高中数学 1.2.2第2课时分段函数及映射学案 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学学案

第2课时 分段函数及映射
[学习目标] 1.掌握简单的分段函数，并能简单应用.2.了解映射概念及它与函数的联系．
[知识链接]
1．函数的定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合
A 到集合
B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .
2．作函数的图象通常分三步，即列表、描点、连线． [预习导引] 1．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 2．映射的概念
映射的定义：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．
要点一 分段函数求值
例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1，x ≤－2，x 2
＋2x ，－2＜x ＜2，
2x －1，x ≥2.
(1)求f (－5)，f (－3)，f [f (－5
2)]的值；
(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．
解 (1)由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)， －5
2
∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，
f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.
∵f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－52＝－52＋1＝－32，而－2<－32<2， ∴f [f (－52)]＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝9
4－3＝－34.
(2)当a ≤－2时，a ＋1＝3， 即a ＝2＞－2，不合题意，舍去．
当－2＜a ＜2时，a 2
＋2a ＝3，即a 2
＋2a －3＝0. 所以(a －1)(a ＋3)＝0，得a ＝1，或a ＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． 当a ≥2时，2a －1＝3，即a ＝2符合题意． 综上可得，当f (a )＝3时，a ＝1，或a ＝2.
规律方法 1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
跟踪演练1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
1x ＋1，x <1，
x －1，x >1，则f (2)等于( )
A ．0 B.1
3 C ．1 D ．2
答案 C
解析 f (2)＝2－1＝1. 要点二 分段函数的图象及应用
例2 已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－1≤x ≤1，
1 x ＞1或x ＜－1，
(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．
解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．
(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .
由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2
的值域为[0,1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0,1]．
规律方法 1.分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段或射线，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．
2．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”． 跟踪演练2 作出y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－7，x ∈－∞，－2]，2x －3，x ∈－2，5]，
7，x ∈5，＋∞ 的图象，并求y 的值域．
解 y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－7，x ∈－∞，－2]，2x －3，x ∈－2，5]，
7，x ∈5，＋∞. 值域为y ∈[－7,7]．
图象如下图．
要点三 映射的概念
例3 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？
(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内
切圆；
(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．
解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．
(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．
规律方法 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一元素关系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多． 跟踪演练3 下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )
①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x
，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2
，x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，
f ：x →y ＝
1|x |＋x
，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3
，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D
解析 对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D.
1．下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )
答案 D
解析 在A 、B 选项中，由于集合A 中的元素2在集合B 中没有对应的元素，故构不成映射，在C 选项中，集合A 中的元素1在集合B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有选项D 符合映射的定义，故选D. 2．函数y ＝|x |的图象是( )
答案 B
解析 ∵y ＝|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ，x ≥0，
－x ，x ＜0， ∴B 选项正确．
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋1，x ≤12
x
，x >1，则f (f (3))等于( )
A.1
5 B ．3 C.23 D.139 答案 D
解析 ∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
＋1＝139.
4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x ，x ≤0，x 2
，x ＞0.
若f (α)＝4，则实数α等于( )
A ．－4或－2
B ．－4或2
C ．－2或4
D ．－2或2 答案 B
解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α＞0时，f (α)＝α2
＝4，∴α＝2或－2(舍去)．
5．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函
数关系式是________．
答案 y ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
0.5x ，0≤x ≤10010＋0.4x ，x >100
解析 由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .
1.对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A 和B 必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合． (2)映射是一种特殊的对应，对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达． 2．理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．
(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．
一、基础达标 1．以下几个论断
①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；
③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 答案 C
解析 函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．
2．已知f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
10，x <0，
10x ，x ≥0，则f [f (－7)]的值为( )
A ．100
B ．10
C ．－10
D ．－100 答案 A
解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
10，x <0，10x ，x ≥0，
∴f (－7)＝10.
f [f (－7)]＝f (10)＝10×10＝100.
3．函数f (x )＝x ＋|x |
x
的图象是( )
答案 C 解析 f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋1，x >0，x －1，x <0，
画出f (x )的图象可知选C.
4．已知集合A 中元素(x ，y )在映射f 下对应B 中元素(x ＋y ，x －y )，则B 中元素(4，－2)在A 中对应的元素为( ) A ．(1,3) B ．(1,6) C ．(2,4) D ．(2,6) 答案 A 解析 由题意得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ＝4，x －y ＝－2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝3.
5．设f ：x →ax －1为从集合A 到B 的映射，若f (2)＝3，则f (3)＝________. 答案 5
解析 由f (2)＝3，可知2a －1＝3，∴a ＝2， ∴f (3)＝3a －1＝3×2－1＝5.
6．函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋1x ≥0，
2－x －2≤x ＜0
的值域是________．
答案 [1，＋∞)
解析 当x ≥0时，f (x )≥1， 当－2≤x ＜0时，2＜f (x )≤4，
∴f (x )≥1或2＜f (x )≤4，即f (x )的值域为[1，＋∞)．
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.
(1)求f (2)，f [f (2)]的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值． 解 (1)∵0≤x ≤2时，f (x )＝x 2
－4， ∴f (2)＝22
－4＝0，
f [f (2)]＝f (0)＝02－4＝－4.
(2)当0≤x 0≤2时， 由x 2
0－4＝8， 得x 0＝±23(舍去)；
当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. ∴x 0＝4. 二、能力提升 8．已知f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x －5，x ≥6，f
x ＋2， x ＜6，
则f (3)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 答案 A
解析 f (3)＝f (3＋2)＝f (5)，
f (5)＝f (5＋2)＝f (7)，
∴f (7)＝7－5＝2.故f (3)＝2.
9．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图所示，不含端点)，则f [f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13]等于( )
A ．－13 B.13
C ．－23 D.23
答案 B
解析 由图可知，函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1，0＜x ＜1，x ＋1，－1＜x ＜0，
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1
3
－1＝－23，
∴f [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13]＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23＝－23＋1＝13.
10．设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－x 2
，x ≤1，
x 2
＋x －2，x ＞1， 则f ⎝
⎛⎭
⎪
⎫1f 2的值是________．
答案
1516
解析 f (2)＝22
＋2－2＝4，∴
1f 2＝1
4
， ∴f ⎝
⎛⎭⎪⎫1f 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫142＝1516
.
11．已知函数y ＝|x －1|＋|x ＋2|. (1)作出函数的图象； (2)写出函数的定义域和值域．
解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x ＝1，第二个绝对值的分段点x ＝－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)， 所以已知函数可写为分段函数形式：
y ＝|x －1|＋|x ＋2|
＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x －1 x ≤－2，3 －2<x ≤1，2x ＋1 x >1.
在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象，如图．
(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，＋∞)． 三、探究与创新
12．“水”这个曾经被人认为取之不尽，用之不竭的资源，竟然到了严重制约我国经济发展，严重影响人民生活的程度．因为缺水，每年给我国工业造成的损失达2 000亿元，给我国农
业造成的损失达1 500亿元，严重缺水困扰全国三分之二的城市．为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过的部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y (单位：元)．
解 由题意知，当0＜x ≤5时，y ＝1.2x ， 当5＜x ≤6时，
y ＝1.2×5＋(x －5)×1.2×2＝2.4x －6.
当6＜x ≤7时，
y ＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x －6)×1.2×4＝4.8x －20.4.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1.2x ，0＜x ≤5，
2.4x －6，5＜x ≤6，
4.8x －20.4，6＜x ≤7.
13．如图所示，在边长为4的正方形ABCD 边上有一点P ，由点B (起点)沿着折线BCDA ，向点
A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△AP
B 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式．
解 当0≤x ≤4时，S △APB ＝1
2×4x ＝2x ；
当4＜x ≤8时，S △APB ＝1
2×4×4＝8；
当8＜x ≤12时，
S △APB ＝12
×4×(12－x )＝24－2x .
∴y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x 0≤x ≤4，8 4＜x ≤8，
24－2x 8＜x ≤12.。