高考数学二轮复习练习：仿真卷1 Word版含答案

浙江高考仿真卷(一) (对应学生用书第163页)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若i 是虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝1，则|2z －3|＝( ) A. 3 B. 5 C. 6
D.7
B [由题意得z ＝1
1－i ＝
1＋i 1－i 1＋i ＝12＋1
2
i ，则|2z －3|＝|－2＋i|＝
－2
2
＋1
2
＝5，故选B.]
2．若a ，b 都是正数，则⎝
⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 C [⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4a b
＝1＋4a b ＋b a ＋4≥5＋2
4a
b
·b
a
＝9，当且仅当2a ＝b 时，等号成立，所以
⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4a b 的最小值为9，故选C.] 3．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( ) A ．± 3 B ．±1 C ．±34
D ．±
33
A [因为点M 到抛物线的焦点的距离为2p ，所以点M 到抛物线的准线的距离为2p ，则点M 的横坐标为3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，±3p ，所以直线MF 的斜率为±3，故选A.]
4．函数f (x )＝x e
cos x
(x ∈[－π，π])的图象大致是( )
B [由题意得f (－x )＝－x e
cos(－x )
＝－x e
cos x
＝－f (x )(x ∈[－π，π])，所以函数f (x )为奇函
数，函数图象关于原点成中心对称，排除A 、C.又因为f ′(x )＝e cos x
＋x e
cos x
·(－sin x )，则
f ′(0)＝e ，即函数f (x )在原点处的切线的斜率为e ，排除D ，故选B.]
5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为( )
图1
A ．14 B.213
2 C ．22
D.273
2
A [由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×12×2×3＋13×2×
1
2×2×3＝14，故选A.]
6．在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝60°，AB ＝AC ＝23，PA ＝2，则三棱锥P ­ABC 外接球的表面积为( ) A ．20π B ．24π C ．28π
D ．32π
A [因为∠BAC ＝60°，A
B ＝A
C ＝23，所以△ABC 为边长为23的等边三角形，则其外接圆的半径r ＝23
2sin 60°
＝2，则三棱锥P ­ABC 的外接球的半径R ＝
r 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫PA 22＝5，则三棱锥
P ­ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝20π，故选A.]
7．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为( )
A．50 B．80
C．120 D．140
B[当甲组有两人时，有C25C23A22种不同的分配方案；当甲组有三人时，有C35A22种不同的分配方案．综上所述，不同的分配方案共有C25C23A22＋C35A22＝80种不同的分配方案，故选B.]
8．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)．若对任意的实数x，都有2f(x)＋xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)－f(1)<x2－1成立的实数x的取值范围为( )
A．{x|x≠±1}
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,1)
D．(－1,0)∪(0,1)
B[设g(x)＝x2[f(x)－1]，则由f(x)为偶函数得g(x)＝x2[f(x)－1]为偶函数．又因为g′(x)＝2x[f(x)－1]＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]，且2f(x)＋xf′(x)<2，即2f(x)＋xf′(x)－2<0，所以当x>0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]<0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递减；当x<0时，g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)－2]>0，函数g(x)＝x2[f(x)－1]单调递增，则不等式x2f(x)－f(1)<x2－1⇔x2f(x)－x2<f(1)－1⇔g(x)<g(1)⇔|x|>1，解得x<－1或x>1，故选B.]
9．已知f(x)＝x2＋3x，若|x－a|≤1，则下列不等式一定成立的是( )
A．|f(x)－f(a)|≤3|a|＋3
B．|f(x)－f(a)|≤2|a|＋4
C．|f(x)－f(a)|≤|a|＋5
D．|f(x)－f(a)|≤2(|a|＋1)2
B[∵f(x)＝x2＋3x，∴f(x)－f(a)＝x2＋3x－(a2＋3a)＝(x－a)(x＋a＋3)，
∴|f(x)－f(a)|＝|(x－a)(x＋a＋3)|＝|x－a||x＋a＋3|，
∵|x－a|≤1，∴a－1≤x≤a＋1，∴2a＋2≤x＋a＋3≤2a＋4，
∴|f(x)－f(a)|＝|x－a||x＋a＋3|≤|2a＋4|≤2|a|＋4，故选B.]
10．如图，四边形ABCD是矩形，沿直线BD将△ABD翻折成△A′BD，异面直线CD与A′B所成的角为α，则( )
图­­
A ．α<∠A ′CD
B ．α>∠A ′CD
C ．α<∠A ′CA
D ．α>∠A ′CA
D [∵AB ∥CD ，∴∠A ′BA 为异面直线CD 与A ′B 所成的角α，假设四边形ABCD 是正方形，
AB ＝2，平面A ′BD ⊥平面ABCD ，连接AC 交BD 于点O ，连接A ′A ，A ′C ，则A ′O ⊥平面ABCD ，A ′O ＝AO ＝BO ＝CO ＝DO ＝1
2
AC ＝2，∴A ′A ＝A ′C ＝A ′B ＝A ′D ＝2，∴△A ′BA ，△A ′CD 是
等边三角形，△A ′CA 是等腰直角三角形，∴∠A ′CA ＝45°，∠A ′CD ＝∠A ′BA ＝60°，即
α>∠A ′CA ，α＝∠A ′CD ，排除A ，B ，C ，故选D.]
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)
11．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2
－3x －4<0}，B ＝{x |log 2(x －1)<2}，则A ∩B ＝________，∁R A ＝________.
(1,4) (－∞，－1]∪[4，＋∞) [A ＝(－1,4)，B ＝(1,5)，所以A ∩B ＝(1,4)，∁R A ＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．] 12.⎝
⎛⎭
⎪⎫3x ＋
1x 6
的展开式中常数项为________(用数字作答)．
135 [二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(3x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝
3
6－r C r
6
x
，令6－32r ＝0，得r ＝4，所以⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 6的展开式中常数项为32C 4
6＝135.] 13．已知△ABC 的外接圆半径为1，圆心为O ，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0，则OB →·OC →
＝____________，cos A ＝__________.
－45 10
10 [由4OB →＋5OC →＝－3OA →，|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1得(4OB →＋5OC →)2＝9OA →2，即16＋25＋
40 OB →·OC →＝9，OB →·OC →＝－45，OB →·OC →＝1×1×cos∠BOC ＝－45，解得cos ∠BOC ＝－4
5
，因为∠
BOC ＝2∠A ，所以cos A ＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫－452＝1010
.] 14. 已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，x ＋y －4≤0，
x ≥1，
点(x ，y )对应的区域的面积________，x 2＋y 2
xy
的取
值范围为________．
85 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103 [不等式组对应的平面区域是以点(1,1)，(1,3)和⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75为顶点的三角形区域，
该区域的面积为12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫135－1＝85.y
x 的几何意义是可行域上的点(x ，y )与原点连线的斜率，当
(x ，y )为点⎝ ⎛⎭⎪⎫135，75时，⎝ ⎛⎭⎪⎫y x min ＝713，当(x ，y )为点(1,3)时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫y x max ＝3，所以y x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，令y x ＝
t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤713，3，则x 2＋y 2
xy ＝x y ＋y x ＝1t ＋t ，当t ＝1时，取得最小值2，当t ＝3时，取得最大值103，
故x 2＋y 2xy 的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2，103.]
15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若|PF 1|
＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线的渐近线方程为________．
2x ±y ＝0 [由题意不妨设|PF 1|－|PF 2|＝2a ，
∵|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .
∵|F 1F 2|＝2c >2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，∴在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2
＝4c
2
＋16a 2
－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b
a
x ＝±2x ，即2x ±y ＝0.]
16．甲、乙两人被随机分配到A ，B ，C 三个不同的岗位(一个人只能去一个工作岗位)．记分配到
A 岗位的人数为随机变量X ，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________，方差D (X )＝________.
23 49 [由题意可得X 的可能取值有0,1,2，P (X ＝0)＝2×23×3＝49，P (X ＝1)＝C 1
2×23×3＝49，P (X ＝2)＝13×3＝19，则数学期望E (X )＝0×49＋1×49＋2×19＝23，方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×49＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×
49
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×19＝49
.] 17．若函数f (x )＝x 2
(x －2)2
－a |x －1|＋a 有四个零点，则a 的取值范围为________．
⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
a ＝－32
27或－1<a <0或a >0
[显然x ＝0和x ＝2为函数f (x ) 的两个零点．当x ≠0且x ≠2时，令x 2
(x －2)2
－a |x －1|＋a ＝0得a
＝x 2x －22|x －1|－1＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
x －2，x ≥1，－x x －22
，x <1，
设g (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
x －2，x ≥1，－x x －22
，x <1，则由题意得直线y ＝a 与函数g (x )的图象
有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g (x )的图象如图所示，由图易得当a ＝－32
27
或－1<a <0或a >0时，直线y ＝a 与函数g (x )的图象有两个横坐标不为0,2
的相异交点，即a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
a ＝－32
27或－1<a <0或a >0
.] 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知函数f (x )
＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )为偶函数，b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12.
(1)求b ；
(2)若a ＝3，求△ABC 的面积S .
[解] (1)f (x )＝sin(2x ＋B )＋3cos(2x ＋B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋B ＋π3， 由f (x )为偶函数可知B ＋π3＝π
2＋k π，k ∈Z ，
所以B ＝π
6
＋k π，k ∈Z .
5分
又0<B <π，故B ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x ， b ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12
＝ 3.
7分 (2)因为B ＝π6，b ＝3，由正弦定理可得sin A ＝a sin B b ＝3
2，
12分
所以A ＝π3或A ＝2π
3
.
当A ＝π3时，△ABC 的面积S ＝33
2；
当A ＝2π3时，△ABC 的面积S ＝334
.
14分
19．(本小题满分15分)如图2，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°，四边
形BFED 为矩形，平面BFED ⊥平面ABCD ，BF ＝1.
图3
(1)求证：AD ⊥平面BFED ；
(2)点P 在线段EF 上运动，设平面PAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ，试求θ的最小值． [解] (1)证明：在梯形ABCD 中，
∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°， ∴AB ＝2.
∴BD 2
＝AB 2
＋AD 2
－2AB ·AD ·cos 60°＝3. 2分
∴AB 2
＝AD 2
＋BD 2
，∴AD ⊥BD .
∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE ⊂平面BFED ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ，
5分
∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面BFED .
7分
(2)由(1)可建立以直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP ＝λ(0≤λ≤3)，
则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0，3，0)，P (0，λ，1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BP →
＝(0，λ－3，1)，8分 设n 1＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量， 由⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·AB →＝0，
n 1·BP →＝0，
得⎩⎨
⎧
－x ＋3y ＝0，
λ－3y ＋z ＝0，
取y ＝1，则n 1＝(3，1，3－λ).12分 ∵n 2＝(0,1,0)是平面ADE 的一个法向量，
∴cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|＝
13＋1＋
3－λ
2
×1
＝
1
λ－3
2
＋4
.
∵0≤λ≤3，∴当λ＝3时，cos θ有最大值1
2.
∴θ的最小值为π
3
.
15分
20．(本小题满分15分)设函数f (x )＝1－x ＋1＋x . (Ⅰ)求函数f (x )的值域；
(Ⅱ)当实数x ∈[0,1]，证明：f (x )≤2－14x 2
.
[解] (Ⅰ)函数f (x )的定义域是[－1,1]， ∵f ′(x )＝
1－x －1＋x
21－x
2
， 当f ′(x )>0时，解得－1<x <0， 当f ′(x )<0时，解得0<x <1，
∴f (x )在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增， 4分 ∴f (x )min ＝f (1)＝f (－1)＝2，f (x )max ＝f (0)＝2， 7分
∴函数f (x )的值域为[2，2]．
(Ⅱ)证明：设h (x )＝1－x ＋1＋x ＋14x 2
－2，x ∈[0,1]，h (0)＝0，
∵h ′(x )＝－12(1－x )－12＋12(1＋x )－12＋1
2x
＝12x ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤
1－2
1－x
2
1＋x ＋1－x ，10分
∵1－x 2
(1＋x ＋1－x )＝1－x 2
·2＋21－x 2
≤2， ∴h ′(x )≤0.
∴h (x )在(0,1)上单调递减， 13分
又h (0)＝0，∴h (x )≤h (0)＝0， ∴f (x )≤2－14
x 2
.
15分
21．(本小题满分15分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2
3＝1，抛物线C 2：y 2
＝4x ，过抛物线C 2上一点P (异于
原点O )作切线l 交椭圆C 1于A ，B 两点．
图4
(1)求切线l 在x 轴上的截距的取值范围；
(2)求△AOB 面积的最大值．
[解] (1)设P (t 2,
2t )(t ≠0)，显然切线l 的斜率存在， 设切线l 的方程为y －2t ＝k (x －t 2
)，即y ＝k (x －t 2
)＋2t .
1分
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －t 2
＋2t ，
y 2
＝4x 消去x 得ky 2－4y －4kt 2
＋8t ＝0，
由Δ＝16－16k (－kt 2
＋2t )＝0，得k ＝1t
，
从而切线l 的方程为x ＝ty －t 2
，
3分
令y ＝0，得切线l 在x 轴上的截距为－t 2
.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ty －t 2
，x 24＋y
23
＝1，得(3t 2＋4)y 2－6t 3y ＋3t 4
－12＝0，
令Δ＝36t 6
－12(3t 2
＋4)(t 4－4)>0，得0<t 2
<4， 则－4<－t 2
<0，
6分 故切线l 在x 轴上的截距的取值范围为(－4,0).
7分
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知y 1＋y 2＝6t 3
3t 2＋4，y 1y 2＝3t 4
－123t 2＋4
，|AB |＝1＋t 2
|y 1－y 2|
＝1＋t 2
·y 1＋y 2
2
－4y 1y 2
＝1＋t 2·
⎝ ⎛⎭
⎪⎫6
t 33t 2＋42－43t 4－123t 2＋4 ＝43·1＋t 2
·
－t 4＋3t 2
＋4
3t 2＋4
2， 9分
原点O 到切线l 的距离为d ＝t 2
1＋t
2
，
∴S ＝1
2
|AB |×d ＝23·
t 4－t 4＋3t 2＋4
3t 2＋4
2
. 12分
令3t 2
＋4＝u ，∵0<t 2
<4，∴4<u <16，
则有S ＝23·u －4
2
9
⎣
⎢⎡⎦
⎥
⎤－u －42
9＋u u
2
＝239·
u 2－8u ＋16－u 2＋17u －16
u 2
，
∴S ＝239·
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u －8·⎣⎢⎡⎦⎥⎤17－⎝ ⎛⎭⎪⎫u ＋16u
＝23
9
·－⎝
⎛⎭
⎪⎫u ＋16u 2＋25⎝ ⎛⎭
⎪⎫u ＋16u －136. 令y ＝u ＋16
u
，∵4<u <16，
∴y ＝u ＋16
u
在(4,16)上为增函数，
得8<y <17，
∴S ＝239·－y 2
＋25y －136，当y ＝252
∈(8,17)时，
S max ＝
239
·－
6254＋625
2
－136＝ 3. 14分 由y ＝u ＋16u ＝252得u ＝25＋3414，有t ＝3＋41
2<
2，故当t ＝
3＋41
2
时，△OAB 面积S 有最大值 3. 15分
22．(本小题满分15分)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和S n 满足S n a n ＝1
3
n ＋r .
(1)若a 1＝2，求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，设b n ＝
1
a 2n －1(n ∈N *
)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ≥2n 3n ＋1. [解] (1)令n ＝1，得13＋r ＝1，∴r ＝2
3
，
1分
则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋23a n ，∴S n －1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n ＋13a n －1(n ≥2)，
两式相减得
a n a n －1＝n ＋1
n －1
(n ≥2)， 3分
∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝31·42·53·…·n ＋1n －1
， 化简得a n a 1＝
n n ＋1
1×2
(n ≥2)，
∴a n ＝n 2
＋n (n ≥2)，
6分
第- 11 -页 共11页 又a 1＝2适合a n ＝n 2＋n (n ≥2)，∴a n ＝n 2＋n . 7分
(2)证明：由(1)知a 2n －1＝(2n －1)·2n ，
∴b n ＝1a 2n －1＝12n －12n ＝12n －1－12n ，∴T 1＝12≥23＋1不等式成立，
∴T n ＝11－12＋13－14＋15－16＋…＋12n －1－1
2n (n ≥2)，
∴T n ＝11＋12＋13＋…＋1
2n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋1
2n
＝1
1＋1
2＋1
3＋…＋1
2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1
1＋1
2＋…＋1
n ，
∴T n ＝1
n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ，
10分 ∴2T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋1＋1
2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋2＋1
2n －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n ＋k ＋1
2n －k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n ＋1
n ＋1.
∵1n ＋k ＋12n －k ＋1＝3n ＋1n ＋k 2n －k ＋1≥43n ＋1(仅在k ＝n ＋12时取等号)， ∴2T n ≥4n 3n ＋1，即结论T n ≥2n
3n ＋1成立. 15分。