示成2k π＋α，0≤α<2π，k ∈Z 的形式为.
(2)已知角α的终边与角π3的终边相同，则在『0,2π)内与角α
3
的终边相同的角为.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 角度与弧度的换算及应用 例1设α＝510°，β＝4
5
π.
(1)将α用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；
(2)将β用角度表示出来，并在－360°≤β<360°内找出与它们终边相同的所有的角．
『归纳提升』 角度制与弧度制互化的关键与方法： (1)关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键．
(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×(180π)°＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
(4)角度化为弧度时，其结果写成π的形式，没特殊要求不必化成小数． 『对点练习』❶设α1＝－570°、α2＝750°、β1＝3π
5、β2＝－\S 』π,3\s .
(1)将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； (2)将β1、β2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限．
题型二 用弧度制表示给定区域角的集合
例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合．
『归纳提升』 解答本题时常犯以下三种错误． (1)弧度与角度混用．
(2)终边在同一条直线上的角未合并．
(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{α|43π＋2k π<α<π
3＋2k π，k ∈Z }，这是一个空集．对于
区域角的书写，一定要看其区间是否跨越x 轴的正半轴，若区间跨越x 轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x 轴的正半轴，则无须这样写．
『对点练习』❷用弧度制表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合 (不包括边界)，如图所示．
题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用 角度1 弧度数的确定
例3如图所示，已知⊙O 的一条弧AE ︵
的长等于该圆内接正三角形的边长，则从OA 顺时针旋转到OE 所形成的角α的弧度数是( )
A ．π
3
B ．－π3
C ． 3
D ．－ 3
角度2 扇形面积、弧长的计算
例4已知扇形的周长是8 cm ，面积为3 cm 2，那么这个扇形的圆心角的弧度数(圆心角为正)为.
『归纳提升』 1.运用扇形弧长及面积公式时应注意的问题．
(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r ，l ，S 中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运用．
(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多．若角是以“度”为单位的，则必须先将其化成弧度，再计算． (3)在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式．
①l ＝αr ，α＝l r ，r ＝l
α；
②S ＝12αr 2，α＝2S
r
2.
2．解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值问题即可．
『对点练习』❸ (1)一个扇形的面积为15π，弧长为5π，则这个扇形的圆心角为( ) A ．π
6
B ．π3
C ．2π3
D ．5π6
(2)若一扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( )
A ．π
4
B ．π2
C ． 2
D ．2
误区警示
角度和弧度混用致错
例5 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
『方法点拨』 同一个问题(或题目)中使用的度量单位要统一，要么用角度制单位，要么用弧度制单位，不能将两者混用． 学科素养
数学文化题的功能是传播数学文化，所以一般来说难度较小，解决此类问题的关键是理解题意，按照题中的方法解决问题．
例6 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积＝1
2(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中
“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为2π
3，半径
等于4 m 的弧田，按照上述经验公式，计算所得弧田面积约是( )
A ．6 m 2
B ．9 m 2
C ．12 m 2
D ．15 m 2
课堂检测·固双基
1．在不等圆中1 rad 的圆心角所对的是( ) A ．弦长相等 B ．弧长相等
C ．弦长等于所在圆的半径
D ．弧长等于所在圆的半径
2．－10π
3转化为角度是( )
A ．－300°
B ．－600°
C ．－900°
D ．－1 200°
3．与1°角终边相同的角的集合是( ) A ．{α|α＝k ·360°＋π180，k ∈Z }
B ．{α|α＝k ·360°＋π
180°，k ∈Z }
C ．{α|α＝2k π＋π
180，k ∈Z }
D ．{α|α＝2k π＋π
180°
，k ∈Z }
4．已知扇形面积为3
8π，半径是1，则扇形的圆心角是( )
A ．316π
B ．38π
C ．34
π
D ．32
π
5．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，如某一问题：现有扇形田，下周长(弧长)20步，径长(两端半径的和)24步，则该扇形田的面积为平方步．
——★ 参*考*答*案 ★——
『学法解读』 必备知识·探新知
基础知识
知识点1 度量角的两种制度 (1)①度 ②1
360
(2)①弧度 ②半径长
1弧度
思考1：
提示：一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点2 弧度数 正
负
l r
思考2：
提示：(1)在弧度制下，角的集合与实数R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
(2)角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如α＝k ·360°＋π6(k ∈
Z )，β＝2k π＋60°(k ∈Z )等写法都是不规范的，应写为α＝k ·360°＋30°(k ∈Z )，β＝2k π＋π
3(k
∈Z )．
知识点3 弧度与角度的换算公式 (2) π6
π4
π3
2π3 3π4
5π6
3π2
2π
(3)一一对应 实数
角
思考3：
提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数． (2)弧度数＝角度数×π180；角度数＝弧度数×(180
π
)．
知识点4 弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 (1) |α|r 思考4：
提示：(1)①|α|＝l R ；②R ＝l |α|；③|α|＝2S R 2；④R ＝2S
l
.
(2)由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，对于α，R ，l ，S 四个量，可“知二求二”．这实质上是方程思想的应用． 基础自测
1．『『答 案』』 D
『『解 析』』 利用弧度的定义及角度的定义判断.
2.『『答 案』』 B 3．『『答 案』』 4 4．『『答 案』』 C
『『解 析』』 因为－π<－2<－π
2，所以α的终边在第三象限．
5．『『答 案』』 (1)－8π＋7π
4
(2)π9，7π9，13π9
『『解 析』』 (1)因为－1 125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×π180＝7π
4，
所以－1 125°＝－8π＋7π
4
.
(2)因为角α的终边与角π3的终边相同，所以α＝2k π＋π
3(k ∈Z )，
所以α3＝2k π3＋π9(k ∈Z )，又0≤α3<2π，所以0≤2k π3＋π
9<2π(k ∈Z )，
故当k 分别为0,1,2时，α3分别为π9，7π9，13π
9
，都满足条件．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 角度与弧度的换算及应用
例1
『解』 (1)∵1°＝
π
180
rad ， ∴α＝510°＝510×π180＝176π＝2π＋5
6π，
∴α的终边在第二象限． (2)β＝45π＝4π5×(180
π)°＝144°，
设θ＝k ·360°＋144°(k ∈Z )．
∵－360°≤θ<360°，∴－360°≤k ·360°＋144°<360°，
∴k ＝－1或k ＝0，∴在『－360°，360°)内与β1终边相同的角是－216°. 『对点练习』
❶『解』 (1)∵180°＝π rad ，∴－570°＝－570π180＝－19π6，
∴α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π
6.
∴α1在第二象限，α2在第一象限．
(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π
3＝－60°，
∴β1在第二象限，β2在第四象限． 题型二 用弧度制表示给定区域角的集合 例2
『解』 (1)225°角的终边可以看作是－135°角的终边，化为弧度，即－3π4，60°角的终边即
π
3的终边，所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{α|2k π－3π4<α<2k π＋π
3，k ∈Z }．
(2)与(1)类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 {α|2k π＋π6<α<2k π＋π2，k ∈Z }∪{α|2k π＋π＋π6<α<2k π＋π＋π
2，k ∈Z }
＝{α|k π＋π6<α<k π＋π
2，k ∈Z }．
『对点练习』
❷『解』 (1)330°和60°的终边分别对应－π6和π3，所表示的区域位于－π6与π
3之间且跨越x 轴
的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π－π6<θ<2k π＋π
3
，k ∈Z }．
(2)210°和135°的终边分别对应－5π6和3π4，所表示的区域位于－5π6与3π
4
之间且跨越x 轴的正
半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π－5π6<θ<2k π＋3π4
，k ∈Z }． (3)30°＝π6，210°＝7π6
，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{θ|2k π<θ<2k π＋π6，k ∈Z }∪{θ|2k π＋π<θ<2k π＋7π6，k ∈Z }＝{θ|2k π<θ<2k π＋π6
，k ∈Z }∪{θ|(2k ＋1)π<θ<(2k ＋1)π＋π6，k ∈Z }＝{θ|n π<θ<n π＋π6
，n ∈Z }． 题型三 弧长公式和扇形面积公式的应用
角度1 弧度数的确定
例3
『『答 案』』 D
『『解 析』』 设⊙O 的半径为r ，其内接正三角形为△ABC ，
如图所示，过O 作OD ⊥AB 于点D ，则D 为AB 边中点，
∵AO ＝r ，∠OAD ＝30°，AD ＝r ·cos 30°＝32
r ， ∴边长AB ＝2AD ＝3r ，∴AE ︵ 的长l ＝AB ＝3r .
又α是负角，∴α＝－l r ＝－3r r
＝－ 3. 角度2 扇形面积、弧长的计算
例4
『『答 案』』 23
或6 『『解 析』』 设这个扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角的弧度数为α，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2r ＋l ＝8，12rl ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝1，l ＝6. ∵α是扇形的圆心角的弧度数，∴0<α<2π.
当r ＝3，l ＝2时，α＝l r ＝23
，符合题意； 当r ＝1，l ＝6时，α＝l r ＝61
＝6，符合题意．
综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为23或6. 『对点练习』 ❸『『答 案』』 (1)D (2)C 『『解 析』』 (1)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，
则⎩⎪⎨⎪⎧ 12θr 2＝15π，θr ＝5π，解得⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝6，θ＝5π6.
故扇形的圆心角为5π6. (2)设圆的直径的2r ，则圆内接正方形的边长为2r .
∵扇子的弧长等于其所在圆的内接正方形的边长，
∴扇子的弧长等于2r ，∴圆心角α(0<α<π)的弧度数为
2r r ＝ 2. 误区警示
角度和弧度混用致错
例5
『错解一』 {α|k ·360°＋330°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z }．
『错解二』 {α|2k π－30°<α<2k π＋60°，k ∈Z }．
『错因分析』 错解一中，若给k 赋一个值，集合中不等式右边的角反而小于左边的角．错解二中，同一不等式中混用了角度制与弧度制．
『正解』 {α|2k π－π6<α<2k π＋π3
，k ∈Z }，也可写成{α|k ·360°－30°<α<k ·360°＋60°，k ∈Z }． 学科素养
例6
『『答 案』』 B
『『解 析』』 如图，由题意得∠AOB ＝2π3，OA ＝4 m ，∴在Rt △AOD 中，∠AOD ＝π3
，∠DAO ＝π6，∴OD ＝12AO ＝12×4＝2(m)，∴矢＝4－2＝2(m)．由AD ＝AO ·sin π3＝4×32
＝23(m)，得弦＝2AD ＝2×23＝43(m)，∴弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12
(43×2＋22)＝43＋2≈9(m 2)．故选B ．
课堂检测·固双基
1．『『答 案』』 D
『『解 析』』 根据弧度制的定义，因为1弧度的角就是弧长与半径之比等于1的角，所以1 rad 的圆心角所对弧长等于所在圆的半径，故选D ．
2．『『答 案』』 B
『『解 析』』 ∵1 rad ＝(180π)°，∴－10π3＝－(180π×10π3
)°＝－600°. 3．『『答 案』』 C
4．『『答 案』』 C
『『解 析』』 设扇形圆心角为α，则S ＝12αR 2＝38π，∴α＝34
π. 5．『『答 案』』 120
『『解 析』』 由题意：S ＝14·l ·(2r )＝12lr ＝12
×20×12＝120.。