(全国通用版)高考数学一轮复习选考部分不等式选讲课时分层作业七十六2证明不等式的基本方法理

课时分层作业七十六证明不等式的基本方法
(45分钟60 分)
1.(10分)已知a>0,b>0,求证:+≥+.
【证明】因为-(+)
=+=+
==≥0,
所以原不等式建立.
【一题多解】因为÷ (+)
=
=
=-1 ≥-1=1.
又 a>0,b>0,>0.
所以+≥+.
2.(10分)已知a, b,c是全不相等的正实数, 求证 :++>
3.
【解题指南】依据a,b,c全不相等,推测出与,与,与全不相等,而后利用基本不等式求得
+ >2, + >2, + >2, 三式相加整理求得++>3, 原式得证 .【证明】因为 a,b,c全不相等,
所以与,与,与全不相等,
所以+ >2, + >2, + >2,三式相加得 , + + + + +>6,
所以++>3,
即++>3.
【变式备选】(2018 ·南阳模拟 ) 已知函数 f(x)=k-|x-3|,k∈ R,且f(x+3)≥ 0的解集为[-1,1].
(1)求 k 的值 .
(2) 若 a,b,c是正实数,且++=1, 求证 :a+2b+3c ≥9.
【解析】 (1) 因为 f(x)=k-|x-3|,
所以 f(x+3)≥ 0等价于|x|≤k,
由 |x| ≤ k 有解 , 得 k≥ 0, 且解集为 [-k,k].
因为 f(x+3)≥ 0的解集为[-1,1].所以k=1.
(2) 由 (1) 知++=1, 因为 a,b,c为正实数.
所以 a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)=3++++++
=3+++
≥3+2
+2+2=9.
当且仅当a=2b=3c 时, 等号建立 .
所以 a+2b+3c≥ 9.
3.(10分)已知x>0,y>0,且x+y=1,
求证:·≥9.
, 运用已知和基本不等式可得证, 也能够用x+y代替“ 1”, 化简左侧,【解题指南】可将所证不等式左侧睁开
而后再用基本不等式.
【证明】因为 x>0,y>0,
所以 1=x+y≥ 2. 所以 xy ≤.
所以=1+++
=1++=1+≥ 1+8=9.
当且仅当x=y=时,等号建立.
【一题多解】因为x+y=1,x>0,y>0,
所以=
==5+2
≥5+2× 2=9.
当且仅当x=y=时,等号建立.
4.(10分)某同学在一次研究性学习中发现, 以下 5 个不等关系式子
①-1>2-;
②2->-;
③->-2;
④-2>-;
⑤->2-.
(1)上述五个式子有同样的不等关系, 依据其构造特色 , 请你再写出一个近似的不等式 .
(2)请写出一个更一般的不等式 , 使以上不等式为它的特别状况 , 并证明 .
【分析】 (1)-2>-3( 答案不独一 ).
(2)->-.
证明 : 要证原不等式 , 只要证+>+,因为不等式两边都大于0,
只要证 2a+3+2
>2a+3+2,
只要证>,
22
只要证 a +3a+2>a +3a,
只要证 2>0, 明显建立 , 所以原不等式建立 .
5.(10 分 ) 已知α ∈ (0,π ), 求证 :2sin 2α ≤.
【证明】 2sin 2α -=4sinα cos α -
=
=-,
因为α ∈ (0, π ), 所以 sinα>0,1-cosα >0,
又 (2cosα-1)2≥ 0,所以2sin 2α -≤0,
所以 2sin 2 α ≤.
6. (10 分 )(2018 ·泉州模拟 ) 设 a,b 为正实数 , 且+ =2.
(1)求 a2+b2的最小值 .
(2)若 (a- b) 2≥4(ab) 3, 求 ab 的值 .
【分析】 (1) 由 2= +≥ 2得ab≥, 当 a=b=时取等号.
故 a2+b2≥ 2ab≥1, 当 a=b=时取等号 .
22
所以 a +b
的最小值是 1, 当且仅当
a=b=时获得最小值.
(2) 由 (a-b) 2≥ 4(ab) 3得≥ 4ab.即-≥ 4ab,进而ab+≤ 2.
又 ab+≥ 2,当且仅当ab=1时取等号.
所以 ab=1.。